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我的全新数学观

已有 4328 次阅读 2012-4-10 18:33 |个人分类:全新数学观|系统分类:科研笔记|关键词:数学| 数学

全新数学观的确立是一个漫长的朦胧的过程,甚至可以追溯到幼时的性格和思维特征。其思想和方法主要来源如下:

 

诺伯特.维纳创立控制论的思想和方法;

在易经基础上产生的中国古算思想;

西方数学直观(觉)主义思想;

重要发现:电子数字计算机计算实现技术是对形式主义数学的一个否定;

计算实验技术。

 

这些来源是长期反复交叉起作用的,以下分别简述其要点。

 

一、        幼时发现的第一个数学悖论

 

在小学我是老师既喜欢又难办的学生。记得还是在小学学分数,老师提问:分母能否为零?。唯有我回答分母可以为零。老师问我为什么。我回答:老师讲过一个饼子两个人分,是1/2,三个人分是1/3;又讲过零表示没有。那么,1/0应表示一个饼子没有人分,等于1博学的老师表扬了我学习的认真,只是要求我们在小学阶段记住分母不能为零。

这件事使我从小就认识到,最讲严格和道理的数学,有时也会出现无法自圆其说的毛病。因此,从小就养成打破砂锅问到底的思辩学风,喜欢争论问题。在不同观点激烈争论中,可以发现问题的实质,并且终生难忘。正是由于这种执著的性格,使我比较容易接受西方数学直观主义学派的观点。如早期数学直观主义学派不承认实数,不承认连续性,不承认排中律,认为形式主义数学幻想的成分太多,无法接受实践的检验。

 

二、边缘学科——科学的处女地

 

第一次看到诺伯特维纳的世界数学名著《控制论》,非常震惊。书中没有繁琐冗长的数学推导式子,绝大部分是文字,详细论述了创立控制论的过程、思想和方法。特别是有关边缘学科,才是最有希望取得科技突破的思想,决定了我从事计算机应用的方向。

1978年经考试调入中国科学院青海盐湖研究所七室程序组工作。这是中科院唯一为项目开发而设立的研究所,并且兼并了化工部的盐湖研究所,具备从基础研究、应用研究、到工程设计的全套人马,为计算机应用提供了最广阔的天地。

为此,立志在维纳先生发现的边缘学科——这块科学的处女地上耕耘。从1980年到1983年,采用哈佛大学和麻省理工学院教学大纲,文理不分,理工不分,在复旦、上海交大、中国运筹学会、大连理工学院、青海师大、电大,以应用数学,特别是计算方法为主干,以解决边缘学科实际应用中的难题为目的,横向跨专业进修和旁听。同时,结合工作需要自学十几个专业数十门课程,为全新数学观构造数学模型打下坚实基础。

 

三、在易经基础上产生的中国古算思想

 

一般认为计算机是西方形式主义数学和科技的结晶,但是其最为关键的计算实现技术 —— 二进制,却是著名数学家莱布尼兹受中国古代易经算符 —— 八卦的启迪才想出来的。(见中科院计算所王行刚研究员等编著《计算机发展简史》,对这一历史事件有争议,我个人认为王行刚研究员引用的事实更合理)这个被中国人引为自豪的历史故事,虽然很快就被大多数人淡忘了,但其中却蕴涵了非常深刻哲理:计算机计算实现技术是对形式主义数学的一个否定。

我国首届国家科学技术最高奖获得者,中科院吴文俊院士最早感知到这个哲理,他在给《中国数学简史》作序中写到:

以《九章数学》为代表的中国古代传统数学,与以欧几里得的《几何原本》为代表的西方数学,代表着两种不同的体系,其思想和方法各呈特色。前者着重应用和计算,其成果往往以算法形式表达。后者着重概念与推理,其成果一般以定理的形式表达。前者的思维方式是构造性与机械化的。而后者往往偏重于存在唯一以及概念之间相互关系等非构造性的逻辑思维。前者由于它机械化的思维方式与算法形式的具体成果,从思想上与方法上正好切合于计算机出现后的时代要求。中国古算的传统特色与其思想体系,对于未来数学的发展应起巨大的指导和推动作用。

全新数学观实践并发展了吴文俊院士的这一预言。

 

四、中国算术与西方代数的比较

 

