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Zmn-0321 薛问天:这是严格的逻辑推论,评黄汝广先生的《0319》

已有 185 次阅读 2020-9-17 09:35 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0321 薛问天:这是严格的逻辑推论,评黄汝广先生的《0319》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0319》黄汝广先生文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

这是严格的逻辑推论,

评黄汝广先生的《0319》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg黄汝广先生说【薛先生为了达到自己的目的,可以翻手为云覆手雨,一点逻辑一致性都不讲了。】

事实并非如此,我同黄先生的讨论是步步深入的。一步一个脚印,步步都经过严谨的思考。逻辑严密,前后一致。我们可以回顾一下讨论的过程,先后的逻辑,可以说是环环紧扣,条理分明。我把它归结为《0311》三点和《0316》三点,一共是六个推论。黄先生如有质疑,可以明确指出你对这六条推论的哪个推论,有疑问。这样就可以讨论得更加具体和更有针对性。

首先要说明的是,我们的讨论都是围绕着黄汝广先生在《0308》中的【证明】进行的。

 

(一),黄先生证明的【定理】。            

【定理2】在区间(0,1)中挖去全部可数无穷个有理点后,剩余有可数无穷个剩余部分。

下面是他证明的原文.:

【考察区间(0,1),由于其内的有理数可数,因此可以用自然数1,2,3……一一为之编号。现在,我们把编号为1的有理数(假设是0.5)挖去,那么区间(0,1)将被分为两个部分(0,0.5)与(0.5,1),将这两个部分分别编号为0与1;接下来挖去编号为2的有理数,则前面已编号的部分必定有一个又被一分为二,使其中一个保持原编号,而将另外一个编号为2;如此等等,'当将所有编号为自然数的有理数挖去后,所剩部分的′编号分别为0,1,2……。恰好是全部自然数,因此所剩部分的个数是可数的。】

 

 (二),我在《0311》中提出的三个论点。

(1),第一个论点是在黄先生给出的形成【可数无穷序列】的过程中,必须给出选定保留和新增编号部分的具体规定。′

在黄先生的证明中,当挖走一个有理点时,前面已编号的部分必定有一被一分为二,使其中一个保持原编号,而将另外一个为新增编号。这里没有具体规定,如何选定。例如我们可以具体规定,保留原编号的是「左边的」部分,新增编号的是「右边的」部分。当然你也可作另外的规定。但是,必须做出具体规定

(2),第二个论点是,证明中用自然数编号的「剩余部分」,不应是当时编号时的「中途剩余部分」,而是指的这个「中途剩余部分」经过后面的无穷次挖去有理点演算时,从其中又切掉了很多新增编号的部分后,最后才是【保留编号】的那些最后剩余部分。

(3),第三个论点是,证明中形成的「保留编号的最后剩余部分」的可数无穷序列中,确实不包括有理数。但是这个证明并没有保证,在无穷次的挖点演算后,这个「保留编号的最后剩余部分」可数无穷序列中包括的数的总和,就等于「最后剩余部分」。即没有证明所有无理数点都在此无穷序列之中。

我们甚至可以严格证明,在上述选定保留和新增编号部分的规定(即保留编号选左边,新增编号选右边)下,所有的无理数点都不包括在该形成的无穷序列之中(【定理3】)。

【定理3】.任何无理数都不在上述的「保留编号的最后部分」的可数无穷序列之中(严格证明见《0311》。)

 

(三),我在《0316》中又提出的三个论点

我又继续提出了三个推论,最后终于搞清楚了在挖掉可数无穷多个有理数点后,剩余的是不可数无穷多个无理数点。

(1),第一个论点是,选择不同的选定保留和新增编号部分的规定,所形成的是不同的「保留编号的最后部分」的无穷序列。

例如在前面的规定(即保留编号选左边,新增编号选右边)下,所有的无理数点都不包括在该形成的无穷序列之中。但是如果针对某无理数α,这样规定。设要挖去的有理数是yn。如果α<yn,则保留编号的是yn「左边的」部分,新增编号的是yn「右边的」部分。如果yn<α,则保留编号的是yn「右边的」部分,新增编号的是yn「左边的」部分。可以严格证明,在这样的规定(称为「规定α」)下,在所生成的保留编号的最终剩余部分的无穷序列中,包含该无理数α。证明也很简单,按照这个规定,无理数α不在任何新增编号部分中,所以不会从保留编号部分中被切除。

