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Zmn-0442 数 森:评李鸿仪《对角线证明可以休矣!Zmn-0403》

已有 198 次阅读 2021-2-10 08:33 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0442 数 森:评李鸿仪《对角线证明可以休矣!Zmn-0403》

【编者按。下面是数 森先生的文章。是对李鸿仪先生的《0403》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

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评李鸿仪《对角线证明可以休矣!Zmn-0403

数 森

对李鸿仪先生文中的观点我有下面不同看法,仅供参考:

为了分析清楚问题的实质,先叙述一下一些公认的概念和结论,如果李先生不认可那就没有必要讨论了。

1. 自然数集

自然数集N={0,1,2,3,…},注意:N中只有自然数,不存在最大数(如∞,ω等)

2.实数集

虽然实数的定义有不同种方法,但合理方法定义的所有实数都和0到1之间的十进制小数集合R[0,1)(简单、直观)有确定的一一对应关系F,所以对角线证明只要在R[0,1)中进行就可以了,这是因为如果0对应的实数为c_1,1对应的实数为c_2,2对应的实数为c_3,…,其中c_1, c_2, c_3,…为非十进制定义的某种实数(如戴德金分割或二进制实数等等),先将c_1, c_2, c_3,…根据一一对应关系F对应到R[0,1)中十进制小数a_1, a_2, a_3,…用对角线法找到b后,再根据一一对应关系F-1将b反对应到此种定义的实数d,则b不在a_1, a_2, a_3,…内和d不在c_1, c_2, c_3,…内是等价的(真假性一致)。如果要求十进制小数表述具有唯一性,则集合R[0,1)={0.a1a2a3…|ai∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}并且对任何正整数j,存在大于j的自然数k,满足ak≠9}。由此,R[0,1)中的两个实数a=0.a1a2a3…和b=0.b1b2b3…相等的充要条件是ai=bi (i=1,2,3,…),也就是说a=0.a1a2a3…和b=0.b1b2b3…不相等的充要条件是存在某个正整数j,aj≠bj。如果a_1,a_2,a_3,…(1)和b都是R[0,1)中的实数,则b不在(1)内的充要条件是对任何正整数j,都满足b≠a_j。

3. 集合的确定性

任何一个集合所含的元素是完全确定的。也就是说,我们可以取出一个集合中的任一元素。举例说明:如A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则任给x属于A(x∈A)表示x=0或x=1或x=2或x=3或x=4或x=5或x=6或x=7或x=8或x=9。(x可以是A中任一元素,不会多一个,也绝不会少一个)注意:1)任给x属于A不能随意增加x要满足的条件,如,任给x属于R[0,1),则按定义x=0.a1a2a3…,除了定义规定外,不能另外加要求,如要求a1,a2,a3,…都能用某程序计算得出(因可计算实数集和实数集是不同的集合)。2) 任给x属于A有两层意思:x是A中任何一个元素;当x取出后是确定不变的一个元素(如任给n属于N,当n取出后就是一个确定的自然数,不能在以后分析中假定n=3,同时又要求n=4)。

4. 一一对应(关系)

集合A与集合B之间存在一一对应关系是指存在满足下面三个条件的A到B映射φ:1) A中任何一个元素在映射φ下都能对应到B中唯一一个元素(不能对应到B中两个或两个以上元素)。2) A中任何两个不同元素在映射φ下对应到B中元素也是不相同的。3) B中任何一个元素y都能找到A中某一元素x,使得x在映射φ下对应的元素就是y。条件3)要求在一一对应关系下,不能漏掉B中任一元素。也就是说,只要能找到B中的一个元素,其不是A中任何元素在φ下对应的元素,就能确定φ不是一一对应关系。下面用甲乙两人一段对话具体说明了一一对应关系的特性:

甲:正奇数集O+={1,3,5,…}中元素看上去要比自然数集N={0,1,2,3,…}中元素要少很多,它们之间存在一一对应关系吗?

