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Zmn-0455 薛问天:杨六省先生的错误和认知缺陷。评《Zmn-0447》

已有 177 次阅读 2021-2-23 10:57 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0455 薛问天:杨六省先生的错误和认知缺陷。评《Zmn-0447》

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对杨六省先生《Zmn-0447》的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

杨六省先生的错误和认知缺陷。

评《Zmn-0447》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg关于杨六省先生的【质疑教材事件】,已经告一段落。[人民教育出版社中学数学编辑室],已于2021年1月19日作出正式回答,说【邮件对我室编写的义务教育教科书数学七年级下册中关于根号2不是有理数的证明提出质疑。经研究,我们认为上述教科书中关于根号2不是有理数的证明没有问题,这也是通常使用的证明方法。

不过杨六省先生不服,写出文章[2]【人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力】。另外,杨六省先生的几篇文章。[3]【对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑】和[1]【对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑】,也都与此问题有关。(详见《0447》及附件。)

另外杨六省先生在本《专栏》发表的文章,如《0364》对文兰院士的证明提出质疑,受到文兰先生《0368 》的批评。后又有些讨沦,我也发表了重要的意见《Zmn-0401 薛问天:量词和论域的重要作用。评杨六省先生的《0392》》。

Zmn-0429 杨六省: 又一新的证据再次表明毕达哥拉斯学派关于√2 不是有理数的证明是无效的》受到:《Zmn-0438 薛问天: 在反证法假定下推出的矛盾说明什么?评杨六省先生的《0429》》的反驳。

另外最近的[4]《Zmn-0447 杨六省: 数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解。》也需要对其中的错误观点进行评论。

杨六省先生产生错误的主要原因是他在认知上有如下几个缺陷。

(1),他沒有认识到表述命题要确切地用好「量词」和「论域」。

(2),扬六省先生没有认清原假定(A)「存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数。」与新假定(B)「存在p,q,√2=p/q,p和q互质。」等价,(A)≡(B)。

(3),杨六省先生没有认识到,在反证法中的假定下,不管推出任何的矛盾命题都行,哪怕这种命题,并不能直接否定反论题,或确立原论题。只要运用的是正确的推理规则,严格地推出的是相互矛盾的任何命题,就可推翻假定,而使定理得证。

下面我们就对杨六省先生这几篇文章的错误,和他的认知缺陷作些具体的分析。

 

[1]杨六省: 对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑】。

此文的错误有两点,

第一,杨六省先生不了解可以严格证明,这两个表达【√2是有理数】的命题是等价的。一个是(A)【存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数”。】一个是(B)【存在p,q,√2=p/q,p和q互质。】(由(A)可以推出(B),同时由(B)′也可推出(A),所以说(A)和(B)是等价的。自然(乛A)和(乛B)也是等价的。

杨六省断言【√2不是有理数】是原论题,和(A)是【反论题】,这当然是正确的。但断言(B)不是【反论题】的表达,就是没有认识到(A)和(B)的等价性,所以是错误的。

杨六省的另一个错误是没有用量词和论域來正确地表达命题,从而产生一些歧意。如他说【"√2=p/q(p,q互质)”与 “√2=p/q(p和q不全是整数)”并非矛盾判断关系,】其实这两命题的正确表达,前者是【存在着p,q,使√2≠p/q,p,q互质。】后者是【不存在p,q,使√2=p/q,p,q是整数。】前者是(B),而后是乛(A)。很明显由于(A)≡(B),这两个命题(B)和乛(A),是相互矛盾的命题。而扬六省说它们是【并非矛盾判断关系】是错误的。

 

[2]杨六省: 人教社中学数学编辑室的回复缺乏说服力】。

杨六省提出了三个问题。

①把√2=p/q(p,q互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题,是合理的吗?

