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Zmn-0450 薛问天:评范秀山博士的一篇错误文章:《事实证明 0.999… 不能等于 1 》

已有 236 次阅读 2021-2-18 21:34 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0450 薛问天:评范秀山博士的一篇错误文章:《事实证明 0.999… 不能等于 1 》.

【编者按。下面是薛问天先生的文章。是对范秀山博士在《0421》的文后跟帖5的回应。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

评范秀山博士的一篇错误文章

《事实证明 0.999… 不能等于 1 》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 范博士在《0421》的文后跟帖【5】中说【总而言之,薛先生自己都承认,“0.999…=1”不是现实结果,而是官科们“定义”出来的,或者说,强制规定的。正由于它是官科们搞出来的,所以在薛先生看来,它就一定是正确的,无论我给出了多么充分的反驳证明也不管用。事实上,对于我给出的证明,薛先生从来不发一言。

 请薛先生看看我的这一篇文章,(事实证明 0.999… 不能等于 1- 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/46157123)里面不仅有我的看法,也有正宗官科张奠宙先生的看法。

0.999...=1,确实是用无穷小数定义和表达实数中所规定的。对于所有的有限小数(实数的一部分),有「一数两码」的规定。对任何有限小数,例如0.1234,在用无穷小数表达时,都有两个码可以表达,即0.1234=0.1234000...,和0.1234=0.1233999...。所以,1.000...=0.999...,这是用无穷小数定义和表达实数时,对部分实数(有穷小数)的「一数两码」的规定。但是这种定义开不是范博士所断言的【不是现实结果】,而恰恰是完全符合现实的规律的。如果把这两个代码表示成两个不同的实数,则会引起巨大的矛盾和混乱,就会真正发生【不是现实结果】。

下面我们來具体分析范博士文章《事实证明 0.999… 不能等于 1》中的论证错误。

1),对极限不可达的错误认识。

范博士文章一开始,就在议论极限的不可达。但这些议论充分说明范博士对极限的不可达的理解完全是错误的。

当x→a时函数f(x)的极限是A。通常说极限的【不可达】,是指这个极限概念讨论的是对于自变量x≠a的点的函数f(x)的属性。即自变量x不可达到a,不可以有x=a,必须要求x≠a。在x→a时f(x)的极限等于A,极限的不可达,并不是指函数的因变量f(x)永远不可以等于A。

无穷序列An→A(n→∞)极限的不可达,同样是指求极限时序列An中根本就不可能有n=∞。而不是指对于所有的n都有An不等于A。

我们知道对于x→a时,f(x)→A。对某些单调函数确实有在x≠a时,因变量f(x)不等于A。范搏士所举的两个例子,

【例1】是x→∞时y=1/x→0,显然因变量1/x≠0。

【例2】是x→0时y=1/x→∞,显然因变量1/x≠∞。

而范博士就认为f(x)的极限是A,就使因变量f(x)不等于A。並认为这就是极限的【不可达性】。

范博士的这个论断是错误的,因为具有性质【f(x)的极限是A,就使在x≠a时f(x)不等于A。】的函数只是一部分函数,并不是所有函数都滿足这个性质。例如我可以举些反例出來。

【反例1】。令f(x)=x·sin(1/x)。显然当x→0时,f(x)→0。但是这个例子中,在x=0附近有无穷多个点(x≠0)使f(x)=0。也就是说,对这个函数,性质【f(x)的极限是A,就使在x≠a时f(x)不等于A。】并不成立。

【反例2】。令f(x)=C(常数)。显然当x→0时,f(x)→C。但是这个例子中,在x=0附近所有的点(x≠0),均使f(x)=C。也就是说,对这个函数,性质【f(x)的极限是A,就使在x≠a时f(x)不等于A。】并不成立。

我们知道,求极限过程中,当x→∞时An的极限等于A,我们所说的【不可达】指的是在求极限过程中n不等于∞,而范博士把它理解为【不可达】是指【An不等于A】。甚至连【极限等于A】的结论都要质疑。这样的对求极限过程的【不可达】的理解完全是错误的。

 

2),所提的芝诺的“二分法”悖论,实际上並不是什么悖论。

有一个人想要回家,每天只走剩余路程的一半。在有穷天内自然回不到家,要走无穷天才能回家。人受生命的限制,不可能活无穷天,所以回不到家,这很正常,不是悖论。

范博士的错误,仍然是没有分清有穷级数和无穷级数的区别。要知道对任何n所构成的有穷级数:

1/2+1/22+1/23+1/24+...+1/2nく1。

但无穷天所走的距离是个无穷级数:

1/2+1/22+1/23+1/24+...=

=Lim[n→∞](1/2+1/22+1/23+1/24+...1/2n)=1。...... (A)

也就是说文中的(8)式是错误的。(9)式即上式(A)是正确的。

但(10)式把其中有穷级数写成无穷级数了,所以是错误的。

要注意的是式中的1/2+1/22+1/23+1/24+...1/2n,是n项相加的有穷级数。而1/2+1/22+1/23+1/24+...,是无穷项相加的无穷级数(非常有趣,范博士也使用了同我用0.999...9表示有限小数,用0.999..表示无穷小数的类似表示方法,来表示有穷级数和无穷级数。)可悲的是,范博士从概念上分不清有穷级数和无穷级数的区别,说它们是【或筒单地表述为】,从而(10)式犯了错误。

