博文

《数理同源》-7-上帝也懂经济学吗？精选

已有 15803 次阅读 2014-4-24 08:38 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦| 最小作用量原理, 诺特定理

6. 上帝也懂经济学吗？

人类总是以自己是高等智慧生物而自傲，这是理所当然的，因为在地球上只有人类才具有高级思维的能力。人类懂科学，会各种计算，特别是现代的社会，以经济结构为主导，无论是国家、社团、企业、乃至个人，都讲究方法，追求效益，企图用最少的成本办最多的事情。有趣的是，这和我们前面几节中所讨论的变分法中寻求泛函极值的目标，有异曲同工之妙。

科学的目的是揭示大自然的秘密，造物主的秘密，或者把它干脆叫做：上帝的秘密。当爱因斯坦被问及他研究物理的动机时，他回答道：“我想要知道上帝是如何创造世界的”。科学无法证实上帝的存在或不存在，但许多科学家将自然视为上帝之化身，他们口中的上帝经常指的是大自然。大自然中展现出来的一些奇妙现象，鬼斧神工，的确常常令人瞠目结舌，不得不佩服这大自然上帝的伟大。当物理学家们探索物理规律时，也会有这种感触，因为他们发现大自然似乎用“极值”的方式创造了世界，创造了物理规律。比如，前面介绍过的悬挂链条，为什么会呈现那种特别的悬链线形状呢？是因为那使得链条的重心最低，最稳当。光线为什么会在界面发生折射呢？是因为它选择了时间最短的路径，能最快地到达那一个目标点。肥皂泡为什么是球形呢？因为要包围住同样的体积，球形的表面积最小，那是最节约肥皂水的方案！当然，如果还要“为什么”、“为什么”地继续追问下去，最后便无人能回答了。

总之，造物主似乎也喜欢“极值”，难道上帝也懂得经济学？也会泛函分析？它按照某种“花费”最小的方式来设计了物理定律，创造出了这个世界。物理学家们，正如爱因斯坦所期望的，窥探到了那么一点点上帝创造世界的秘密，高兴得心花怒放，将其称之为“最小作用量原理”。

图1：时间最短原理举例

人们最早认识到的大自然的“极值”秘密，是光线的直线路径。对人类的发展来说，恐怕没有什么别的东西能与“光”相比较。有了光，才产生了地球上的一切，其中包括人类自身。我们是如此地熟悉光、依赖光、赞美光、崇拜光。光是我们最早认识、又是我们最感神秘的事物，对它的认识和探索贯穿了整个物理学史。它一次又一次地使我们迷惑，又一次一次地带给我们惊喜，但至今我们仍旧不能说完全了解了它的本质。公元前2世纪，埃及人Hero就提出光线按两点间最短距离传播的设想，后来的费马原理将此矫正为光线按时间最短的路径传播（图1a），从而奠定了整个几何光学的基础。

争取“最快地到达某一点”！自然界中的此类例子还不仅仅限于光。比如，图1b中画的是我们日常生活中可能碰到的情况：一个小孩掉进了河里，怎么样才能以最快的速度到达孩子溺水的那一点呢？答案是与光线的折射规律相似的。更为奇妙的是，有人研究过蚂蚁的觅食路线，作为群体行为，如图1c，蚂蚁到某个固定食物目标的路线居然也由折射规律所决定^【¹^】！在图1b中，如果人能够大概估计到他在草地跑步的速度V^A以及他在水中游泳的速度V^B的话，他便可以计算出他应该走的最佳路线。比如，假设V^A大于V^B，救援者就应该尽可能地延长跑在草地上的距离而缩短水中的路程，以此而达到最快救人的目的。人是智慧生物，尚且需要复杂的计算才能得到正确的路线。那么，低智慧的蚂蚁、还有与智慧粘不上边的光线，是如何做到这点的呢？难道它们具有某种“人性”，能预知地选择对它最有利的途径？这些现象的确让人迷惑不已，无法解释，只能惊叹造物者的神奇。

莱布尼茨很早（1682年）就试图从数学和物理的概念来研究自然界的“极值”。之后更深入的研究发现，大自然的确遵循某种“极值”的原则，但并不一定是“时间最短”。后来，科学家们将此概念推广为“最小作用量”原理，由法国数学家、物理学家皮埃尔·莫佩尔蒂（PierreMaupertuis，1698－1759）于1744年第一次提出^【²^，3^】。莫佩尔蒂也是约翰·伯努利的学生，约翰在传承学术、培养后人方面功劳不小，至少培养了欧拉和莫佩尔蒂。莫佩尔蒂当时的设想既基于物理学，也多少包括了美学和神学的考虑。他认为在冥冥中存在一个支配一切物理规律的原理，那就是最小作用量原理。但实际上，物理规律中的“作用量”并不总是表现为最小，也可能最大，也可能是稳定值。因此现在看来，它应该被叫做“极值原理”。自然规律让作用量取极值，但作用量到底是什么当时却无人知道，为此，莫佩尔蒂宣称（图2b）：