乙:存在一一对应关系。比如,函数f:o→(o+1)/2就是O+到N的一一对应关系。

甲:在函数f对应下,1→1,3→2,5→3,…,那么自然数0由那个正奇数来对应呢?没有吧。我已找到一个自然数0,而对任何正奇数o,f(o)≠0,按一一对应关系定义,你给出的f显然不是O+与N之间的一一对应关系。

乙:我给出的函数f有问题,那函数g:o→(o-1)/2应是O+到N的一一对应关系。

甲:在函数g对应下,1→0,3→1,5→2,…,自然数不多不少全部对应上了,按定义g确实是O+到N的一一对应关系中的一个。虽然正奇数集O+中元素看上去要比自然数集N中元素要少很多,但按一一对应观点,这两集合中的元素“一样多”。

5. 反证法

有些人一看到用反证法证明,就觉得有问题(认为是一种不可靠的证明方法)。但这些人中绝大多数并没有搞清楚在什么情况下反证法会有问题。(有趣的是,直觉主义的创始人布劳威尔不认可排中律,反对在无穷集合使用反证法,但布劳威尔赖以成名的不动点定理,自己也是依赖于反证法来证明!)事实上,如果一个原命题P和原命题的否定ØP的真假性只能是以下两种情况之一:1)P为真,ØP为假。2)P为假, ØP为真。(即不存在P为可真可假,ØP为可真可假等等其它情况。)则使用反证法正确,不会产生任何错误结果。假若P为实数集可数:自然数集N与十进制小数集合R[0,1) 之间存在一一对应关系,ØP为实数集不可数:自然数集N与十进制小数集合R[0,1) 之间的任何对应关系都不是一一对应关系。由于集合的确定性,任何一个N与R[0,1) 之间的具体对应关系是不是一一对应关系的真假性是确定的,故此P与ØP的真假性只是以上两种情况之一,所以对此命题采用反证法合理,即康托用反证法证明实数集不可数是合理的方法。也许有人会有疑问,N与R[0,1) 一一对应关系(如果存在)不止只有一种,而且对应形式也可能不同,康托给出(构造)的一个对应(方阵)能代表任一N与R[0,1) 之间的任一个一一对应关系吗?答案是:从道理上说,这一一对应方阵应是认为实数集可数者给出的(不是康托认为存在而构造的,否则是自己打自己的脸),而认为实数集可数者中没人能给出(实际上是给不出)具体的一一对应方阵(当然没人能给出不等于不存在),康托是假定N与R[0,1) 之间有一个一一对应关系,则其必然对应康托证明中的一一对应方阵(因为不管什么形式对应,只要确定0对应那个十进制小数,1对应那个十进制小数,2对应那个十进制小数,…,就能得到康托证明中的方阵),故康托证明中的方阵不是固定一个(因为其中每个a_ij并没有规定一定是0或其它9个数中确定的数),其可以表示任何对应关系方阵中的一个。所以如果能确定一个十进制小数,其对应不在方阵的各行中,就证明了所有对应关系方阵都不是一一对应关系方阵,即自然数集N与十进制小数集合R[0,1) 之间的任何对应关系都不是一一对应关系。

回到正题。李先生文中认为对角线证明实数不可数有误,原因有两点:

1. 对于任意大的n,总存在m>n,有可能使得b_n=a_m,即无法保证n趋于无穷时,b=lim b_n不在(1)之内。

这个推论有问题。前面已分析过,保证b不在(1)之内的判别方法就是任给正整数m,都满足b≠a_m。反过来,保证b在(1)之内的判别方法就是存在某个正整数n,满足b=a_n。所以,即使对于每个正整数n,总存在m>n,能使得b_n=a_m,也不能保证b一定在(1)之内。举个简单例子说明这个问题:

a_1=0.000…

a_2=0.100…            (A)

