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Zmn-0665 沈卫国：对“Zmn-0660新华：回复沈卫国先生的意见”一文的回复。

已有 840 次阅读 2021-9-8 08:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0665 沈卫国：对“Zmn-0660新华：回复沈卫国先生的意见”一文的回复。

【编者按。下面是沈卫国先生的文章，是对新华先生《Zmn-0660》文章的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

对“Zmn-0660新华：回复沈卫国先生的意见”

一文的回复

沈卫国

内容提要：涉及对线的定义是否循环定义的问题以及1是否等于0.999......问题的进一步讨论。最后简略地讨论了超穷数问题。

关键词：线段；点；轨迹；无穷；不可达极限；极限；循环论证；循环定义；逻辑循环；超穷数；误差；精确；级数

首先感谢新华先生的回复。我认为，这种深入的讨论是很有益处的。下面谈些意见。

1、新华先生说“线的定义是点的运动轨迹”不是循环定义。我认为不妥。它事实上就是循环定义。这个定义中涉及两个概念“运动”和“轨迹”。而“轨迹”按新华先生的说法，是“点按一个运动规律运动的痕迹”。什么“运动规律”？首先这个说法本身就是语焉不详的。还不是可以沿着某线段运动的规律？不能沿着某线段运动的规律，能“画出”沿着某线段运动的轨迹来吗？不可能的。所以，还是逻辑循环。“轨迹”，可以视为是“轨道状的痕迹”。而轨道状，只能是线状的。轨道是长的，有长度的。因此，线段、长度如果由轨道定义，那么，反过来，轨道也必须涉及长度，线段，也就是必须由后者定义。这就是循环定义。所以，这种定义，只是描述性的，也就是用一个平等的概念（也许“通俗”一些，被使用的多些），去说明或“定义”另一个平等的概念。这是一种“伪定义”（甚至一些教科书或词典中的“定义”都是这类）。不是用一个更基本的概念去定义一个非基本的概念。因此，轨迹和线，都涉及对方。因此就是循环定义。事实上，你尽可以把教科书中所有有“线”一词的地方，全部用“轨迹”一词代之，不会有任何问题。此外，说点运动的轨迹构成线，固然不错。虽然它不是真正意义的定义。但难道点不运动就没有线了？请问，静止的铁轨轨道，就不是线状的了？只有火车在上面驶过时的轨迹才是线状的？当然不通。所以新华先生的这个看法有问题的。

明确地说，新华先生的说法，“轨迹就是‘点按一个运动规律运动的痕迹’”。而“点按一个运动规律的运动痕迹”就是线状的，也就是一条线。于是可以推出“轨迹就是一条线”。而新华先生对线的定义（也许是教科书中的描述性“定义”）“线是点的运动轨迹”，把“轨迹就是一条线”这个定义代入，就是“线就是一条线”。或“线就是点按一个运动规律运动的构成的一条线”。自己定义自己。就是循环定义。

2、关于0.999......和0.333......的问题。我与新华先生基本一致。但我的意思是，由于人们在实际运算、使用中不可能随时变换进位制（只能在一个进位制中运算），因此在含有其它质数因子的数的进位制下可以精确表达的数，在此进位制中不可能精确地被表达。（什么叫“互质”？）比如十进制与三进制之间的数的转换问题。于是，只好退而求其次，用无穷位小数表示这个有无限小下去的误差的数。这是不得已。因此在近似意义上，实用的角度上，我们把0.999999..............“定义成1”，把0.33333333...........“定义成1/3”。这里1与1/3是精确的，而无穷小数是非精确的。当然这个误差是可以无穷小下去的。但不可消除。因为1是0.999999............的极限不假，但却是“不可达极限”，也就是到不了的极限。既然“到不了”，能真正意义地相等吗？只能近似，尽管这个近似是无限小误差的。本质上，0.999999............之类的所谓“数”就是一个级数，起码是可以表达为一个级数，它在数轴上是无法精确定位的。它的“不可达极限值”1才可以精确定位。这是本质区别。但马马虎虎一些，在无限近似的意义上，为了方便（不在不同进位制间来回切换），把二者看成一回事，只要知道其来龙去脉，也无不可。还可以从另一个角度看这个问题：好像是林益先生说的（似乎网上更早也有人提出，待考。首创者必须明确，这是规矩），1/1 = 1，既然1 = 0.99999..............，那么，1/1究竟是如何得到0.99999..........的？必须1/1时不去得到这个明显的处于个位（小数点前）的结果“1”，而是先令个位上等于“0”然后小数点后每位为9，无穷地进行下去，以得到0.99999.............。这不是荒唐吗？不是矫揉造作吗？凭什么非如此做？而如果真的1 = 0.999999..............，还就真的没有理由拒绝这种无厘头的做法。从这个角度，也可以看出如果1 = 0.999999.............是精确意义上的话，其违反常识之处。总之，为了实用、方便，把1看成0.99999...........，绝对不是把近似定义成精确的意思，恰恰相反，是确定这是一个近似关系。也就是只有在近似的意义上，才可以这么做。而以往论家，不是一口咬定1与0.999999...........绝对相等，就是排除二者二者在近似意义上相等的可能。因此争论不休。我认为，我把这个问题的来龙去脉彻底的澄清了。

3、关于超穷数问题，比较复杂。我认为不能说它一无是处。新华先生说它“违反客观事实”，那么，是什么样的“客观事实”？康托把它按其公理定义出来了，这本身不也是一种“客观事实”吗？什么体系，只要是能无矛盾地构造出来，其本身就构成了一种“客观事实”。所以，有用没用不能作为超穷数是非的判定根据。否则数学中没用的东西多了去了。超穷数的问题，林益先生自己也说，其前半部分没有什么大问题，关键还是后面涉及的可数不可数的问题。如果把可数的算作一类，而不可数的算作另一类，这个就是错的。因为康托对角线法所谓的“证明了”实数不可数不能成立。所以关键的问题，还是可数与不可数的问题，康托对角线法的问题。

其它问题，似乎可说的不多了。

不唯书，不唯上。谁都知道，谁都会说。但很多人一到实际问题，就忘的一干二净。新华先生好学深思，很难得。望我们共勉共进。

附录：新华先生的回复

Zmn-0660 新华：回复沈卫国先生的意见

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