物理公式集中反映了自然真理之美，洞察到公式背后蕴含的简洁深邃的物理规律是一件极其美妙而有快感的事。这也是我疯狂的喜欢推公式的原因。不过，喜欢是一回事，能力又是另外一回事。我自认为我推公式的能力是比较差的，虽然我比较注重对公式背后物理本质和逻辑的思考，但推导的过程经常感觉绞尽脑汁还是常出错。最近有一次推导公式出错的经历，让我感觉是个很好的教训，是以记之。

闲话不多说，直接上公式。

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\bigtriangledown \cdot J=0$  （1）

学物理的应该对这个公式并不陌生，守恒量的连续性方程。以电荷为例时，其意义非常明显：其中 $\rho$ 是电荷密度，即电荷量Q对空间的微分 $\rho =\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} V}$ (2)，J是电流密度矢量， $J=\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} S}$ (3)，对J求散度得到的相当于通量源，对（1）式积分可以得到意义更明显的等价式

  $\int \bigtriangledown \cdot J{\mathrm{d} V}=\oint J\cdot {\mathrm{d} S}=-\int \frac{\partial \rho }{\partial t}{\mathrm{d} V}$ （4）即流出闭合曲面的电荷量等于闭合曲面内电荷的减少量，也就是电荷守恒定律。

电流I的定义为单位时间流过特定截面的电荷量，即 $I=\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}$ (5),考虑把（1）式中这两项都用最本质的守恒量Q表示出来，看看会有什么神奇的结果。

根据（2）式得： $\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} V}}{\partial t}$ （6）

结合（3）（5）式得： $\bigtriangledown \cdot J=\bigtriangledown \cdot \left ( \frac{\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}}{\mathrm{d} S} \right )=\frac{\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}}{\mathrm{d} V}$ （7）

比较（6）（7）两式，差别在于交换对时空坐标求导的顺序，根据（1）式守恒性的要求，得出：对守恒量交换时空坐标的求导顺序引入一个负号！（注意，这是个错误结论）。

这是个奇妙的结论，只要（6）（7）两式正确，根据守恒性的（1）式，就必然得出一个对所有守恒量都有效的约束特性。结论的普适性令人激动。但（6）（7）式正确吗？

两式的推导过程都是基本的求导运算，反复检查并没发现数学过程有任何问题，代入的几个公式也都是物理量的定义式，似乎也不应该有问题。反复验算无果之后我跟实验室擅长理论的孟凡超讨论了我的想法。经过一晚上的讨论演算，经历了世界观的颠覆和反颠覆斗争，孟提出要把每个物理量的含义都精确的定义出来，正是这个思路终于帮我发现了推导过程中隐藏的错误，原来那个负号只是藏在物理量的定义式中的！

Q表示电荷量，这似乎没有什么值得细说的。不过，Q作为时空坐标的函数，这个函数是如何构造的就不能含混其词了。讨论后我们决定用概率论中分布函数的构造方式，Q（x,y,z,t）表示t时刻从三个维度的负无穷到（x,y,z）这个方形区域内的总电荷量。电流I的定义是单位时间定向流过特定截面的电荷量，而 $\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}$ 表征的是Q的增长率，I也是（x,y,z）的函数，也有正有负，在坐标表示式下朝向坐标正方向流动的I应为正，而这对应着Q的减少速率，即 $I=-\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}$ （5'）

这就是那个奇妙谬误的根源！对Q定义不明确的时候，想当然的写出定义式，导致（5）式中差了一个负号。

（5’）式写出的过程，已经包含了Q是守恒量这样的思想，而从（5‘）到（1）在数学上是完全等价的，没有任何对守恒量求导特性的其他约束。

这次错误最大的教训就是不要想当然的做符号的公式运算，要用严格清晰的数学构造来描述每一个物理量，这样的运算才有意义，才不会埋下谬误的隐患。

再次感谢孟凡超给予的有价值的讨论！

李洋

2013年8月17