Zmn-0022薛问天: 评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》中的错误

【编者按：北航数学与系统科学学院曾志强和刘淑玉在《高等数学研究》发表文章对有关第二代微积分是否存在矛盾的论战进行了《综述》，並发表了他们自己的观点。薛问天先生撰文评论了该文，指出了文中的错误。现将薛先生的评论文章发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极参与评论。】

评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》中的错误。
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

北京航空航天大学 数学与系统科学学院曾志强先生(博士)和刘淑玉女士(硕士)的文章「 综述《论极限理论的微分之谜》引发的论战」(《高等数学研究》2018年9月，第21卷第5期 )〔1〕，对由师教民先生的文章〔2〕引发的有关第二代微积分是否存在矛盾的论战进行了《综述》，並发表了他们自己的观点。

争论实际上是围绕着两个问题。一个问题是在函数求导过程中，是否存在Δx=0和Δx≠0的矛盾。第二个问题是在微分概念中，是否存在dx=Δx和dx≠Δx的矛盾。

《综述》在第一个问题中，正确地肯定了张景中先生的论断〔3〕，但是最终并没有承认第二代微积分在求导过程中没有矛盾。说什么【 对dx≠０和dx=０的矛盾进行直接的批驳，实际上是困难的。】

《综述》对于第二个问题，错误地认为【 第二代微积分是存在问题的，它始终不能无逻辑错误地定义第一代微积分的核心概念微分，...。】

现在对《综述》的这些错误观点逐条进行评论如下。

一，在极限引入后，函数求导过程己无矛盾。

张景中先生在文中己明确指出，函数y=x^2的求导过程是:
ｙ′ ＝ Lim_{〔Δx→0〕}(Δy/Δx)............①
= Lim_{〔Δx→0〕}((2xΔx+ (Δx)^2)/Δx)......②
= Lim_{〔Δx→0〕}(2x+Δx)............③
= Lim_{〔Δx→0〕}(2x)+ Lim_{〔Δx→0〕}(Δx)......④
=2x+0=2x .............⑤

其中①是根据导数的定义。 
①=②根据的是函数x^2的Δy的表达。
②=③根据在条件Δx≠0下，((2xΔx+ (Δx)^2)/Δx)=(2x+Δx)和下述原理：「如果在Δx≠0条件下两个函数相等，则当Δx→0时，该两个函数的极限相等。」
③=④根据定理:「两项和的极限等于两项极限的和」
④=⑤的根据是:
Lim_{〔Δx→0〕}(2x)=2x，
Lim_{〔Δx→0〕}(Δx)=0。

在整个推理过程中都是要求Δx≠0。最后一行也只是说Δx的极限是0，并未要求Δx等于0。所以在求导过程中根本不存在Δx=0和Δx≠0的矛盾。

师教民先生对这样的回答不服〔4〕。因为师教民先生说他写出的求导过程(后面部分④)不同，是这样写的(注原文Δx写作dx):
=Lim_{〔Δx→0〕}(2x+Δx)......③
=(2x+Δx)丨_Δx=0............④‘
=2x+0=2x。............⑤

这样写有没有错?我认为这取决于是如何陈述它的根据。如果说这里的③=④‘，是因为对任何函数F(Δx)，都有:
Lim_{〔Δx→0〕}(F(Δx)) = F(Δx)|_Δx=0，
那就错了。一般说来，这样的式子并不成立。F(Δx)在Δx趋于0时的「极限值」并不一定等于F(Δx)在Δx=0点的「函数值」。

但是对于连续函数来说，这是对的。又由于2x+Δx是Δx的连续函数，所以这里的③=④‘是成立的，正确的，并没有错。

既然师先生写得没有错，这里的③求极限Δx≠0，而且前面的②=③的推导中，要使Δx/Δx=1成立也要求Δx≠0，而在④‘中给函数赋值要求Δx=0。师先生问这是不是矛盾?是不是说明没有解决第一代徵积分的「微分之谜」?

《综述》认为【 对dx≠０和dx=０的矛盾进行直接的批驳，实际上是困难的】，【师教民所指出的dx≠０和dx=０的矛盾却无论如何是避免不了的．】

下面我们来回答这个问题。

我们认为这样的论断是错误的，这里并无矛盾。 ③=④‘式是根据连续函数的性质，函数(2x+Δx)在 Δx→0(Δx≠0)条件下求得的极限值，等于该函数在Δx=0点的函数值。是说Δx在分别不同的情况下求得的值相同，从而列出相应的等式。

这种由于自变量分别取不同值时，列出其某种函数值相等的等式，这是常见的推论形式。如果能严格证明它相等，这种等式并无矛盾。

例如，举个例子。我们对任意的函数f说:(f(x)|_x=-1 )=( f(x)|_x=1 )，这是不允许的。

但是当f(x)=x^2，我们可以严格证明(-1)^2=(1)^2时，你还能说等式(x^2|_x=-1)=(x^2|_x=1) 有矛盾吗?:你还能说这里一会儿 x=-1，一会儿 x=1是矛盾的吗?显然这里没有x=-1同x=1的矛盾。这个等式只是说明当自变量x分别是-1和1时，函数x^2的值相等而己。

所以类似地，我们说「严格根据连续函数的性质推断  ③=④‘，函数(2x+Δx)在Δx≠0条件下求得的极限值，等于该函数在Δx=0点的函数值。」这里不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。

