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Zmn-0037-3 薛问天；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)
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Zmn-0037-3 薛问天；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)
【编者按。下面是薛问天先生对Zmn-0036-3师教民: 答《评师教民先生在zmn--0028的回答》(下)的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】
于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)
薛问天
xuewentian2006@sina.cn
六。 第六个问题。师先生新给出的微分和导数的定义概念不清。
鉴于(1)为了集中精力先讨论「第二代微积分有无矛盾」的问题。(2)师先生对他的「新理论」并未完整地给出，无法准确地评论。我的意见是对师先生的「新理论」暂不评论。待以后师先生的`「新理论」发布后再作评论。
我先把已透露出来的部分内容的初步评论，放在这里，待以后再作进一步的评论。我的初步评论是:
师先生把微分dy和dx定义为Δy,Δx在Δx→0时的极限，从而微分dy和dx定义为实数0。
1) 这种定义己同第二代微积分中的微分定义完全不同。在微积分理论中dy是Δy的线性主部，dx是Δⅹ 。它们都不是实数0。
2) 在「新理论」中把导数定义为微分商dy/dx己不可能，因为在实数理论中，0/0是没有意义的
3) 把微分定义为实数0，把导数定义为「无意义」。这样的「新理论」还可能有用吗?
先把 初步评论，放在这里，待以后再作进一步的评论。
七。第七个问题。师先生对极限的错误理解。
这里说的错误理解，是指在谈到当Δx→0，求Δy/Δx的极限时，师先生说【只有在两种情况下才有可能求得极限值。第一种情况是Δx在Δx→0的过程中永远变不到0，而只能变到绝对值任意小的数ε≠0。第二种情况是 Δx在Δx→0的过程中必须变到0。】
而且师先生认为第一种情况是错误的，只有第二种情况是正确的，说什么【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0。】
1）师先生首先从极限的概念上就理解错了。我们说当x→a时f(x)→A.是指对任意ε>0，存在有δ，当0<|x-a丨<δ时有丨f(x)-A|<ε 。从这个极限的定义中可以看出这根本同x=a时f(x)的值没有关系。是要求|x-a|>0的 。所以从极限这个概念上讲，无论f(a)有无定义，等于多少，都与是否有极限，以及极限等于多少毫无关系。因而师先生说的极限的第一种情况，Δx在Δx→0的过程中永远变不到0，不仅没有错，而且是极限仅有的情况，极限根本就不涉及第二种情况。 说什么【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0。】完全是对极限概念的误解。
我的判断「 可能师先生对极限概念的理解并不是根据它的严格的数学定义，......。」没有错，如果师先生是按照极限的定义来理解的话，定义中明确写着 |x-a|>0，x不等于a，师先生怎么会说【 必须让Δx变到0。】?
2) 师先生辩解说【......根据极限的定义，任何极限例如lim[Δx→0](Δy/Δx)的值都是一个常数，而且一定是函数Δy/Δx在Δx=0的函数值这个常数，......。】这句话是严重错误的。
函数Δy/Δx在Δx=0的函数值是什么?师先生竟然不知道这个函数值是没有定义的。要知道在实数的四则运算规则中，明确规定0不能作除数。在此函数中在Δx=0点，0作了除数，所以函数Δy/Δx在Δx=0这点是没有定义的。师先生还让我举个例子，这就是个明摆着的「极限值不等于函数值」的例子，师先生竟然视而不见。