比较一下鸡兔同笼的中国算术解法和西方代数解法,不难发现其差别。

中国算术是从事物的特性出发,通过观察鸡兔同笼的数量差异—— 一只鸡比一只兔少两条腿,先进行分析构造分步算式,再根据问题目标形成综合算法,直接解决问题,不存在研究转化问题。

由于中国算术算法的每一步都有实际意义,所以步数不多,绝对不会产生计算时间指数复杂性问题。

算术算法是专用算法,没有通用性。用于解决鸡兔同笼的算法,不能用于解决路程问题。要解决路程问题,还必须重新进行创造性的思维,构造新的算法。不难发现,中国算术算法的构造过程和中国国画的创作过程有惊人的相似之处。体现了中国古代科技文化教育,文理不分、理工不分的独特特性。

算术的困难在于如何观察,分析问题独特的数量特征,直接构造算法。有可能这是一个很长的过程,取决于少数天才人物的灵感。对于复杂的问题,也是近乎不可能的世界难题,极大地限制了中国古算思想的应用。

西方代数是从事物的普遍性出发,抽象出形式主义方程,建立方程理论,偏重于一般性解法探讨和存在,唯一性定理证明,再根据鸡兔同笼的已知条件,设未知数列方程,求得问题的解。代数的解法具有普遍意义,解决鸡兔同笼的方程解法,可用于解决许多表面上和鸡兔同笼毫不相干的问题。在没有计算机的年代,代数极大地丰富了人们解决问题的广度和深度,其代价是增加计算时间。

和算术不一样,代数的每一步计算不一定有实际意义,这种没有意义的步骤可以非常多,从而形成计算时间复杂性问题。同时,代数的理论解法,并不能直接用于解决实际问题,存在研究转化问题,最终结果还必须接受实践检验。

总之,中国算术构造算法很困难,但计算快;西方代数建立方程易,但计算慢。从实际应用来看,是互相对立的两种思想体系。这种情况在中文和西文,中医和西医,中国武术和西方博击方面都有突出的表现。

非常遗憾,吴文俊院士将中国古算思想用于创立数学机械化理论,去解决形式主义数学几何定理证明问题,虽然取得了举世瞩目的成果,但却失去了中国古算思想直接解决问题的生动特性,仍然存在研究转化问题和计算复杂性问题,在应用上显示他走了一条弯路。

产生差异的原因,是吴文俊院士属于形式主义数学学派,而全新数学观吸收了西方数学中和形式主义数学针锋相对的数学直观主义思想。

 

五、西方数学直观主义思想

 

西方数学史上有三大学派:以罗素为代表的逻辑主义学派;以布劳维尔为代表的直观主义学派;以希尔伯特为代表的形式主义学派。逻辑主义学派可视为狭义的形式主义学派。两大派争论了几百年,互有胜负,各不相让。由于形式主义学派在两次工业革命中取得的辉煌成果,而在数学界一直保持权威地位。上世纪初希尔伯特提出的23个数学难题被视为数学界的皇冠,其中歌德巴赫猜想被誉为皇冠上的明珠。

近代数学史上,数学悖论的产生推动了数学直观主义学派的发展。虽然直观主义学派更深刻地揭示了数学的本质,但由于缺乏工具,在论证其直观主义观点时,仍需采用形式主义方法,而被视为异端邪说,在中国近代数学界是长期受排斥的。但是,中国古算思想却和西方数学直观主义思想是相通的。

电子数字计算机的出现,才在实际应用上根本改变了人们对数学直观主义观点的认识。

90年代初,美国年轻的数学直观主义学者,采用构造的方法,解决了形式主义数学人工智能学派数十年无法解决的智能控制问题:火星观测器(又叫六脚蜘蛛行走器)自动行走控制。从而奠定了直观主义学派在计算机智能应用上的领先地位。

被称为形式主义数学鼻祖希尔伯特唯一的数学儿子,德国伟大的数学家、物理学家、哲学家赫尔曼.韦尔(Hermann . Weyl),为了真理站在恩师的对立面,为直观主义学派呐喊的历史事实,促使我对数学史、科学史、计算机史作进一步考察。其中美国著名应用数学家、数学思想家M.克莱因著《古今数学思想》一书中,最后一页引用了一段韦尔的意味深长的猜想,幸许有助于理解我的全新数学观:

