程代展写了篇《解方程的故事》，有人举吴中祥老师的文章《任意n次不可约方程的根式解》为例，认为他说“五次方程没有根式解”错了。吴老师也以讨论的态度邀读他的文章，程写了篇《五次方程到底有没有根式解？》指出其中两处错误。在这博文评论跟帖里激烈交锋，因为缺乏问题细节和专业概念，很多围观的人看了一头雾水，程兄希望我给大家普及一下有关的概念。原想贴在他博文评论里，只是长了点，有些数学符号也不好表达，就写在这里。

 

我这科普只涉及到中学代数知识，希望能把问题和争论说清楚。

 

他们的争论有两点，先说简单的。程指出吴老师文中：“当方程的整个求解过程中添加根式的最大指数n∗>4时，一般不可约代数方程没有根式解”是错误的。他举例说：不可约可解方程$x^5=2$的一个解$x=2^{1/5}$，就是根式解，不添加五次根式能行吗？所谓根式解就是将方程的系数通过有限次加、减、乘、除、开方(开任意次方) 将解表达出来。这在数学标准教科书都是如此，当然是对的。吴认为这是数，不是根式解，这方程也不需要根式解。其实程是借具体的例子，说明这句话不准确，当然他如果说 $x^{5} - a = 0$， $a>0$，$x=a^{1/5}$，可能会不大容易误解。这一点也不是吴的核心利益，冷静下来明白了是什么意思，大可一笑放过。

 

争论的核心是下面的一个线性方程组，这是吴氏法的一个关键步骤。（引自程博文和吴的评论[34]，他们表达式中都是$y_4=y_5$以及$a=b$，疑为笔误，这更不利于吴，我参照吴的博文改正过来）

 

吴氏法说：任意的5次不可约方程（消去其中的4次方项）的5个根，$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5$都可以由4个任意参量：$z _1 , z_ 2 , z_ 3 , z_ 4$ 由下式来表示：

 

$y_1 =z_1 +z_2 +z_3 +z_4$ ,

$y_2 =az_1 +az_2 +bz_3 +bz_4$ ,

$y_3 =bz_1 +bz_2 +az_3 +az_4$ .

$y_4 =az_1 +bz_2 +az_3 +bz_4$ ,

$y_5 =bz_1 +az_2 +bz_3 +az_4$ ,

 

其中$a =(-1 - i\sqrt 3)/4$, $b =(-1 + i\sqrt 3)/4$,

 

吴认为：任意的5次不可约方程，消去其中的4次方项后，就有其5个根之和为0，只需4个能够满足此条件的任意参量，就完全能表达这5个根。因此再利用方程的各根与系数的关系式，建立起由这4个任意参量和方程各系数表达的的4个方程式。问：“为什么几乎所有五次方程的解不能表示成这种形式？”（读者如果略去这个表达式的由来，也不影响对争论的理解）

 

程代展指出：由这个线性的表达式，这4个任意参量是不能够来表示5个（即使减为4个线性独立的）方程的根，因为这线性方程的系数距阵的秩是3，所以这4个任意参量在这表达式下最多只能表示3个自由量。他用了个“测度为0”的术语，表示能够用这表达式求解的概率为0，即使是你运气好，碰到一个方程能够用这方法解出来，把这好运气的方程随便哪个参数变一点点，就不灵了。（听不懂这里面的道道也不要紧，读者可以跳过这句话。）他举一个实例：符合吴要求的，无4次方项的五次不可约方程$y^5-y^3=0$，它的解是{1，-1，0，0，0}，它就不能够用上面的表达式用任意4个的参量z来表示，这是按中学代数知识就能够手算验证的。所以这个方程就不能够用吴氏法来解。从几何的直观来看，要把五次方程的根都线性投影到4维空间的3维超平面上是要运气好到了家。一般是做不到的。

 

这上面的分析都没有涉及到伽罗华理论，仅仅是针对吴老师文中线性表达这一方法，但这是解法中的关键之处。吴老师大约太注意防卫来自伽罗华理论方面的攻击，忽略了这个薄弱环节。我想他不是不懂，是太大意了。程的分析说：如果随机给出五次方程的系数，这方法能够灵的概率是0。

 

还有一个疑问，吴老师说：程举的例子$y^5-y^3=0$，不是“通常所说的不可约的5次方程”，那什么是吴的“不可约”方程？查了他博文，似乎指其方程最高次项的系数为1，如果是这样，程的例子也符合这个标准（如果不是这样，请吴老师指正）。其实这个例子不是个关键，只是帮助理解这表达式有问题的简单示例。

 

根据伽罗华理论，5次方程是不可能有根式通解。挑战这个逻辑的定论等价于推翻一个系统，完全没有可能。当然，根据伽罗华理论，总是可以构造出特殊一类的5次方程有根式解。一个平凡的例子是$x^{5} - a = 0$。不过即使是再复杂点，也没有什么意义，数值上现在用计算机解，理论上都已在伽罗华理论里了。

 

非专业人士挑战专业，要特别注意属于专业概念性和常识性的知识，不然费尽心力的结果可能在不起眼的地方绊倒，我前几天写了篇博文以一个事例，介绍非专业人士该怎么和数学工作者对话。写后虽然有时还得费心给匿名的民科评论员普及：什么叫逻辑中的“排中律”，说明院士的不反对和海外发表，不能作为数学的证明等等。但是认真的主角还是同意了：他的文章是理念性的，不是一般的数学问题。我也理解了他谈的不是数学里实数、集合势和康托尔定理的问题，这只是他未来的努力方向。这也达到了沟通。

 

 

 

【后记】写于评论[32]，点击2700之后

 

本文之后吴老师写了篇博文《对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解（1）》继续讨论这个问题。http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=226&do=blog&id=670152

 

因为在博文和网上，无法找到他的“不可约方程”确切定义，我请教他后，理解了他对这个的定义是：不能在有理数域上做因式分解的多项式方程。这能够解释他不认同 $y^5-y^3=0$ 是不可约方程的原因。了解这一点后，程也许改用符合他定义的方程，比如说 $y^5-5y-2=0$，来举例说明，也许会比较容易沟通点。当然，这不是个重点，那只是个为了说明吴氏法不能解这简单方程的例子。能够用来解决不可约代数方程的方法，也应该能够用来解可约的方程。

 

程的博文核心的理由是：吴氏法中线性表达式矩阵的秩是3，不足以表达所有5次方程根。这也许对没学过线性代数的人不大容易理解。下面的推理可能会容易些。

 

将上面$y_1,y_2,y_3,y_4,y_5$的表达式中代入运算，我们有根的关系：

$y_2+y_3-y_4-y_5=0$

$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=0$

 

这就是说这5个根中只有3个是自由的量（线性独立的），只有满足这两个关系式的根的方程，才有可能用他的方法。这是比较罕见的情况。比如说符合不可约的代数方程$y^5-5y-2=0$，它精确到6位小数的根是：

$y_1=1.582038$

$y_2=-1.371882$

$y_3=-0.402102$

$y_4=0.095974-i1.510795$

$y_5=0.095974+i1.510795$

 

很容易验证，它们不能满足这个$y_2+y_3-y_4-y_5=0$关系式，也就是说不能用吴氏法来解。

 

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