（1）

   亲，我们将要进入《光速》系列最艰难的篇章，来谈一下场论和微分方程。请不要惊慌，因为，徐民科与你同在。作为一个民科，我是以一种民科的方式来理解数学的，所以我的理解对之于你不会困难。我将竭尽所能，表现出生动、形象和随意，而不是抽象和严谨。这就像护士打针，我会一边轻柔你的屁股，一边缓慢推进，绝对不会让你蛋痛。

   但是，你不能拒绝打针。因为打针才能治好你的病。换言之，只有数学，才能使你正确理解有关光的种种说法，而不至于将大好的民科岁月耗费在充满歧义的自然语言的表述中。

（2）

   要讲微积分，当然首先要讲极限。

   碰到数学家，一定会开篇就说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”；或者开始就是兔子追乌龟，讲数列收敛。听一次，你会兴奋，听多了自然就是催眠曲。不瞒你说，大学上微积分，我总是坐在最后一排睡觉。

   我真正理解微积分的原本含义，是在读研究生以后，听完了数值分析的课，才豁然开朗。

   所谓无穷小，对于物理学家和工程师来说，并不是我们理解的重点，而重点应该是牛顿所谓的流数。（fluxion，http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_Fluxions）所谓流数，重点不在定义无穷小，而在于定义和计算无穷小和无穷小之间的比例关系。而这个计算的结果，就是流数了，也就是我们现在称为导数的东西。

    比如我们所知道的速度的定义：在一个很短的时间，物体移动了很短的距离，这距离和时间的比值，就是速度。我们当然会问，如果我们在这极短的时间内，速度如果是变化的，那么我们该如何算速度呢？我们让这个时间变得无穷短，那么物体移动的距离就无穷小，这个时候我们就定义了所谓某个点的速度：

       $v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$               (1)

     如果碰到数学家，使用这样的方式定义速度，我们一定会被责难。就像牛顿碰上贝克莱。比如图1，小球A以无限快的速度从位置0移动到了位置A，我们来画小球位移对时间的函数$x(t)$的时候，会画出一个在$t_{1}$时刻突然变化的坎，我们比较形象地称之“阶跃”（step）。这个时候民科们也会像数学家一样生出问题：在$t_{1}$时刻，速度到底是多少呢？甚至会生出更麻烦的疑惑：这一点位移值$x$是多少？

     其实我们大多数情况下觉得微积分麻烦，都是因为数学家在其中严格地讨论这类问题。

     但是，我们民科是按照物理学家和工程师惯常的直觉思考问题的。如图2，在实际的工程问题中，我们会将表示测量参量的轴分细，再来测量相关过程。比如，在某次真实的实验中，我们在图1中以秒（second）为时间间隔来测量位移的，但是在图2中，我们使用的是0.1s为时间间隔来测量的。这时候，我们发现，阶跃的地方并不陡直，而是开始有个启动过程，然后小球以比较快的速度运动，最后在到达A位前减速了。换言之，在实际问题中，我们并不会真正碰上阶跃，阶跃不过是真实过程的一个粗糙的描述而已。

     知道了物理学家的这类描述的好处，当然有助于我们思考与实验和实践有关的问题。在工程师、物理学家和我们民科那里，所有的数学描述，都是实际世界的一个近似而已，我们绝对不会对定律、定理和方程敬若神明。而对流数的直观理解，当然也有助于我们理解场论里面的一些基本概念的定义，比如散度、旋度和梯度。

     当然，知道这类描述的局限，也有利于我们谨慎从事，而不至于像一般的理论物理学家一样，从来不关心泛函和普通函数的差别，离散和连续之间的差异，积分次序或者求和次序互换的带来的障碍。更重要的是，当我们理解了不同尺度需要不同的数学描述的概念后，绝对可以避免一系列无谓之争，比如热力学第二定律的证明与严格的数学概念不合啊，比如量子力学里面某个方程的解出的基在空间无远弗届，或者时间上无始无终，很不对头，等等。

    （对于“阶跃”有兴趣的读者，建议阅读郑君里的《信号与系统》开篇部分关于奇异函数的解释。那个时代的学者并不“创新”，但是他们对知识有敬畏之心，写得严谨，讲得明白，读起来会让你爽的。）

