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Zmn-0665 沈卫国: 对“Zmn-0660新华:回复沈卫国先生的意见”一文的回复。

已有 127 次阅读 2021-9-8 08:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0665 沈卫国: 对“Zmn-0660新华:回复沈卫国先生的意见”一文的回复。

【编者按。下面是沈卫国先生的文章,是对新华先生《Zmn-0660》文章的回复。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

对“Zmn-0660新华:回复沈卫国先生的意见”

一文的回复

沈卫国

 

 

    内容提要:涉及对线的定义是否循环定义的问题以及1是否等于0.999......问题的进一步讨论。最后简略地讨论了超穷数问题。

 

关键词:线段;点;轨迹;无穷;不可达极限;极限;循环论证;循环定义;逻辑循环;超穷数;误差;精确;级数

 

 

首先感谢新华先生的回复。我认为,这种深入的讨论是很有益处的。下面谈些意见。

 

1、新华先生说“线的定义是点的运动轨迹”不是循环定义。我认为不妥。它事实上就是循环定义。这个定义中涉及两个概念“运动”和“轨迹”。而“轨迹”按新华先生的说法,是“点按一个运动规律运动的痕迹”。什么“运动规律”?首先这个说法本身就是语焉不详的。还不是可以沿着某线段运动的规律?不能沿着某线段运动的规律,能“画出”沿着某线段运动的轨迹来吗?不可能的。所以,还是逻辑循环。“轨迹”,可以视为是“轨道状的痕迹”。而轨道状,只能是线状的。轨道是长的,有长度的。因此,线段、长度如果由轨道定义,那么,反过来,轨道也必须涉及长度,线段,也就是必须由后者定义。这就是循环定义。所以,这种定义,只是描述性的,也就是用一个平等的概念(也许“通俗”一些,被使用的多些),去说明或“定义”另一个平等的概念。这是一种“伪定义”(甚至一些教科书或词典中的“定义”都是这类)。不是用一个更基本的概念去定义一个非基本的概念。因此,轨迹和线,都涉及对方。因此就是循环定义。事实上,你尽可以把教科书中所有有“线”一词的地方,全部用“轨迹”一词代之,不会有任何问题。此外,说点运动的轨迹构成线,固然不错。虽然它不是真正意义的定义。但难道点不运动就没有线了?请问,静止的铁轨轨道,就不是线状的了?只有火车在上面驶过时的轨迹才是线状的?当然不通。所以新华先生的这个看法有问题的。

明确地说,新华先生的说法,“轨迹就是‘点按一个运动规律运动的痕迹’”。而“点按一个运动规律的运动痕迹”就是线状的,也就是一条线。于是可以推出“轨迹就是一条线”。而新华先生对线的定义(也许是教科书中的描述性“定义”)“线是点的运动轨迹”,把“轨迹就是一条线”这个定义代入,就是“线就是一条线”。或“线就是点按一个运动规律运动的构成的一条线”。自己定义自己。就是循环定义。

 

2 关于0.999......0.333......的问题。我与新华先生基本一致。但我的意思是,由于人们在实际运算、使用中不可能随时变换进位制(只能在一个进位制中运算),因此在含有其它质数因子的数的进位制下可以精确表达的数,在此进位制中不可能精确地被表达。(什么叫“互质”?)比如十进制与三进制之间的数的转换问题。于是,只好退而求其次,用无穷位小数表示这个有无限小下去的误差的数。这是不得已。因此在近似意义上,实用的角度上,我们把0.999999..............“定义成1”,把0.33333333...........“定义成1/3”。这里11/3是精确的,而无穷小数是非精确的。当然这个误差是可以无穷小下去的。但不可消除。因为10.999999............的极限不假,但却是“不可达极限”,也就是到不了的极限。既然“到不了”,能真正意义地相等吗?只能近似,尽管这个近似是无限小误差的。本质上,0.999999............之类的所谓“数”就是一个级数,起码是可以表达为一个级数,它在数轴上是无法精确定位的。它的“不可达极限值”1才可以精确定位。这是本质区别。但马马虎虎一些,在无限近似的意义上,为了方便(不在不同进位制间来回切换),把二者看成一回事,只要知道其来龙去脉,也无不可。还可以从另一个角度看这个问题:好像是林益先生说的(似乎网上更早也有人提出,待考。首创者必须明确,这是规矩),1/1 = 1,既然1 = 0.99999..............,那么,1/1究竟是如何得到0.99999..........的?必须1/1时不去得到这个明显的处于个位(小数点前)的结果“1”,而是先令个位上等于“0”然后小数点后每位为9,无穷地进行下去,以得到0.99999.............。这不是荒唐吗?不是矫揉造作吗?凭什么非如此做?而如果真的1 = 0.999999..............,还就真的没有理由拒绝这种无厘头的做法。从这个角度,也可以看出如果1 = 0.999999.............是精确意义上的话,其违反常识之处。总之,为了实用、方便,把1看成0.99999...........,绝对不是把近似定义成精确的意思,恰恰相反,是确定这是一个近似关系。也就是只有在近似的意义上,才可以这么做。而以往论家,不是一口咬定10.999999...........绝对相等,就是排除二者二者在近似意义上相等的可能。因此争论不休。我认为,我把这个问题的来龙去脉彻底的澄清了。

 

3、关于超穷数问题,比较复杂。我认为不能说它一无是处。新华先生说它“违反客观事实”,那么,是什么样的“客观事实”?康托把它按其公理定义出来了,这本身不也是一种“客观事实”吗?什么体系,只要是能无矛盾地构造出来,其本身就构成了一种“客观事实”。所以,有用没用不能作为超穷数是非的判定根据。否则数学中没用的东西多了去了。超穷数的问题,林益先生自己也说,其前半部分没有什么大问题,关键还是后面涉及的可数不可数的问题。如果把可数的算作一类,而不可数的算作另一类,这个就是错的。因为康托对角线法所谓的“证明了”实数不可数不能成立。所以关键的问题,还是可数与不可数的问题,康托对角线法的问题。

 

其它问题,似乎可说的不多了。

不唯书,不唯上。谁都知道,谁都会说。但很多人一到实际问题,就忘的一干二净。新华先生好学深思,很难得。望我们共勉共进。

 

 

附录:新华先生的回复

 

Zmn-0660 华: 回复沈卫国先生的意见

 

 

 

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