为什么i的平方等于-1

周铁戈

学过复数的同学都知道一个复数可以写成a+ib的形式（比如3+5i就是一个复数），其中i是虚数单位，a和b都是实数，分别称为复数的实部和虚部。这个i可是大大的有名，因为i²=-1（就是i×i=-1），不符合我们的常识，因为我们都知道一个数的平方肯定是要大于或等于0的。i²=-1是怎么一回事儿？究竟应该如何理解？网上有一个很有意思的问题：复数里i的平方等于-1，那i等于什么? 本文将对此进行回答。

其实一个复数可以与平面上的一个点相对应，包含两个实数（也就说是复数并不是一个我们孰知的数，而是两个）。先看复数的运算，两个复数相加时，(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)，就是实部和实部相加，虚部和虚部相加，结果是一个复数。两个复数相乘时，(a+ib)×(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)，是按照乘法分配律进行的，同时要求i×i=-1，结果也是一个复数。这样可以利用复数的加法和乘法运算规则来给出复数的严格定义，设有序实数对(例如(a, b)和(c, d))，遵从下列运算规则：

    加法，(a , b)+(c , d) = ( a+c ,  b+d)

    乘法，(a , b)×(c , d) = (ac-bd , ad+bc)  （※）

则称有序实数对为复数z，记为z = (a, b)或z=a+ib。

从这个定义可以看出，每个复数其实是两个实数。i并不存在于定义中，i = 0+1i =（0, 1），所以i其实是(0, 1)。-1=-1+0i=（-1，0），也不是一个实数，而是两个实数，-1其实是(-1, 0)。i²中的平方也不是实数中5×5=25的乘法，而是按照（※）给出的乘法。所以i²=-1的真实含义是（0，1）×（0，1）=（-1，0），i只是（0，1）的简单记法，引入i可以简化计算。

简单介绍一下复数的历史，笛卡尔（法国哲学家、数学家、科学家，1596年3月31日—1650年2月11日）首先提出“虚数”这个词，指的是一个复数中的ib部分。当时的观念认为这是真实中不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。1777年欧拉（瑞士数学家、自然科学家，1707年4月15日-1783年9月18日）开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来，写成a+ib的形式，称为复数。

平面上的一个矢量也用两个实数表示，比如F =（F_x，F_y），F_x是横轴方向分量，F_y是纵轴方向分量。两个矢量可以相加，比如E=（E_x，E_y），则 E + F =（E_x，E_y）+（F_x，F_y）=（E_x+F_x，E_y+F_y）。到这里我们能够发现复数和二维矢量有3点是完全一致的，1、都用两个实数表示；2、都可以对应于平面上的一个点；3、具有相同的加法运算规则。复数和矢量的区别在乘法上，复数的乘法我们已经看到了，(a+ib)×(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)，结果是一个复数。矢量的乘法是什么样子的呢，平面上矢量之间的乘法称为内积，比如E·F= E_x×F_x+E_y×F_y，“·”表示内积运算，两个矢量相乘得到的结果是一个实数，而不是一个矢量。这就可以看出复数和矢量的区别了，是乘法中存在区别。

我们已经知道复数的特殊性出现在乘法规则上，那复数的提出究竟有什么意义呢？看下面的积分

这是一个实变函数的积分，利用高等数学中的知识是很难计算出解析结果的。但是如果利用复变函数的理论就能很方便的计算出结果为π/2。还有复变函数理论中的保角变换法可以解决流体力学、空气动力学、场论等多方面的实际问题。