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自我指涉(7)——语言限制了数学
热度 5 应行仁 2013-12-2 11:12
数理逻辑用严谨的方式研究语法、语义,涉及语言的局限性。先略加解释要用到的概念、术语和符号。 用个体变元、个体常元、函数符号、关系符号(或称谓词符号),以及与 ∧、或 ∨、非 、蕴涵 →等命题连接词,加上“存在 ∃ ”和“一切 ∀ ”两种量词构成了 谓词逻辑语言 。语言中,用符 ...
个人分类: 科普|10437 次阅读|12 个评论 热度 5
自我指涉(6)——数学基础的修补
热度 7 应行仁 2013-11-28 10:22
经过几十年的考察,正当集合论被广为接受,成了数学的基础时, 1903 年罗素( Russell )和策墨罗( Zermelo )几乎同时发现了悖论。罗素悖论是:定义罗素集 R 为所有不包含自己作为元素的集合: R = { x | x ∉ x } ,然后问 R 是不是属于这个集合?麻烦的是,如果 R ∈ R ,即 R 是集合 ...
个人分类: 科普|10127 次阅读|15 个评论 热度 7
自我指涉(5)——真值的间隙
热度 4 应行仁 2013-11-25 10:33
塔斯基的理论成功地应用在表达数学和计算机程序的形式语言中。这些语言的功能比较简单,通过元语言与对象语言可以清晰严谨地分层描述。塔斯基是数理逻辑模型论开创者之一,用严谨的数理逻辑建立起语义真理论。他的真语句集不可定义性定理和判定性问题的研究,在数学、哲学、语言学上意义重大。他对语义悖论的层次结构解决 ...
个人分类: 科普|8920 次阅读|13 个评论 热度 4
自我指涉(4)——不谈自身无烦恼
热度 6 应行仁 2013-11-21 10:24
无歧义严谨定义的形式语言,现在已经广泛应用在计算机程序语言和数学公理表达中。塔斯基是先驱之一。他严格定义的 T 模式,让我们可以用数理逻辑的理论,来研究与真理有关的问题。在数理逻辑中,有个著名的“对角线引理”,或称为“不动点定理”,【 1 】如下: 设S是包含着一阶算术的理论,对任给公式φ(x)存在一 ...
个人分类: 科普|9752 次阅读|11 个评论 热度 6
自我指涉(3)——什么是真理
热度 9 应行仁 2013-11-18 10:25
上一节的语义悖论反映出自然语言表达的疵瑕和能力的不足。谎言悖论和 Grelling's paradox 让我们思考语义的基本概念:什么样的句子是“真”的。后两例, Berry’s paradox 和 Richard's paradox 反映了语言表达“可定义”的能力问题。它们归结为:怎么定义句子为真的。 在哲学家和逻辑学者眼中,真理是 ...
个人分类: 科普|10120 次阅读|21 个评论 热度 9
自我指涉(2)——语义悖论
热度 15 应行仁 2013-11-14 10:24
公元前 4 世纪希腊哲学家 Eubulides 是个有趣的人,他提出七个悖论【 1 】当时都很有名,亚里士多德和柏拉图用它们作为促进思考的饭后谈资。最有名的当然是谎言悖论,其中三个可以用这个故事来代表: 阿发忽略了走近他的人,把他当作陌生人。这个人是他的父亲。阿发是否忽略他的父亲,把他当作陌生人? 另两 ...
个人分类: 科普|13704 次阅读|28 个评论 热度 15
自我指涉(1)——谎言悖论
热度 19 应行仁 2013-11-11 07:30
在科学史上,还没有一种悖论像自我指涉( self-reference )的悖论那样引起广泛的注意。自我指涉合法存在于人们日常语言中,数学基础上和认知科学里,随处可见,造成的矛盾在逻辑上无懈可击,历经了两千多年,对此除了尽量规避之外,至今专家们仍然没有妥善的解决方案。它构造矛盾的方法成为证明中的重要技巧,在一些 ...
个人分类: 科普|21386 次阅读|63 个评论 热度 19
怎么读悖论
热度 28 应行仁 2013-11-7 08:23
读书人典型的有两类,一类博闻强记,脑子是书架子,关心的是标准答案,装的知识多了就成了博士、博导和院士。说话必有所据,洋洋洒洒引经据典多是精装书和名人所说。至于名人和精装书说的对不对,那是别人的事。另一类是爱思考,用脑子琢磨事,喜欢在大家熟视无睹的地方找问题,关心的是原理逻辑和为什么,谁说的不重要, ...
个人分类: 科普|14800 次阅读|75 个评论 热度 28
等邮件的数学模型
热度 12 应行仁 2013-8-30 08:01
董明提出一个很有意思的数学模型问题 ,说网购了几本书,收到发货通知后,儿子天天问“今天书会不会到”。刚开始他回答:“可能,机会比昨天大一点。”心中想的是每一天到货的概率分布,这概率密度是类似于正态分布的曲线。按照这个模型,前几天没收到书,今天收到书的概率会越来越大,最后儿子问:“要是一直不来, ...
个人分类: 科普|9921 次阅读|26 个评论 热度 12
理解数学——模型(3)
热度 8 应行仁 2013-8-16 07:53
从形式主义的观点来看,数学的命题是由没有含义的符号,按照语法规则形成的符号串;数学的推理是按照演绎规则,机械地产生出一些新的符号串;数学的各个分支理论,只是在逻辑上自洽的命题集合,在里面研究怎样演绎产生的新命题。虽然凭借着各种例子的解释,赋予这些数学概念和命题的某种解释,但这些不能够被准确定义的形 ...
个人分类: 科普|9666 次阅读|10 个评论 热度 8

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