前面已讲过,:杨六省断言【√2不是有理数】是原论题,和(A)【存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数”。】是【反论题】,这当然是正确的。但断言(B)【存在p,q,√2=p/q,p和q互质。】不是【反论题】的表达,就是没有认识到(A)和(B)的等价性,所以是错误的。

②由假设√2=p/q(p和q全是整数)能够推出“p和q都是偶数”吗?

【p,q是偶数】,准确的表述是(C)「对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q是偶数。」

我们知道(C)是个可证的定理,已证过多遍。此定理并不需要假设√2=p/q(p和q全是整数)。当然,在此假定下,定理也是成立的。

③由p和q都是偶数与假设p,q互质矛盾,能推出“√2不是有理数”吗?

这就是反证法。由反证法的假定推出的任何一组矛盾,就能:推翻了反证法的假定,使定理得证。关于这点,扬六省先生对反证法的证法,有认知上的缺陷。

杨先生说【我认为,由p和q都是偶数(注:姑且不论证明中关于这种结论的推出是否有效)与假设p,q互质矛盾,是推不出“√2不是有理数”的,理由是:由p和q都是偶数只能否定“√2=p/q(p,q互质)”,而不能否定“√2=p/q(p和q全是整数)”,因为p和q都是偶数与“√2=p/q(p和q全是整数)”中的“p和q全是整数”并不矛盾;】这个对反证法的理解是错误的。在反证法中只要在反证法的假定下,推出任何矛盾,就可以推翻假定,从而使定理得证。在这里,在【√2是有理数】假定下,推出【p和q都是偶数】和【p,q互质】这个矛盾就推翻了【√2是有理数】这个假定,得出了【√2不是有理数】这个结论。在反证法的证明中,并不要求在反证法的假定下推出的一个矛盾命题,一定要同反证法的假定相矛盾。

不过另一方面,在这里推出的【p和q都是偶数】,它的完整的表述是【对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q是偶数。】它能推出【对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q非互质。】这就是乛(B),它同(B)【存在p,q,√2=p/q,p和q互质。】是相互矛盾的。由于(B)≡(A),所以它同(A)【存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数”。】也是矛盾的。

杨先生说【不能认为,应用反证法,无论推出了什么样的矛盾,都表示原论题得证,而不考虑反论题的设定是否正确,每一步的推理是否合理,这种含混的观点在教学中是有害的,因为它误人子弟!】

这是一句逻辑混乱的话,因为【反论题的设定是否正确,每一步的推理是否合理,】这同【无论推出了什么样的矛盾,都表示原论题得证,】没有直接关系。

扬先生,我问你在【反论题的设定正确,每一步的推理都正确】的条件下,你同意还是不同意【无论推出了什么样的矛盾,都表示原论题得证】?

 

[3]杨六省: 对初中数学教科书关于√2不是有理数证明的质疑

杨先生说【(1)把√2=p/q(p,q互质)设定为原论题“√2不是有理数”的反论题,是违反反证法基本要求的。

前面已讲过,:杨六省断言【√2不是有理数】是原论题,和(A)【存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数”。】是【反论题】,这当然是正确的。但断言(B)【存在p,q,√2=p/q,p和q互质。】不是【反论题】的表达,就是没有认识到(A)和(B)的等价性,所以是错误的。

杨先生说【(2)即使反论题的设定是正确的,但如果推理过程有错,那么,就无法保证推出的矛盾能够否定反论题,也就无法确立原论题为真。

杨先生认为【由√2=p/q(p和q全是整数)既推不出√2=p/q(p,q互质),也推不出p和q都是偶数,理由如下:

扬先生的理由是【“√2=p/q(p和q全是整数)”之所以不存在,只是由于等式的右端不存在。试问,对于一个不具有存在性的东西,何以能够谈论分数的化简呢?还可以换一种说法,现今的人们都知道,对于“√2=p/q”而言,其中的p和q不可能全是整数,在这种情况下,谈论分数的化简有意义吗?因此,依据上述理由,由√2=p/q(p和q全是整数)是推不出√2=p/q(p,q互质)的。