Weyl对数学的现状做了恰当的描述:关于数学基础和最终意义的问题还是没有解决,我们不知道向哪里去找它的最后解答,或者根本就不能期望会有一个最后的客观回答。数学化Mathematizing)很可能是人们的一种创造性活动,象语言或音乐一样,具有原始的独创性,它的历史性决定不容许完全的客观的有理化(rutionalization

 

我的全新数学观就是对以Weyl为代表的许多数学思想家上述猜想的肯定性回答:数学作为工具应归属广义文学艺术学,这是数学的本质属性;数学作为方法可归属科学技术学,这是数学的表面属性。  

 

几千年来,由于数学计算工具——表现数学应用效果方法的落后,一直把数学的表面属性作为本质属性,其实是很无奈的事。因为数学家找不到如同文学家的文字和语言、音乐家的谱和乐器、画家的颜料和笔,能把自己通过观察和体验到的东西,直观形象表现出来的工具和方法,从而体现自己原始的独创性。

电子数字计算机的出现,为人们提供了从实际应用出发,重新审视几千年来形成的数学现状,取其精华,去其冗余繁琐,重新构造数学本身的有力工具。

 

六、重要发现

 

纵观几千年西方数学史,没有一门学科取得过如此辉煌的成就,也没有一门学科象数学一样,使众多人类精英误入歧途

数学的发展是由许多偶然因素促成的,并非一个优化(有理化)的过程,存在很大的改进余地。史丰收的指算法对于现在的四则运算教学就是一个很好的例证。

时至今日,许多数学工作者感叹,物理学家、化学家都非常清楚自己的前沿领域,唯独数学家背负几千年的包袱而不知前沿在哪里!2002年世界数学大会在北京召开,又提出歌德巴赫猜想还要猜多久?的疑问。有理由怀疑,连奉献了毕生精力的陈景润尚不知用途的歌德巴赫猜想还是数学皇冠上的明珠吗?

鉴于以上现况,和实际工作需要,促使我去探索计算机计算实现技术对数学的影响。

计算机为什么采用二进制,目前通行的解释是从硬件来考虑的,即两个状态的元件最稳定可靠。那么反过来,计算机的二进制实现技术对数学本身有什么影响呢?对此曾思考过这样一个问题:如果我们的祖先就有计算机,那么今天的数学应是怎样的?

既然所有的数值计算和信息处理在计算机里都只进行最简单的二进制加法,那么,一个直接了当的推论是,作为加法简便运算的乘法没有必要。同样,除法、乘方、开方、指数、对数,也都没有必要。这个极端的结论虽有失片面,但却促使我去探索其实质性内涵。

因为在计算机里乘法要变成加法去做,因此,在计算机里2x32+2+2更繁琐、计算时间也更长。在没有电子计算机的年代,形式主义数学的每一次抽象,从计算的角度看,都是为了简化计算;但是在计算机条件下,形式主义数学的每一次抽象,却是以增加计算时间为代价的。因此得出,电子数字计算机计算实现技术是对形式主义数学的一个否定。为什么说是一个否定,是因为只以计算时间这一个指标进行了考察。

在计算机里乘法比加法慢,抽象级别越高的算法越慢,是每一位学过计算方法的学生众所周知的,或者说不难验证的。我发现的,只是根据这些事实可以得出,是对形式主义数学的一个否定。

这个结论的重要性,在于它启示我去猜测,并做计算实验去印证,幸许计算时间复杂性问题是形式主义数学本身所固有的,从而促使我接受西方数学直观主义学派某些基本观点,结合易经指导下的中国古算思想,采用全新思路直接构造模型和算法。

 

七、计算实验技术

全新数学观下的计算实验技术是实现数学原始独创性的工具,从而体现其如同文学艺术的本质属性。

计算实验技术的关键可用一句话概括,即构造近似模型求精细解。这里包括两项技术:快速构模技术和快速求精细解技术。

由此构造的计算机软件,在硬件的支持下,相当于实验仪器。在全新数学观的支持下,根据实验目标,采用快速方法不断精细调整实验仪器,从而实现在实时的错综复杂条件下,实验目标的最优。