黄汝广先生认为这【显然是矛盾的。】其实这一点矛盾都没有,不同的规定生成不同的序列,有的序列是空集,而有的序列只包含一个无理数。这都是严格证明的事实。

(2),第二个论点是,原来事实上,黄先生所生成的【用自然数编号的最终剩余部分的可数无穷序列】,不仅可以生成一个可数无穷序列,而是可以同时生成多个可数无穷序列。可以针对另一个无理数点β,选定相应的「规定β」,同时生成包含无理数点β的一个可数无穷序列。

(3),第三个论点是,穷举所有可能的规定,从而同时生成所有可能的这种最终剩余部分的可数无穷序列,包含了所有的无理数点。

所有可能的规定有多少呢?每挖一个有理数有两种选择,有理数有可数无穷个,这样排列组合下来,可知共有不可数无穷多个不同的规定(相当于可数无穷集的幂集是不可数)。也就是说有不可数无穷多个「可数无穷序列」,包括不可数无穷多个无理数。

经过以上6点论证,最后揭出了在区间(0,1)中挖去可数无穷多个有理数后,剩余不可数无穷多个无理数的真相。

黄先生说【无理数是不可数的,是不可能被编号的,如果可以被编号那就一定是可数的!】

在上述6点论证中,我们并没有要求把无理数进行编号,所进行编号的是每个【可数无穷序列】中各剩佘部分的编号。

黄先生说【在我的论证中,只是按照编号一一把有理数挖去,和无理数没有任何关系!“挖走y1时,可生成2个序列。挖走y2时生成了4个序列,...,挖走yn时共生成2n个序列,......。”这是我论证中的操作吗?我实在不明白薛先生这里是什么逻辑?我的规则只与有理数有关,只挖有理数,你现在却自己弄一套无理数规则来反驳我不是可笑吗?】

怎么能说【和无理数没有任何关系!】我们要证明的就是剩余部分是不可数个无理数嘛?

黄先生问【这是我论证中的操作吗?我实在不明白薛先生这里是什么逻辑?】

我的逻辑很清楚,你设有考虑【规定】在构成序列中的因素,从而以为只有一个【可数无穷序列】,这是不对的,挖掉全部有理数后,剩余部分不是只有一个【可数无穷序列】,由于【规则】选定的不同,生成的剩余部分【可数无穷序列】就不同。【规则】在你的【操作】中确实没有,从【逻辑】上讲,你认为应该还是不应该考虑【规则】的选定?因为要证明有些【可数无穷序列】中包括无理数,自然这种【规则】就同无理数有关!我不明白这有什么【好笑】?

黄先生说【薛先生反驳我,则完全不顾我的基础前提,而是按照他所要维护的观点,重新制造完全不同的规则!】

看来黄先生还没有认识到,选择左右部分作为保留编号和新增编号部分的「规定」,在形成【可数无穷序列】过程中的重要性。这个「规定」不是我按照我的意愿随意【重新创造】的。而是你在构造【可数无穷序列】过程必不可少的,不可余缺的重要组成部分。没有具体的「规定」,你的【可数无穷序列】的构造过程实际上是无法完成的。这是你考虑不周,思维逻辑不够慎密,不慎疏忽的地方。黄先生对此要有足够的正确的认识。

黄先生说【薛先生一再说不能由有限推无限,......这算由有限推无限么?】

在这里黄先生可能误解了我这句话的原意。我们所说的「不能由有限推无限」并不是否认无穷集的存在,也不是否认有些规律是有穷集和无穷集所共有的,而是反对有些人以为凡有穷集满足的规律,无穷集也无条件地一律满足。实际上在有穷集与无穷集之间,有很多不同的属性。这一切都要具体问题具体分析,不能一概而论。我在这里所有的论断都是有根有据,经过严格论证的,不存在【严于律人而宽于待己】和【双重标准】的问题。

 (全文完)



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