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Zmn-0216 薛问天：这是一个有问题的解释-评沈卫国先生的「理解」

已有 1435 次阅读 2020-6-2 10:31 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0216 薛问天：这是一个有问题的解释-评沈卫国先生的「理解」

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0211》沈卫国先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

这是一个有问题的解释

-评沈卫国先生的「理解」

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一)，这是一个有问题的解释。

沈先生未能给出同他对第一代微积分的求导过程的解释相匹配的关于【导数】的恰当的定义。另外对求导过程的解释也过于随意、勉强和缺乏严格的推论。而且解释的结果，同样会产生【在推演过程中要求Δx≠0，而在最后求导数时又令Δx=0，的矛盾(悖论)】，同【无穷小既等于0，又不等于0的悖论】并无差别。所以沈先生的这种解释是不成功的。设有达到他的预期目标，不可能在教学中推广应用。

(1)，对【导数】必须要有一个明确的定义，然后才有求导【过程】，尊循定义去求导。否则求导【过程】随意安排，无所尊循。

沈先生未能明确给出同他对第一代微积分的求导过程的解释相匹配的关于【导数】的恰当的定义。这是沈先生方案的最大弊端。

沈先生，我问你，在你的解释中，给出的导数的定义究竟是什么？是比值函数Δy1/Δx1在Δx=0点的函数值吗?那么又怎么求此比值函数Δy1/Δx1呢?是根据Δy/Δx的表达式【改写】而来吗？这些你都没有明确给出定义来。没有明确定义，怎么判断你的求导过程是否正确？

(2)，正是由于沈先生没能给出导数的定义，于是他审视求导过程就没有依据，他对求导过程的解释就无所尊循，因而是过于随意、勉强和缺乏严格的推论。

例如，他说: 【(2x+Δx)Δx/Δx中的三个Δx绝对不能同值。既然如此,式中的 Δx/Δx就应该写成 Δx1/Δx1 以示与2x+Δx中的那个Δx相区别,而不能再写成 Δx/Δx。即原先的 Δy/Δx=(2x+Δx)Δx/Δx,必须写成 Δy1/Δx1=(2x+Δx)Δx1/Δx1,当其中Δx1=1, Δx=0时, 才能最终得到准确并且唯一的结果(2x+0)1/1=2x。】

他的这番话，过于随意、勉强和缺乏严格的推论。因为Δy/Δx= (2x+Δx)Δx/Δx是由Δy/Δx计算得来的。在计算中这三个Δx是相同的自变量。怎么能由你沈先生随意将其改写为【 Δy1/Δx1=(2x+Δx)Δx1/Δx1,】呢?你【改写】的依据是什么?

沈先生给出的理由是【绝对不能同值】【就应该写成】，【不能再写成】【必须写成】，【才能最终得到准确并且唯一的结果】。他的这番话，过于随意、勉强和缺乏严格的推论。

我们来严格分析一下，实际上要作这样的【改写】，是要求有一定的条件的。

先㸔式子右端，你把 (2x+Δx)Δx/Δx改写为 (2x+Δx)Δx1/Δx1。是根据在Δx≠0的条件下Δx/Δx=Δx1/Δx1=1，才能使其相等的。因而改写的条件是 Δx≠0。

再看式子的左端，你把 Δy/Δx改写为 Δy1/Δx1，是因为它们都在割线上。但是同样，改写的条件是 Δx≠0。否则 Δy/Δx并不等同于Δy1/Δx1。Δx=0就不是割线了。

(3)，因而在沈先生的求导过程中，仍然存在着Δx≠0同Δx=0的矛盾和悖论

在推导 Δy1/Δx1=(2x+Δx)Δx1/Δx1的过程中仍然存在着，并且用到了 Δx≠0的条件。而在最后求导时又令Δx=0，才得到 Δy1/Δx1=2x+Δx=2x。这里仍然存在着Δx≠0同Δx=0的矛盾和悖论。第一代微积分求导过程的貝克莱悖论并未消除。

(4)，可见沈先生的解释并不成功。

这个解释并没有达到沈先生所预期的【给出了对牛顿、莱布尼兹第一代微积分求导过程的全新解释,不但简化了理论,并由此彻底消除了所谓贝克莱悖论。】以及【不但可能对更深入的理论探讨有助益,还可以大为简化微积分的教学工作,使其更易理解】的目标。