仔细分析求y=x^2导数的例子，师先生的错误在于错误地把函数Δy/Δx=Δx(2x+Δx)/Δx同函数2x+Δx误以为是完全相同的函数了。其实这是两个不同的函数。在Δx不等于0的各点这两个函数相等，但是在Δx=0这点则不同。前者，函数Δy/Δx在Δx=0点的函数值没有定义，而后者，函数2x+Δx在Δx=0点的值等于2x，是有定义的。。
3) 关于师先生这一大段存在的问题，我在第五个问题的8)的回答中已作了评论。主要的意思是说，有些人对貝克莱悖论有误解，误以为在等式中变量取不同值就会产生矛盾。其实在第一代微积分中，之所以产生矛盾是由于变量取不同值影响了等式的推导，才产生了矛盾。如果变量取值不同，并没有发生推理的冲实，不影响等式的成立，尤其是是如果可严格证明等式成立，则并不产生矛盾。
也就是说，我们举例详细论证了这样一个准则: 「 等式中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，关键看你能否证明这个等式的成立。如你能证明等式成立就没有矛盾。」
师先生在⑴中把我的评论理解错了。 在推论中用到连续函数的「极限值等于函数值」的性质。当然没有错误。错在既然己经证明了 「极限值等于函数值」，证明了等式成立，就应该承认这里没有矛盾，可师先生还错误地坚持认为这里有矛盾。
师先生在⑵中提出了一个问题，为什么在第一代微积分中Δx取不同值有矛盾而在第二代微积分中Δx取不同值就没有矛盾。
我在前面说过，这是因为师先生在解释貝克莱悖论时，没有注意到在推导公式中Δx的取值不同:Δx≠0同Δx=0之所以产生矛盾，是由于它影响了等式的成立的推导。
在第一代微积分中分两步求导。第一步推导，即Δy/Δx=2x+Δx 。第二步令Δx=0，从而 (Δy/Δx)|Δx=0 = (2x+Δx)|Δx=0
第二步的Δx=0使第一步的等式推导不成立，因为此等式的成立是以Δx≠0为条件的。即等式中的变量取不同的值影响了等式的成立，才产生了矛盾。并不是说在等式中变量取不同值就一定产生矛盾。只要证明等式是成立的，就没有矛盾。我可以举大量的例子来说明这点。例如在第五问题8)中举的例子，我们知道(-1)^2=1^2=1。就有如下等式:
(x^2|x=-1)= (x^2|x=1)，......(A)
请问你能认为(A)式有矛盾吗? 那可是等式左边x=-1，而等式右边x=1，你不会说这是既x=-1又x=1而产生矛盾吧I这个变量取值的不同并不影响等式的成立。而是可以严格证明这个等式的成立，从而这里没有任何矛盾。
在笫二代微积分中
lim[Δx→0](Δy/Δx)=lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|Δx=0
式中前两项Δx≠0，它们的极限相等。而第三项Δx=0，这里并无任何矛盾产生。因为2x+Δx是Δx的连续函数，可证明第二项在Δx≠0的条件下求出的极限值等于第三项Δx=0的函数值。我们严格地证明了Δx≠0的第二项，等于Δx=0的第三项的等式成立。所以尽管Δx取值不同，由于证明了相等，从而这里没有矛盾。
师先生为了为他的错误论断 【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0。】辩解，拿这里的例子说事。
这里确实有 lim[dx→0](dx)=0和 (dx)|dx=0=0。从而有 lim[dx→0](dx)= (dx)|dx=0=0。
但这绝对说明不了在求椴限的过程中，必须让dx变到0。因为 lim[dx→0](dx)=0，在dx≠0的情况下己经得出极限等于0，在求极限过程中dx并不必须变到0。只是极限值0这个常数，它在数值上等于dx在dx=0点的函数值而己。不能因为极限值等于函数dx在dx=0这点的值，就说在求极限时dx变到了0。这个道理很简单。我们知道这个极限0也等于函数(1-dx)在dx=1这点的值。 lim[dx→0](dx)=(1-dx)|(dx=1)，难道你也说求极限过程中dx必须变到dx=1吗?