a_3=0.110…

…………

(对应的方阵中,对角线以下元素都为1,对角线及以上元素都为0)

b=0.111111…,显然对任何正整数n,都满足b_n=a_n+1(其中b_n为b的n位有限小数),b在(A)之内吗?有那个自然数M满足b=a_M?不能认为在有限中成立的结论,推到无限时仍然成立:b_n在(A)之内(n=1,2,3,…),则b=lim b_n一定在(A)之内,这不是必然的,是需经过严格论证来说明是否成立的。再举个直观例子:设圆周率为π=3.14159265358979323846264…,π_n为π保留n位小数(去尾法)的数,π_1=3.1,π_2=3.14,π_3=3.141,…,显然π_n(n=1,2,3,…)都是有理数,由此能得出π(=lim π_n)是有理数吗?

2. 即使真的能找出不在(1)内的b,也不过是在无限集合中增加了一个元素而已,如果认为能以此改变无限集合的基数,即推翻原可数假定,显然与康托理论中的“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”相矛盾。

对于一个确定的方阵,康托找到一个不在(1)内的b,只是说明此方阵对应的N与R[0,1) 之间对应关系不是一一对应关系(前面已分析过,只要能找到一个b就能说明其不是一一对应关系。比如,我和你各有一袋颜色不同小球,只要在我袋中找到一个红色小球,且能证明你袋中没有红色小球,就能证明我袋中小球和你袋中小球不一样,而不必一定要说明我袋中有几个小球与你的不同才能证明这一点)。这与“在无限集合中增加了一个元素并不能改变无限集合的基数”不相矛盾,这是因为你不能排除还有其它的十进制小数b’也满足要求。要产生矛盾,必须证明找出(包括采用的不是康托方法)满足要求(不在(1)内)的b最多只能是可数无穷个。那么, 就康托对角线法能找到多少个满足要求的b呢?设自然数集N的基数为ω0,实数集R的基数为c,由于b中每一位至少有8个数字可选择,故满足要求的b组成的集合基数为8ω0,根据基数指数运算规律,可以证明8ω0=2ω0=c,说明康托对角线法能找到满足要求的b和实数一样多,所以不会直接产生矛盾。有人会有疑问,在二进制实数中,康托对角线法能找到同样多满足要求的b吗?前面已经详细分析过,通过二进制实数和十进制小数R[0,1)之间的一一对应关系,就可以证明同样能找到满足要求的b和实数一样多。有人进一步疑问,如果在二进制实小数中,直接采用康托对角线法能找到多少个满足要求的b呢?显然,在二进制实小数中,直接采用康托对角线法最多只能找到一个满足要求的b,但康托对角线法不是死的,康托对角线法的实质是:在正整数集N+中任取一个无穷子集N’,b在位数属于N’时按对角线法中做法确定,其它位数上可任取(只要满足二进制实小数的定义),这就是广义对角线法(若N’=N+时,就是通常说的康托对角线法)。从这个意义上说,康托证明中,不一定要求自然数集与a_11,a_22,a_33,…, a_jj,…强制一一对应,才能证明实数不可数。康托具体给出的一种对角线法只是便于更多人理解。在二进制实小数中,当N+-N’为无穷集合时(如N’ 取为正奇数集),b中由于存在无穷(可数)位(在N+-N’中),其中每一位有2种选择(0,1),故满足要求的b组成的集合的基数(除去不满足定义的可数个)为2ω0-ω0=c,所以直接采用康托广义对角线法同样能找到满足要求的b和实数一样多。最后用前面一个例子说明这个问题:如果自然数集与二进制实小数集对应同上面例子中的(A)一样,若N’取为正奇数集O+,则b可以是0.101010…等等(偶数位可以任取0和1,只要满足定义),显然0.101010…等等都不在(A)内。

以上是我对康托对角线法的一些看法,不知李先生是否能真正理解。由于工作较忙,没有必要我是不会答复评论的。

 



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