这种情况和做物理实验和化学实验的情况类似,和虚拟现实技术比较,可以称之为虚拟实验技术。

全新数学观下构造优化软件的方法和软件工程有本质的不同。

首先是需求分析,是采用实时的动态的错综复杂的多目标分析,不是主要凭经验,在相对固定的易于实现的目标基础上,和用户折衷的结果。

其次,在软件可靠性方面不是采取容错设计,而是采取有错设计,最后采取检验程序和排错方法保证结果的可靠和正确。

产生差异的原因是软件工程采用形式主义数学理论,是一种严格的、相对静止的设计方法,无法处理实时的错综复杂的多目标分析,因而产生软件泥潭。

全新数学观认为,优化软件不适合用工程的方法来设计,应采用计算实验的方法来构造。

 

八、实践是检验真理的唯一标准

计算实验最早起源于计算机模拟、程序调试和数值计算实验。

1979年用计算机处理地下卤水动态电模拟数据,由此产生了用计算机模拟地下卤水动态变化的想法,并对在模拟的基础上进行优化设计产生浓厚兴趣。为此,对地震、气象、导弹、原子反应堆、化工过程、建筑、生物、管理、经济等几乎所有领域的计算机模拟技术进行调研,收集了大量资料。

1989年承担开阳磷矿规模优化计算课题,首次定义了狭义计算实验技术,采用维纳创立控制论的方法,组织实施了计算实验技术,解决了大型工业项目相互矛盾的多目标技术经济指标评估问题。

1998年在一个偶然的机会,遇到从集装箱装箱现场提出的装箱问题:“一定规格尺寸的长方型车厢,装一种规格尺寸的长方体货箱,如何摆放,数量最多?”

在形式主义数学组合优化领域,这是典型的NP难问题,要求最优解,必将导致计算时间指数复杂性问题。因此,只能求近似最优解或满意解。这些算法,由于不能处理误差,所以只能是装箱方法的指导,不能直接产生技术效果。

而在全新数学观的指导下,像一位作家,深入装箱现场体验生活”——观察分析影响装箱工艺所有随机的不确定的因素的特征。一周即完成素材收集”——快速构造算法模型。用一台只能做加减乘除的计算器,一个月即拿出写作大纲”——快速求解算法总体思路。用一台586计算机,半年即完成初稿”——智神装箱技术核心软件的开发。

199812月底,我在做不断逼近理论装箱数的计算实验时,发现输出的装箱数据超过理论装箱数。这使我感到很兴奋,有一种成功的预感。因此,化了三天三夜时间,反复检验核实,最后画出装箱图作三维核算,证实了计算结果是合理的。1999年又反复做计算实验,证实在一般情况下也是正确的,从而印证了我的全新数学观。

1999年深圳中国国际高新技术交易会上,我向全世界宣布智神装箱技术在国际上处于绝对领先水平。

实践是检验真理的唯一标准。真理是相对的。任何数学思想、理论和方法正确与否,应能以解决实际问题的优劣而定。

 

九、重要意义

 

全新数学观下的计算实验技术,融合了中西数学的精华,在计算机的帮助下,使西方形式主义数学摆脱了几千年的包袱,而成为一种直接创造科学技术思想和方法的工具。

2002年诺贝尔经济学奖获得者弗农·史密斯,所创立的实验经济学,可以作为全新数学观下的计算实验技术在经济学上的具体应用。

创新就是向现有标准挑战。只有发现现有标准在基础理论方面的破绽,找出改进的方法,才有可能取得实质上的进步。

真正的具有革命意义的创新,那怕是最抽象的数学理论创新,均来自天才人物在长期实践中归纳出的直觉,来源于各种形形色色的实验,而非在现有理论基础上的演绎。

掌握了全新数学观下的计算实验技术,就不怕知识爆炸。实际上,所谓知识爆炸现象,是用工业经济社会知识结构和思维模式,观察知识型经济社会出现的现象所产生的错觉。在这些爆炸的知识中,如果用知识的时间价值衡量,其中有大量的泡沫知识

方法是人类最有价值的知识,作为创造方法的全新数学观下的计算实验技术,在知识型经济社会的发展中必将起着重要的作用。

 

 

                                                                                                                      罗祥存

                                                                                              2004年元月10   于深圳

                                                             2011年8月15订正于长沙



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