杨先生的这句话完全是一派混乱的逻辑。他说【现今的人们都知道,对于“√2=p/q”而言,其中的p和q不可能全是整数,杨先生竟然不知道这就是我们要证的论题。我的定理要证明的论题就是√2不是有理数,就是要证明【对于“√2=p/q”而言,其中的p和q不可能全是整数,】如果【现今的人们都知道】,为什么还要來证明。

从这句话可以看出杨先生根本就不懂反证法。因为反证法的假定就是证明要最后推翻的假的假定。按照杨先生的逻辑,反证法的假定是【不存在的】,怎么能推出矛盾?要知道反证法就是假定它存在,才推出矛盾,由此矛盾才最后证明它不存在,使定理得证。

 

另外杨先生还认为【由√2=p/q(p和q全是整数)是推不出p和q都是偶数的。】

扬先生论述的错误主要是没有用量词和论域束准确表达命题。如果严格地表达,则没有任何问题。我们约定论域是正整数。

【√2是有理数】,【√2=p/q(p和q全是整数)】,准确的表述是(A)「存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数。」

【√2是有理数的等价定义】,【√2=p/q(p,q互质)】 ,准确的表述是(B)「存在p,q,√2=p/q,p和q互质。

所证明的【p,q是偶数】,准确的表述是(C)「对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q是偶数。」

我们知道(C)是个可证的定理。由(C)可推出命题「对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q是不互素的:。」但我们知道这个命题就是乛(B)。由于(B)是【存在p,q,√2=p/q,p和q互质。】所以乛(B)就是「对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q是不互素的:。」即由(C)推出了乛(B)。这里用到一个逻辑公式  

乛(彐x)[P(x)∧Q(x)] ≡ (∀x)[乛P(x)V乛Q(x)] ≡ (∀x)[P(x)→乛Q(x)。

也就是说,在反证法的假定(A)下推出了(B),而又由定理(C)推出了乛(B)。(B)同乛(B)是推出的矛盾。所以用反证法就推翻了(A),使定理得证。因而附1引述的证明是有效的。

当然杨先生引述的附2,他自己的证明也是有效的。因为他证明了在假定(A)「存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数。」下,「任何p,q,如果√2=p/q.,则p,q不是整数」。这就是乛(A)。也就是说是在反证法的假定(A)下,推出了(A)同乛(A)的矛盾。使定理得证。

 

楊先生说【因为p和q都是偶数与“√2=p/q(p和q全是整数)”中的“p和q全是整数”并不矛盾;

这是不对的。【p和q都是偶数】指的是定理(C),由它可以推出乛(B)「对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q是不互质的:。」而

“√2=p/q(p和q全是整数)”,是命题(A),它同(B)等价,(A)≡(B),(B)是「存在p,q,√2=p/q,p和q互质。」可见这里推出了(B)同乛(β)的矛盾,以及(A)和乛(A)的矛盾。

杨先生在后面论述中的错误主要有两点,一是是没有认识(A)和(B)的等价。因而没有认识到(B)同乛(B)的矛盾,就是(A)和乛(A)的矛盾。

第二点错误是没有理解在反证法的证明中,只要在反证法的假定(A)下推出任何矛盾,就可使乛(A)的论题得证。並不要求推出的矛盾(B)和乛(B)一定要同假定(A)有直接关系。

杨先生承认【√2=p/q(p,q互质)】和【√2=p/q(p,q非互质)】,是在假定(A)下推出的相互否定的矛盾。但说【并不能否定反论题“√2=p/q(p和q全是整数),并不能确立“√2=p/q(p和q不全是整数)”为真,即并不能说明“√2不是有理数”。】 错误地认为不能由反证法使论题得证。

 