要知道(9)式中的部分和是有穷级数,它们不等于1。但它们的极限却等于1。而无穷级数是它们的极限,这个极限等于1。也就是说由(A)式即可得出无穷级数1/2+1/22+1/23+1/24+...=1。

而由错误的(10),再根据对【不可达】的错误理解得出的无穷级数不等于1的(11)式,显然.是错误的。

 

3),实数的无穷级数表示。

我们知道实数除用无穷小数來定义以外,还可以用极限,戴德金分割,区间套,...等方法來定义。用无穷级数的部分和的极限,就是一种用极限的定义方法。在这种方法中把无穷小数0.999...看作是无穷级数9/10+1/102+1/103+...。

而无穷级数又等于其部分和序列的极限:

0.999...=9/10+1/102+1/103+...=

=Lim[n→∞](9/10+9/102+9/103+...+9/10n)=1。......(B)

注意这里的部分和序列是有穷级数9/10+9/102+9/103+...+9/10n

而范博士的错误是没有分清有穷级数同无穷级数的区别。文中的(13)式是对的,但(12),(14)和(15)是错误的。

对任何n的有穷级数9/10+9/102+9/103+...+9/10nく1,但是无穷级数0.999...=9/10+9/102+9/103+...=1( 无穷级数的值等于部分和的极限,是等于1。)

也就是说范博士(12) 是错的,但(13)式是正确的。

但(14)把式中有穷级数写成无穷级数了,所以是错误的。

而由错误的(14),再根据对【不可达】的错误理解得出的无穷级数不等于1的(15)式,显然.是错误的。

根据(B),范博士的(16)是对的,而且0.999...=1。因而(17)同(15)一样都是错误的。

 

4),由0.999...=1得不出任何矛盾。

范博士认为由他的论证对导出来的0.999...=1(18)式,同上一节推导出的0.999...≠1(17)式发生矛盾。可是我们已往说明,(17)是错的,(18)是对的。所以这里并没有产生任何矛盾。

 

最后,关于张奠宙先生的文章,《小学阶段如何处理"极限"?

我们知道,数学中有一个重要内容,即求无穷级数的和等于求其部分和序列(即有穷级数序列)的极限。如何在小学里向小学生们讲授。确实是个非常重要的事。我认为一定要浅显和通俗,但是不能讲错,让同学留下错误的概念。我认为要向同学讲清楚两点。第一,有穷个项相加,

1/2=1/2,1/2+1/4=3/4,1/2+1/4+1/8=7/8,1/2+1/4+1/8+1/16=15/16,...

如对任何给定的n,1/2+1/4+1/8+1/16...+1/2n = (2n-1)/2n

是有穷级数,可以用普通的加法求出和來。然而无穷个项相加

1/2+1/4+1/8+1/16 +...,已是无穷级数,用普通的加法已算不出和來了。

第二,对于无穷级数,可以算出部分和这种有穷级数的序列1/2,3/4,7/8,15/16,...。考察这种序列的变化趋势,在数学上认为这种序列的【极限】等于1,它就是无穷级数的和。

当然,在小学里是讲不清楚什么是【极限】,讲不清为什么此【极限】是无穷级数和。让小学生留下些问题,对他们以后的学习还是有帮助的。

但是张奠宙先生在文中讲了很多错话。如果把这些错误的观点融入小学教材,则会引起很大的混乱。

 

张奠宙先生说【0.999999...是一个没完没了的潛无穷过程】,不认为它是一个确定的无穷小数,而1是一个数。所以张先生文中说【0.999999...=1是不成立的。许多人持这种观点并不是错误的】。这显然是一个错误的论断。在实数定义中是把无穷小数定义为确定的实数的。因而0.999...是明确定义的实数。由于定义中,对有限小数有「一数两码」的规定,所以0.999...=1.000...。

 

张奠宙说【说0.999999...,在过程中一直小于1,也是对的。】说这句话充分暴露了他在概念上的混乱,没有分清什么是无穷级数,什么是作为部分和的有穷级数的区别。要知道 无穷级数 0.999...的部分和序列0.9,0.99,0.999,...所有的数都小于1,但是这个无穷小数0.999...,作为无穷级数它的值却等于1。

 

另外,关于令x=0.999...,则10x=9.999...。从而10x-9=x,9x=9,于是证明了x=1=0.999...。张奠宙先生说【这些所谓的证明都是经不起推敲的。因为什么是无穷循环小数的相乘,还没有定义过,而那又是很复杂的事情。

这段话说的不完全符合事实,这个证明是一种严格的推理验证。证明用无穷小数定义实数同用部分和的极限定义无穷级数的方法定义实数是完全一致和等价的。都可证明0.999...=1。10乘以无穷级数0.999...等于9.999...,完全可以用部分和的极限方法來严格证明。说【证明经不起推敲】是错误的。

 

附件。范秀山博士的文章(原文)。

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