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Zmn-0441李振华:区间[0,1]中全体实数长度为1/2的一个证明方法

已有 282 次阅读 2021-2-9 17:20 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0441 李振华:区间[0,1]中全体实数长度为1/2的一个证明方法

【编者按。下面是李振华的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

区间[0,1]中全体实数长度为1/2的一个证明方法

李振华

[0,1]中全体实数的长度为1,这是公认的观点,也与我们的直觉相符,但有没有可能,就像无限取球悖论一样,不同的取球方式会剩下不同个数的球,全体实数不同的生成方式会导致不同的长度?答案是肯定的,下面将给出证明。

考虑二进制下[0,1]中的全体实数,我们将对其执行以下操作:

第一步,使小数点后第一位只有0这个值,这表达了区间[0,1/2],长度为1/2。

第二步,恢复第一位,使小数点后第二位只有0这个值,这表达了区间[0,1/4]+[1/2,3/4],长度为1/2。

......

第n步,恢复第n-1位,使小数点后第n位只有0这个值,这表达了区间[0,1/2^n]+[2/2^n,3/2^n]+.....+[(2^n-2)/2^n,(2^n-1)/2^n],长度为1/2。

......

无限地操作下去,区间中会剩下那些点呢?

每一次有限的操作,所得的结果都是长度为1/2的[0.1]的某个真子集,按照这个规律,我们推测,无限次操作之后,结果应该也是长度为1/2的[0,1]的某个真子集。

但事实却是,无限次操作之后,得到的将是[0,1]中的全体实数!

为什么呢?因为第n位的状态在第n+1步操作时就恢复了0和1两种状态,无限次操作之后,小数点后每一个位都有0和1两种状态,所以表达了[0,1]中的所有实数。

另一方面,每一次操作,区间的长度都是1/2,所以无限次操作之后,长度依然是1/2。

也就是说,[0,1]中全体实数的长度为1/2。按照同样的方法,我们还可以证明[0,1[中全体实数的长度为1/4,1/8,可以是0和1之间的任何实数。既然长度不等的线段拥有相同的点数,区间[0,1]有不同的长度也没有什么好奇怪的。




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