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一个高中数学不等式的证明

已有 1976 次阅读 2014-10-29 17:55 |系统分类:科研笔记

题目:已知$a_1,a_2,\cdots,a_n$为$n$个正数,且$a_1a_2\cdots a_n=1$,

求证:$$2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_n)\geqslant 3^n.$$


证明: 由$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个正数及均值不等式有


$(2+a_1)\geqslant 2\sqrt{2a_1}$

$(2+a_2)\geqslant 2\sqrt{2a_2}$

$\cdots \cdots$

$(2+a_n)\geqslant 2\sqrt{2a_n}$


以上式子左右两边相乘,由$a_1a_2\cdots a_n=1$有
$$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_n)\geqslant (2\sqrt{2})^n \sqrt {a_1a_2\cdots a_n}=(2\sqrt{2})^n $$
但是题目要求证$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_n)\geqslant 3^n$,而$3^n\geqslant (2\sqrt{2})^n$,因此均值不等式失效.
观察所求不等式$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_n)$的特征数$3$,联想不等式$$a+b+c\geqslant\sqrt[3]{abc}.$$
将$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_n)\geqslant 3^n$中的$2$拆分成$(1+1)$,即$$(1+1+a_1)(1+1+a_2)\cdots (1+1+a_n)\geqslant 3^n$$
不等式左边用$a+b+c\geqslant\sqrt[3]{abc}$有

$(1+1+a_1)\geqslant 3\sqrt[3]{a_1}$

$(1+1+a_2)\geqslant 3\sqrt[3]{a_2}$

$\cdots \cdots$

$(1+1+a_n)\geqslant 3\sqrt[3]{a_n}$


以上式子左右两边相乘,由$a_1a_2\cdots a_n=1$有
$$(1+1+a_1)(1+1+a_2)\cdots (1+1+a_n)\geqslant 3^n\sqrt[3]{a_1a_2\cdots a_n}=3^n$$
即$$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_n)\geqslant 3^n.$$

证明:题目为一命题,可用数学归纳法证明
(1)当$n=1$时,显然成立;
(2)假设当$n=k$时命题成立;
当n=k+1时,
对$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_{k+1})$中的$a_1,a_2,\cdots,a_{k+1}$满足
$a_1,a_2,\cdots,a_{k+1}>0$,$a_1a_2\cdots a_{k}=1$,
则$a_1,a_2,\cdots,a_{k+1}$有
$$a_i\geqslant 1,a_j\leqslant 1$$
其中$i,j=1,2,\cdots,k+1$.
进而
$$(a_i-1)(a_j-1)\leqslant 0$$ $$a_i+a_j\geqslant a_ia_j+1$$
从而

$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_{k+1})$

$=(2+a_1)(2+a_2)\cdots(2+a_i)(2+a_j)\cdots(2+a_{k+1})$

$=(2+a_1)(2+a_2)\cdots(4+2(a_i+a_2)+a_ia_j)\cdots(2+a_{k+1})$

$\geqslant3(2+a_1)(2+a_2)\cdots(2+a_ia_j)\cdots(2+a_{k+1}) $



将$a_ia_j$看作$a_m$,$m=1,2,\cdots,k$,用归纳假设有


$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_{k+1})$

$\geqslant3(2+a_1)(2+a_2)\cdots(2+a_m)\cdots(2+a_{k+1})$

$=3^{k+1}. $


由(1)(2)有$$(2+a_1)(2+a_2)\cdots (2+a_n)\geqslant 3^n$$成立.

 



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2 徐传胜 尤明庆

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