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Zmn-0326 薛问天:正确解读不可测集的构造,评林益先生的困惑

已有 204 次阅读 2020-9-21 09:40 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0326 问天:正确解读不可测集的构造,评林益先生的困惑

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0324》林益先生文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

正确解读不可测集的构造,

评林益先生的困惑

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg(一),不可测集的构造。

林益先生说:【学过实变函数的人都知道,有一个奇葩的集合叫做不可测集,它是利用选择公理按照设定的选择函数,将区间[0,1]按区间[0,1]的有理数进行分类,使得每一类里只有一个有理数,其它都是无理数,这样就把区间[0,1]分成与区间[0,1]中的有理数的个数相同的类,每一类构成一个集合,按照康托尔的集合论和选择公理的观点,它们基数相同,勒贝格测度相等,它们的并集构成不可测集。

这段对不可测集的理解,基本上是错的。

将区间[0,1]按区间[0,1]的有理数进行分类,使得每一类里只有一个有理数,其它都是无理数,

这个对该分类方法的理解是错误的。该分类方法是这样的。凡两数相減(差)是有理数的分作一个类。例如,由√2±a,其中a是任何有理数,就形成一个类。由π±a,其中a是任何有理数,就形成另一个类。设x是任何无理数,由x±a,其中a是任何有理数,就形成一个类。另外全体有理数形成一个类,因为有理数的差是有理数。这样一來,就只有一个类是全体有理数,而其它类都是由无理数构成。不是林先生所理解的【每一类里只有一个有理数,其它都是无理数,

林先生的这句话【这样就把区间[0,1]分成与区间[0,1]中的有理数的个数相同的类,每一类构成一个集合,

就应该改成「这样就把区间[0,1]分成类,而每个类都与区间[0,1]中的有理数的个数相同,每一类构成一个集合,」

然后接着应该说,「按照选择公理,在每一类中迭择一个数,组成的是一个集合。将此集合记为W,即可证W是一不可测集」。请注意,是在不可测集W中【只有一个有理数,其它都是无理数】。而不【每一类里只有一个有理数,其它都是无理数,】我选了北大周民强《实变函数论》教材中的相应章节(103页),供大家重温。

不可测集-1.jpg

 

(二),对8点困惑的评论。

1,【无穷是有限的延伸,......是一个有理数集合,但是集合中的“⋯”则表示在不断延伸,是动态的,不断在变化之中的,不能完成,如何用选择公理构建不可测集,即使构建,它们也是不不断的构建变化中,有始无终,不会完成,又如何去计算它们的测度

林益先生忘了,集合论是建立在「实无穷观」的基础之上的。「潜无穷观」者,无法享受集合论的成果。在「实无穷观」者看来,这些无穷集合都是生成过程己完成的,确定的集合。而不是【是动态的,不断在变化之中的,不能完成,】的不被承认的集合。「潜无穷观」者在此是寸步难行,到处踫壁。

 

2,【区间[0,1]是连续的,点没有三度,即点的长度为 0,能否利用选择公理对区间[0,1]按有理数重排,按不可测集的每一集,排成互不相交的集?

此题意【对区间[0,1]按有理数重排,按不可测集的每一集,排成互不相交的集?】不清楚,什么叫【按有理数重排】?不可测集就是从每个类中取一个数构成的一个集合,不存在【每一集】,是否指的是这些类。这些类的并集是区间【0,1】中的全部实数,这些类也是互不相交的。关键是【重排】是什么意思?按在不可测集W中数的大小,来重新定义各类之间数的序,而保持类内各数的原序。这样【重排】这些实数的序,自然是可行的。但不要把序理解为离散点的【相邻点】【排排坐】,而是稠密地分布。

 

3.,【选择公理按照设定的选择函数按区间[0,1]的有理数分类,每一类里只有一个有理数,那么又有多少个无理数?

这问题属对不可测集W理解的错误。实际上每个类的基数都是可数无穷多。而W的基数是不可数无穷(连续统),

 

4、【按照康托尔的集合论的观点,无理数多于有理数,如果无理数多于有理数,那么区间[0,1]的有理数与无理数是怎样排列的,是否存在两个无理数之间没有有理数?

在《0322》中我己讲了这个问题,不是【排列】,而是【稠密分布】。

 

5、【区间[0,1]是连续的,按照实数稠密性定理,任意两个实数必有实数,而且有无穷多个实数,显然这无穷多个实数必然互不相等,既然任意两个实数必有实数,这无穷多个实数又是如何使得两个实数对应的点之间能够连续的呢?

