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zmn-0049 「反对伊战」: 几点说明，薛问天: 评「反对伊战」的几点说明

已有 1884 次阅读 2019-8-17 11:57 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0049 「反对伊战」: 几点说明，薛问天: 评「反对伊战」的几点说明

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0046》薛问天先生的评论的回复，及薛问天先生对此回复的评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

几点说明
反对伊战

（一）我举了薛问天先生在几篇文章中的四个错误，这些确实是错误，薛问天先生自己也没法否定。

（二）当「实数集不可数」在实数一阶理论中得不到证明时，我说【这个可以用别的公理去证明。不过，要涉及复杂的讨论。】这里，我只是说了【别的公理】，是薛问天先生将它说成了“实数的一条二阶逻辑公理”，我并没有这么说。实际上，我上篇文章中，谈【别的公理】时，意思是ZF公理，我说“现在已清楚，「实数集不可数」可以在ZF系统中获证。所以，当「实数集不可数」在实数一阶理论中得不到证明时，我说【这个可以用别的公理去证明。不过，要涉及复杂的讨论。】这个说法是没问题的。”

（三）我当初谈到由LS定理得出实数的一阶公理有一个可数模型时，并不是泛指任意一个实数的一阶公理的可数模型，这个可数模型是什么，当时记不清了。好在我百度了一下斯科伦悖论，事情就清楚了。正如我上一篇文章所说的那样，设M为ZF公理系统的一个可数模型，R为M中的实数集，则那个实数的一阶公理的可数模型就取为R。R为M的子集，所以R是可数集。同时，由ZF公理系统，可以证明R为不可数集。于是产生了一个矛盾，作为可数集的ZF公理系统的模型M怎么会有一个不可数子集R？这就是「斯科倫悖论」。

悖论的一个解决方法是“但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射意义上。在模型外有一个双射是完全有可能的。”即模型M内不存在从自然数到R的双射。既然如此，R内当然不存在从自然数到R的双射，因为R是M的子集。所以，【从模型内部看，实数集合是个不可数集】的说法成立。这就好像一个人说某数不是自然数，当然可以拿出“这个数不是有理数”的已有结论来做依据。

我虽然开始时对于实数的一阶逻辑公理的可数模型是什么，记不清了，但“实数集从模型内部看不可数，从模型外部看可数”这个基本结论是不会弄错的。现在，一百度斯科伦悖论，细节也清楚了。

（四）薛问天先生说:「反对伊战」先生讲的是【实数的一阶逻辑模型】，他错误地以为这个模型(集合)等同于实数集后。其理由是「反对伊战」先生说过【数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，没什么问题，】注意，在“实数集可以是可数集”这一句话中，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，即按一阶逻辑的含义去理解“实数集”一词，这并不意味着在别的场合也按一阶逻辑的含义去理解“实数集”一词。所以，薛问天先生说我将实数的一阶逻辑模型等同于实数集是不成立的。

评「反对伊战」先生的【几点说明】
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一)

「反对伊战」先生，不要忘记我们讨论的问题是:「实数的一阶逻辑理论+别的公理 (实数的一条二阶逻辑公理)」，这样的理论是否还适用于使用LS定理，能推论出它一定有可数模型?如果认为这样的理论还有可数的模型，那就是对LS定理的误读。

要知道LS定理说的是「一阶逻辑理论有可数模型」，这里的「一阶逻辑理论」指的是「所有的公理都是由一阶逻辑形式的公理所构成的理论」，只有这样的理论才保证有可数的模型。显然，「实数的一阶逻辑理论+别的公理 (实数的一条二阶逻辑公理)」己不满足这个条件。

(二)

「反对伊战」先生说:【这里，我只是说了【别的公理】，是薛问天先生将它说成了“实数的一条二阶逻辑公理”，我并没有这么说。】

既然实数一阶公理包含了实数的所有一阶逻辑公理，那么请问这个实数的【别的公理】不是 “实数的一条二阶逻辑公理” ，还能是什么逻辑形式的实数的公理？如果它是 “一条一阶逻辑公理”，那它己经包括在【实数一阶公理】之中了，怎么还能是【别的公理】呢?所以不管你说没说，这个【别的公理】，只能是 “实数的一条二阶逻辑公理”。

(三)

斯科伦悖论不能作为「反对伊战」先生为他错误论点辩解的依据。斯科伦悖论说是根据LS定理，由于集合论的ZF公理系统全是一阶逻辑形式的公理，所以这样的理论有可数的模型。而「反对伊战」先生的「实数的一阶逻辑理论+别的公理 (实数的一条二阶逻辑公理)」，这样的理论己经不全由一阶逻辑形式的公理构成。因而不适用干LS定理，不能断定它有可数的模型。又说什么后者的模型R是前者模型M的子集等，纯属主观臆想，没有根据。

(四)

「反对伊战」先生说:【注意，在“实数集可以是可数集”这一句话中，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，即按一阶逻辑的含义去理解“实数集”一词，】

要知道，「实数集」和「可数」这些在数学上都是有公认的确切含义的概念，不能在不同场合下随意【理解】胡乱更改。否则必然会产生严重错误。

何华灿先生在他的「专著」中，偷换了「可数」的概念，得出了荒谬的【实数集可数】的错误结论。

同样，「反对伊战」先生把「实数集」错误地【理解】为「实数的一阶逻辑理论的模型」，所得出的【实数集可以是可数的】，也是相当荒谬的和十分错误的结论。

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