[4]Zmn-0447杨六省: 数学行家对反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解》。

杨先生说【 由原假定“√2=p/q(p和q全是整数)”推出的新的假定“√2=p/q(p,q互质)”,已不再是原论题的反论题了,因为表达式“√2=p/q(p,q互质)”与原论题“√2不是有理数”并不是矛盾判断关系。

我前面已说过,杨先生的这句话是错误的。因为原假定(A)「存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数。」与【新假定】(B)(B)「存在p,q,√2=p/q,p和q互质。」等价,(A)≡(B)。所以如果原假定(A)是原论题的反论题,则新假定(B)仍旧是原论题的反论题。

 

杨先生说【关于“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论(注:姑且不论其推理是否有效),其虽与新假定“√2=p/q(p,q互质)”中的“p,q互质”矛盾,但根据这个矛盾,并非像薛问天教授所说的,就能够推翻“√2是有理数”这个原假定,从而使“√2不是有理数”得证。

杨先生这句话的错误是由于对反证法的错误理解。

由定理(C)「对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q是偶数。」可以推出乛(B)「对任何p,q,如果√2=p/q,则p,q非互质。」这就是说,在假定(A)下,推出了(B)同乛(B)的矛盾。根据反证法,这就推翻了假定(A),使定理乛(A)【√2非有理数】得证。但杨先生错误地认为不能【得证】。

 

杨先生说【值得指出的是,“√2=p/q(p,q互质)”与“√2=p/q(p和q全是整数)”事实上存在着一种微妙的逻辑层次方面的差异——关于这一点,虽不能说,只可意会不可言传,但它确实需要人们“悟”,因为它属于思辨思维。

其实这是杨先生没有表述清楚。表述清楚后这就是(A)和(B),它们的关系是等价的,(A)≡(B)。

 

杨先生说【如果我们的教师,尤其是我们的教科书,都像薛问天教授一样,教给学生一个关于反证法的糊涂观念——认为不管“推出”任何的矛盾都行,哪怕这种矛盾并不能否定反论题,并不能确立原论题;也不管这些“推出”是否都合理——这样的教学,岂不误人子弟?

杨先生的这段话说明他对反证法的理解是错误的。反证法只要求在反证法的假定A下,推出任何矛盾B与乛B,就可以推翻假定A,而使论题乛A得证。并没有要求这个矛盾的命题一定要【能否定反论题】或【能确立原论题】。当然由A推出B与乛B必须是严格地使用推理规则进行的正确推理。

反证法的逻辑原理是这样的,如果由A推出了任何B与乛B这个矛盾,则断定A一定是假的。因为如果A为真,则B与乛B就必须同时为真。但这是不可能的,矛盾的命题不能同时为真。这就证明了A一定为假,于是论题乛A就被证明为真。这里只要求B和乛B是在假定A下推出的任何矛盾命题即可,并不需要去证明这个命题本身的含义,一定要【能否定反论题】或【能确立原论题】。

所以说【对于反证法的理解不应该如此肤浅和不求甚解,而应该科学严谨,有错必纠,切勿以讹传讹,误人子弟!这句话应该让杨六省先生本人好好听听,因为杨六省先生对于反证法的理解是错误的。而大多数的【数学行家(包括数学教育家)】的观点并沒有错。

 

结论。

综上所述,杨六省先生产生错误的主要原因是他在认知上有如下几个缺陷。

(1),他沒有认识到表述命题要确切地用好「量词」和「论域」。关于这点,请详见《Zmn-0401 薛问天:量词和论域的重要作用。评杨六省先生的「0392」》。

(2),扬六省先生没有认清原假定(A)「存在p,q,√2=p/q,p和q全是整数。」与新假定(B)「存在p,q,√2=p/q,p和q互质。」等价,(A)≡(B)。

(3),杨六省先生没有认识到,在反证法中的假定下,不管推出任何的矛盾命题都行,哪怕这种命题,并不能直接否定反论题,或确立原论题。只要运用的是正确的推理规则,严格地推出的是相互矛盾的任何命题,就可推翻假定,而使定理得证。




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