4) 师先生在这段中陈述了他认为求导过程是错误的理由。他首先列出求导过程:
lim[Δx→0](Δy/Δx)=lim[Δx→0](Δx(2x+Δx)/Δx)=
=lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|Δx=0 =2x。
师先生认为极限理论的错误在于对上式中 Δx(2x+Δx)/Δx的三个相同Δx没有同等对待，括号外的二个Δx【规定为不可以等于0】，而对括号里面的那个Δx【规定为必须等于0。】
这其实是师先生的误读。括号里面的那个Δx，同样是不等于0的。在下式中
lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|Δx=0
左端是在Δx≠0的条件下求的极限。因而这个Δx同前面说的两个Δx一样，是不等于0的。也就是说，在整个求极限的过程中Δx不等于0。上式只是说明在求极限的过程结束以后，所得出的这个极限(常数)，根据连续函数的性质，在数值上等于函数(2x+Δx)在Δx=0点的函数值。不能说在求极限的过程中Δx变到了0。
师先生之所以认为三个相同的Δx不相同，是由于他对极限的错误认识所致。是因为他有这样的错误认识【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0。】当他改变了这个错误的认识后，三个Δx就没有这些差异了。也就是说师先生在文中所说的那些【出尔反尔地，蛮横地，粗暴地，......】规定，并不是极限理论的规定，而是由于师先生的误读，强加给极限理论的。可见这里并不存在师先生所说的【重大科学错误】。
师先生的论述暴露了他对极限概念的理解有严重错误。例如他提出这样的问题，【......，Δx在Δx→0的过程中变到多少时才能求出极限值?】
而且说在Δx不变到0的情况下，lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|Δx=ε
只有在Δx变到0的情况下，才有: lim[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|Δx=0
他认为Δx→0时的函数的极限值，就是在求极限过程中Δx所能变到的点的函数值。
这是对极限概念的严重误读。真正的极限概念不是这样。极限值不是定义为某点的函数值，而是定义为无限接近的值。说完整点是，当x→a时f(x)→A是指「当x无限趋近(接近)于a而不等于a时，f(x)无限趋近(接近)于A。」即极限值是函数值f(x)无限接近的值，而不是x在某个所能变到的点上的函数值。更何况「无限接近于a而不等于a」的过程是个无限过程。没有终点没有最后时刻，所以不存在x最后所能变到的点。
这个无限接近的过程 ，即 「当x无限趋近(接近)于a而不等于a时，f(x)无限趋近(接近)于A。」用ε-δ浯言能严格准确的表达: 「 对任意ε>0，存在有δ>0，当0<|x-a丨<δ时，有丨f(x)-A|<ε 。」
而师先生竟然说【这ε-δ语言就是极限理论骗人的把戏或伎俩。】师先生你这句话说了什么理由和道理，这己经不只是简单的空喊口号，简直就是「恶语伤人」，「泼妇骂街」了。而且说明师先生根本就没有学懂极限概念的严格数学定义。
在这里ε和δ表示不超过的距离，即δ表示x同a的接近程度，ε表示f(x)同A的接近程度。既然极限概念表达的是无限接近，这里的ε和δ就绝对不是一个确定的数，不是那个【Δx在Δx→0的过程中永远变不到0而只能变到的绝对值任意小的数,,,。】极限的定义是说无论ε多么小，对任意的ε都存在相应的δ，只要x同a的距离不超过δ，相应的f(x)同A的距离就不超过ε。这里的ε和δ绝不是只有一对数就行的，而是对任何一个ε，都有相应的δ存在。这个ε-δ的表述，准确地表达了 「当x无限趋近(接近)于a而不等于a时，f(x)无限趋近(接近)于A。」的确切含义。
师先生迫不及待地来推销他的所谓「新理论」。要知道，他的「新理论」是为了【纠正极限理论的这一重大的科学错误】的。现在 【重大科学错误】不存在了，「新理论」就失去了存在的基础。
我再说一遍。我不在这里具体评论师先生的「新理论」，不是默认你的【观点正确】，也不是【无力反驳】，而是为集中精力在「第二代微积分有无矛盾」的问题上，讨论清楚，争取达到共识。另外等待你的「新理论」正式完整地发布后(如果真的发布的话)，再评论不迟！
结语
为了集中精力，我们先讨论这七个问题。由于第六个问题涉及师先生的「新理论」，暂停。所以只有共六个问题。
第一个问题。师先生没有说他还坚持认为有矛盾。是否意味着他不再坚持认为这里有矛盾了。
第二个问题。师先生在文中对第二个问题没有提出任何疑义。看来对第二个问题己经取得了共识，师先生找不出我的演算有错，是否意味着，师先生原先想错了，这个新矛盾不存在。
第三个问题。应该说我们在第三个问题上达到共识了。那就是C式是错误的，对于一般情况，「 dx①=dx②和dy①= dy②」并不成立。
第四个问题。 在第四个问题上，可以说几乎达成共识了。如果师先生坚持这样的原则。只允许在草稿上写 lim(X/Y)=(limX)/(limY)=0/0。而在正式的出版物上不允许这样写。我看也可算是达成共识了。因为人们并不关心你在草稿上怎么写的。只看你正式出版的作品。
第五个问题。可以说在基本上达到共识。 关于微分，他已经认可了我的理解，只是想做点补足，如果他认识到这个补充理解是错误的，根本不需要这种补充时，我们也就得到了共识。
第六个问题，暂不评论。待以后师先生的`「新理论」发布后再作评论。
第七个问题，看来还有差距。不知我这次的回答能否解决师先生的问题，这里涉及对极限概念含义和无限接近概念的深层理解。如想不通还可再讨论。
（全文完）
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