图1 位移出现阶跃的情况

图2，阶跃处以0.1s划分的测量结果。

（3）

总结起来，第（2）段的意思是：所谓“无穷”小，就是“比较”小而已。而用“比较”小建立的方程，我们很容易明白这个方程该怎么解，解出来的结果是什么意思。

图3 两个小球的振动

比如，我们来看图3的动画：上下两个球完全一样，用的弹簧也完全相同，唯一不同的是开始的时候，我们的手将球推到了不同的位置。因此，我们可以认为上下两个弹簧和球构成的系统的运动规律完全一样。为了表达这个规律，我们运用牛顿第二定律和胡克定律，忽略摩擦力，我们可以建立如下方程：

             $F_{e}=-kx=Ma=M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$      (2)

     以上方程中$F_{e}$表示弹簧产生的力，k代表弹簧的弹性系数，x代表小球偏离平衡位置的位移（x也可以看成是以平衡位置为零点，弹簧伸长方向为正方向的坐标度量下，小球在每个时刻的位置；），M代表小球的质量，而a代表小球的加速度，它自然是位移x对时间的2阶导。稍具运动学常识，你就可以建立这样的方程。（如果不会建这样的方程，那你的民科岁月真的没有前途了，徐民科也不和你在一起了。）

     从数值计算的立场出发，抛开数学上种种严格的规定，我们准备将以上方程写成差分方程的形式。也就是说我们取的时间间隔dt并不是无穷小，而是一个比较小的量，比如1us。为了表示上不混淆，我们将dt写为$\Delta t$，相应的x的变化量写为$\Delta x$。而时间不再表达为连续的量，而是写成了如下形式:

              $t_{i}=i \Delta t,其中i取正整数，即i=0,1,2······$    (3)

     那么在$t_{i}$到$t_{i+1}=t_{i}+\Delta t$这段时间内，小球从位置$x_{i}$运动到了位置$x_{i+1}$,即位移变化量$\Delta x=x_{i+1}-x_{i}$,则$\frac{dx}{dt}$就被$\frac{\Delta x}{\Delta t}$代替，有：

              $\frac{dx}{dt}被代替为\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{i+1}-x_{i}}{\Delta t}$      (4)

     运用同样的推理办法，我们很容易得到如下的结果：

              $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$被代替为$\frac{x_{i+1}-2 x_{i}+x_{i-1}}{\Delta t^{2}}$     (5)

     则根据公式（2)（公式（2）中的x用$x_{i}$代替）和（5），有如下递推公式：

               $x_{i+1}=(2-k \Delta t^{2}/M)x_{i}-x_{i-1}$                                                         (6)

     显然，如果在初始的时刻（i=0），我们知道了$x_{0}$和$x_{-1}$的值，我们就可以递推出后面任意时刻$i \Delta t$的x值了。

      而从动画图3上看，在i=0时刻，上下两个球的$x_{0}$是不同的，但是两个球开始保持静止，所以对两个球来说，都分别有自己的$x_{0}=x_{-1}$。

     这样我们非常直观地明白了，为什么一个含对时间求导的项的微分方程要有起始条件，而且需要的起始条件跟微分方程的方程阶次有关-因为形如公式（6）的递推公式需要起始的值才能递推。而我们也可以看到，方程的起始条件充足，方程才能有确定的解。我们还可以看到，起始条件不同，推出的解也不同，比如动画3中，下面的球振荡的幅度就大些。

（4）

在这一节，徐民科给你讲内容的方式，不但皈依到了牛顿的流数，而且后面利用差分方程的讲解，我们就直接追上了祖冲之。在后面，我将不顾数学家的阻拦，利用直观的方式来讨论场论以及相关的一些典型方程，希望能够给你有个清楚的“物理”图像，不要再在爱因斯坦的相对论推导的问题上来回纠缠。当然，我们也要清楚，这些直观的讲解，是有非常多的漏洞的，比如（3）小节中的差分方程就可以建成不同的形式，最后数值解会在什么时间范围和精度内与微分方程的解符合，都是需要数学家来探讨的。而我们物理学家和工程师则有自己古老而粗鲁的传统。