林益先生对稠密性的理解是正确的,但是不知林益先生是如何理解【连续性】的。说有理数集不具有连续性,是说有理数列的极限有可能不是有理数,或者说,有理数的分A|A'有可能A无最大有理数,而且A'无最小有理数。说实数具有连续性,是说所有实数序列的有限极限,都是实数。或者说,实数的任何分A|A',必然A有最大数,或者A'有最小数。连续性是指关于极限运算的关闭性或者集合确界的关闭性。实数的连续性同稠密性并无矛盾。不知林先生如何理解【连续性】,连续性是数系(即集合)的属性,不是指【两个实数对应的点之间能够连续】。请看菲书中的解释。

连续性-1.jpg

 

6、【区间[0,1]被上述设定的方法分成应该是ℵ0,因为区间[0,1]里有理数的基数是ℵ0,分成的每一集基数应该是ℵ,既然勒贝格测度是能计算点集测度,那么每一集测度就应该能计算出来,它应该是多少?

林先生的这一问题同对W的错误理解有关。实际上是每个类的基数是可数无穷ℵ0,每个类的测度是0。W的基数是不可数无穷(连续统ℵ),但不可测。

 

7、【既然康托尔已经把“∞”替换成“ω”,而且认为实变函数是最精密的学科,为什么不用“ω”、“ℵ0”参与测度运算和证明呢?

康托尔并没有【把“∞”替换成“ω”】,这是不同的数学对象。∞是【无穷极限】,ω是【超穷序数】,ℵ0是【超穷基数:】。在数学上各有各的定义,是不同的数学对象,不可混为一谈。∞是极限,ω是序数,ℵ0基数。这些都是严格的数学概念。在测度理论中没有用到∞和ω,但是用到了ℵ0。在勒贝格测度的定义中的「可数可加性」就用到了ℵ0。林益先生可重温勒贝格测度的定义。

 

8、【既然康托尔利用对角线证法证明了区间[0,1]里的实数个数为ℵ0,并作为连续统假设的一个重要条件,区间[0,1]里的每一实数的勒贝格测度都是 0,是否有 0×ℵ0=1 呢?

集合的基数,同实数集合的测度,这是两个不同的属性,在数学概念上是不同的,它们各自有各自的计算规则和规律。就如同人有身高和体重这两个不同的属性一样。

不能认为【0×ℵ0=1】,[0,1]和[0,2]的基数是相同的,但它们的勒贝格测度并不相同,前者为1,而后者为2。

 

(三),对5个怀疑的评论

林益先生最后提出了5个怀疑,其中的1,2,4都涉及一个概念叫【连续集】: 

1、【选择公理对有限点集或无穷离散点集有效,对连续集是否还有效呢?

2、【勒贝格测度的对象应该是点集,对连续集是否也有效呢?

4、【区间[0,1]是连续集,是否真能是由点构成连续集呢?

不知林益先生的【连续集】是否指满足【连续性】的集合。关于【连续性】我在前面第5点困惑的回答中,己作了解释。连续性是指关于极限运算的关闭性。实数的连续性同稠密性并无矛盾。不知林先生是如何理解【连续性】的。

选择公理是集合论的一个公理,自然对所有集合都有效。

勒贝格测度的对象是点集,实数轴线上的点集就是实数集,实数集满足连续性,是连续集,所以勒贝格测度自然对连续集是有效的。

区间[0,1]上的点集就是大于或等于0而且小于或等于1的实数集,满足【连续性】,自然能是构成的【连续集】。

另外的第3个疑问是:

3、【不可测集是否真的存在,还是勒贝格测度存在不完善之处?

要相信推理和证明,所构造的集合w是在勒贝格测度下不可测集,这是严格证明的定理,当你找不出证明有任何错误时,提出怀疑都是没有根据的。

5、【如果不可测集存在,也是动态的,不断变化的,有始无终,如何用静态的方法去衡量动态的测度?

这个问题我己在前面的第1个困惑回答中作了分析。这是受【潜无穷观】的约束。

另外,林先生还问【为什么不直接求出区间[0,1]的测度 1,而要定义区间[0,1]的测度 1 呢?

【[0,1]的测度为1】,这是勒贝格测度定义的一部分。没有测度的定义,如何去【直接求出】?【[0,1]的测度为1】,是勒贝格测度的基准,有了这个基准,其它集合的测度才可求出。就如同度量长度,必须定义一个准确的【1尺】作为标准的度量单位一样。这个标准是【求】不出来的,【量】不出来,必须通过公认的【定义】。

(全文完)

 


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