(二)，那么第一代微积分的求导过程，为什么会在产生悖论的情况下，而得出了正确的导数计算的结果呢？

(1)，我们先来分析贝克莱悖论是怎么产生的。

在第一代微积分中把导数定义为dy/dx，其中dy,dx是无穷小增量。第一步，求出dy/dx=(2xdx+dxdx)/dx =2x+dx。第二步，因为dx是无穷小，令其等于0，所以导数dy/dx=2x。问题是笫一步的推演要求无穷小量dx≠0，而笫二步又令dx=0。这就产生了无穷小量dx≠0和dx=0的矛盾。这就是有名的贝克莱悖论。

(2)，我们再来看第二代微积分是怎么消解这个悖论的。

在第二代微积分中把导数定义为增量比函数Δy/Δx在Δx→0时的极限。第一步，在 Δx≠0的条件下，求出Δy/Δx= (2xΔx+ΔxΔx)/Δx =2x+Δx。由于有定理「如果在 Δx≠0时两个函数完全相等，则当Δx→0时，此两函数的极限也相等」。于是把求导数即求函数Δy/Δx的极限，归结为求函数2x+Δx的极限。第二步，求函数2x+Δx的极限。因为当Δx→0时Δx的极限是0，所以函数2x+Δx的极限等干2x。另一种求法是根据「连续函数的极限值等于函数值」。由于函数2x+Δx是Δx的连续函数，所以它的极限就等于Δx=0点的函数值。在函数2x+Δx中直接代入Δx=0，即得导数=2x。

由于在第二代微积分中把导数定义为增量比函数Δy/Δx在Δx→0时的极限。求极限只要求Δx≠0，并不要求Δx=0。所以这里就没有同Δx=0的矛盾。既使是利用连续函数的第二种求极限的方法，导数仍然定义的是极限值。求极限并不要求Δx=0。只是由于有「连续函数的极限值等于函数值」这个定理，它的极限值等于函数值罢了。有定理保证，这里不存在矛盾。所以说第二代微积分的求导过程消解了贝克莱悖论。

(3)，这样我们就知道，为什么笫一代微积分会在产生悖论的情况下，而得出了正确的导数计算的结果。

原因有两个。

(A)，第一代微积分是在Δx≠0的条件下，进行增量比函数的推演的，这个推演完全符合「如果在 Δx≠0时两个函数完全相等，则当Δx→0时，此两函数的极限也相等」的定理要求。同第二代微积分关于增量比函数的推演完全相同。

(B)，第一代微积分是令Δx=0求出导数=2x+Δx=2x的。第二代微积分把导数定义为Δy/Δx的极限，是由于 Δx的极限=0，结果刚好都等于2x+0=2x。或者因为2x+Δx是Δx的连续函数，所以函数 2x+Δx在Δx=0时的函数值刚好就等于函数在Δx→0时的极限值。这个计算结果同笫一代微积分的结果完全一致。

(三)，结论

(1)，沈先生的解释并不成功。

沈先生未能给出同他对第一代微积分的求导过程的解释相匹配的关于【导数】的恰当的定义。沈先生对求导过程的解释并没有达到沈先生所预期的【给出了......第一代微积分求导过程的全新解释,......彻底消除了所谓贝克莱悖论。】的目标。沈先生只是【改写】了原来的表达式，而这种【改写】是有条件的，其中仍然存在着Δx≠0同Δx=0的矛盾。

(2)，那些想不用极限来消解分析中的悖论和矛盾的方案，没有一个是成功的。

第一代微积分由于没有引入极限概念，说不清无穷小是什么。尽管求导过程可以得出正确结果，但是在概念定义上和逻辑推演上存在着不能自圆其说的矛盾。正是由于第二代微积分，引入了极限理论，才给出了导数的严格准确的定义，完全彻底地消解了贝克莱悖论。那些想不用极限来消解分析中的悖论和矛盾的方案，没有一个是成功的。最终都以某种方式依赖于极限概念和理论。可见极限概念的重要。

（全文完）

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