而这点正是同第一代微积分中求导过程的原则不同。在第一代微积分中没有「极限」概念。直接把导数定义为Δy/Δx=2x+Δx在Δx=0点的函数值。显然存在有Δx≠0(等式推导时要求)和Δx=0(求函数值时要求)的矛盾。但是第二代微积分引入了极限概念后则完全不同。③=④‘是根据连续函数的严格推导，推断出在Δx≠0条件下求得的极限值，等于该函数在Δx=0点的函数值。这里不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。

「函数值」和「极限值」这不仅仅是什么【语言】问题和【名称】的不同，这里有严格的原则差异。在求极限时是讨论Δx≠0时的情况，而函数值是讨论Δx=0点的情况，对于连续函数这两者相等，列出它们的等式很正常，这里没有矛盾。在没有引入极限概念之前是有矛盾的，而在引入了极限概念后，所有矛盾都化解了。这正是第二代微积分的核心所在。

为了掩饰矛盾，师先生说第一代微积分可以直接把x^2的导数定义为函数2x+Δx在Δx=0点的函数值。似乎就没有矛盾了。其实这是不行的。要知道函数2x+Δx从哪里来的。它是从Δy/Δx推导出来的，而在推导过程中要求Δx≠0，这同Δx=0发生矛盾。可见在笫一代微积分中，这种矛盾是避免不了的。

也就是说，如果在Δx≠0条件下两个函数相等，则当Δx→0时，该两个函数的极限相等，但是在Δx=0点这两个函数的函数值却不能保证相等。这就是第二代微积分能避免矛盾，而第一代微积分避免不了的原因所在。

综上所述，既使对于师先生写出的第二代微积分求导过程(把④换成④‘)，由于严格地证明了连续函数在Δx≠0条件下的极限值等于函数在Δx=0点的函数值。所列出的等式不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。也就是说它解除了「微分之谜」，Δx等不等于0的矛盾已经并不困难地避免了。

二，在微分概念中不存在dx=Δx同dx≠Δx的矛盾

《综述》说【 我们认为，第二代微积分是存在问题的，它始终不能无逻辑错误地定义第一代微积分的核心概念微分，.......。】

在微分定义中，自变量的微分dx定义为dx=Δx。但是对于复合函数y=f(x)，x=g(t)来说，dx≠Δx。《综述》认为: 【 这是矛盾所在。】

其实师教民先生在他公布的一封信中也提出过同样的向题。认为在微分概念中存在 dx=Δx同dx≠Δx的矛盾。他曾如是说: 【我己经请教过的上百名大专家都回答不了我请教的问题。形成了学生把老师问得张口结舌，老师把专家问得无言以对的尴尬局面，而使微积分的教学无法真正进行下去！】。

为此我专门撰写了一文〔5〕: 解开「微分迷团」，兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。

我在该文中指出，确实有不少学者被此迷团所迷惑。其实，要解开这个迷团是很简单的。因为这两个dx，虽然都用记号dx表示，前者是函数y=f(x)的【自变量的微分】，后者是【函数x=g(t)在t0点的微分】。它们根本就是两个不同的变量，此dx非彼dx，自然不相等。发现它们不相等很正常，这里没有任何矛盾。之所以产生矛盾是由于对微分概念的误解，把两个不同的变量误以为是同一个变量而产生的。

对于复合函数y=f(x)，x=g(t)，y=f(g(t))=h(t)来说，我们常写出如下几个式子:
令函数y=f(x)在x0点的微分: dy=Adx,,,,,,①
函数x=g(t)在t0点的微分: dx=Bdt,,,,,,②，
而y=h(t)在t0点的微分: dy=Cdt,,,,,③。

切记不能把①中的dx和②中的dx看作是一个变量。虽然都用dx表示，但是一定要根据上下文来区别，它们是不同的变量。按照微分的定义①中的dx是「自变量的微分」，而②中的dx是「 函数x=g(t)在t0点的微分」。这是两个不同的微分变量，发现前者dx=Δx，后者dx≠Δx。这太正常了，一点矛盾都没有。

另外，常被忽视，这里①中的dy同③中的dy也是不同的变量，发现它们的不同也不要大惊小怪，也很正常。

应该说我的这篇文章己经完全解开了「微分迷团」，完满地回答了师教民先生和《综述》的质疑。那就是第二代微积分中的微分概念没有dx=Δx同dx≠Δx的矛盾。请详见该系列文章〔5〕-〔8〕，这里就不赘述。

参考文献
〔1〕 曾志强、刘淑玉， “综述《论极限理论的微分之谜》引发的论战”，《高等数学研究》2018年9月，第21卷第5期 。
〔2〕 师教民．论极限理论的微分之谜．高等数学研究，２０１２，１５（４）：４４－４６．
〔3〕张景中．关于《论极限理论的微分之谜》的思考．高等数学研究，２０１２，１５（５）：２２－２２．
〔4〕师教民， 答《关于〈论极限理论的微分之谜〉的思考》， 高等数学研究， ２０１２年１１月，第１５卷第６期。
〔5〕薛问天: 解开「微分迷团」，兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。科学网数学啄木鸟专栏，Zmn-012。
http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1122736.html

〔6〕 薛问天：莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论-评姜赞臣和沈卫国先生的错误。

 科学网数学啄木鸟专栏，Zmn-011。
http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1122359.html 

〔7〕 薛问天：这是不同的「微分」变量-兼评丁小平先生的错误论点。 科学网数学啄木鸟专栏，Zmn-013。 http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1122757.html

〔8〕张景中．我对微分的理解.科学网数学啄木鸟专栏，Zmn-014。

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1124311.html  

(全文完)

附“综述《论极限理论的微分之谜》引发的论战”

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