“作用是质量、速度和路径的乘积的总和，自然规律就是要使这种总和尽可能地小。”

莫佩尔蒂的思想给最小作用量原理的发展以极大的推动作用。然而，在物理学中到底应该如何正确地定义作用量？这个问题直到欧拉、达朗贝尔、及拉格朗日发展了变分法之后才得以解决。

图2：作用量的定义

费马原理可以看成是光学中的最小作用量原理，见图2a。通过寻求光线路径极值的方法能导出整个几何光学。在力学中已经有了牛顿定律，但牛顿定律是根据实验事实总结出来的。既然我们知道造物主是按照作用量的极值来构建世界的，那么，能否在力学中找出作用量的某种表达式，通过求作用量的极值而“推导出”整个牛顿力学呢？

前面几节中叙述的变分法给予了实现上述猜测的可能性。因为变分法解决的就是极值问题，并且变分法能得到欧拉-拉格朗日方程。如果我们能选取一个正确的被积函数，使得最后导出的欧拉-拉格朗日方程与牛顿定律等效，我们的目的不就达到了吗？

这样的被积函数果然存在！它被称之为拉格朗日量，在单个粒子的动力学中，拉格朗日量可以表示为这个粒子的动能减去势能，如图2中最右边表达式c所示。现在，我们可以应用欧拉-拉格朗日方程到拉格朗日量L，最后得到牛顿第二定律：

有了拉格朗日量L的表达式，作用量便是L对时间的积分。因此，在经典力学中，最小作用量原理可以表述为：一个作经典运动的粒子，实际运动所遵循的规律是要使得它的动能和势能之差的平均值为极值。如果造物主真的总是选取“花费”最小的那种方法的话，一个经典粒子作运动的花费，就好像表现为是平均动能和平均势能之差。“花费最小”在这儿似乎意味着动能和势能尽量少地互相转换！看来上帝也偷懒，不愿意将能量的各种形式转换来转换去。

哈密顿等人当时将作用量中的被积函数表示为动能减去势能，多少有些猜测的成分。到底应该如何定义一个物理系统，或更广而言之，该如何定义一个自然系统的作用量呢？这一直是摆在科学家面前的难题，直到后来“诺特定理”揭示出作用量与对称及守恒之间的关系，对此才有了一点眉目。

最小作用量原理表现了自然规律的内在美。如果谈到自然界的外在美，那是与对称性密切相关的：

动物及人体的左右对称，树叶及花草的图案对称，还有五重对称的海星、六重对称的雪花、太阳系的组成、星体的转动……都体现了某种对称。当然，对称中又潜藏着不对称，对称无处不在！不对称也无处不在！对称使得万物和谐和均衡，对称中的不对称又给事物注入生动变化的灵气。

除了具体事物表现出对称之外，物理规律也有其对称性，无论是万物形态上的对称，或是科学定律的对称，数学家们都将它们抽象为数学模型，改换成用他们所喜欢的语言来描述。简略地说，对称就是在某种变换下的某种不变性。上面一句话听起来又有点像物理学中经常碰到的“守恒”的概念。的确是这样，守恒可以被包括在对称之中。“守恒”的意思是不随时间而变化，“对称”则是将这个概念推广到任何参数。对称性、守恒定律。以及本节所述的最小作用量原理，三者有着它们内在的深刻联系！

第一个从数学上（或物理上）阐明这种联系的，是德国著名女数学家埃米·诺特（EmmyNoether，1882－1935）。

图3：诺特定理

爱因斯坦高度赞扬诺特为“最杰出的女数学家”，即使是除去这个“女”字，诺特在当时的数学界也当之无愧。1918年，E·诺特在题为“变分问题的不变量”论文中提出著名的“诺特定理”^【⁵^】，揭示出连续对称性与守恒定律之间的联系。图3中的几个简单公式，大概表达了诺特定理的内容：如果系统的拉格朗日量L在某个参数s变动时保持不变（对称性），那么一定能找到一个物理量C，符合守恒定律。换言之，拉格朗日量的每一种对称性，都对应一个守恒量，反之，每一个守恒量，也对应某种对称性。守恒律是可以被实验观察到的，如此而来，从观察到的守恒律，再探索对称性，继而探索是对于何种拉格朗日量对应于这种对称性，这样就为寻找作用量表达式提供了一种较为系统的方法，也就是说，对称性支配着作用量的形式。这种将对称性、守恒、及作用量联系起来的分析方法，后来发展应用到规范场论等，在量子场论及近代理论物理研究的各个方面影响巨大。

守恒量与对称性的对应举例：时间平移对称--对应于能量守恒；空间平移对称--对应于动量守恒；空间旋转对称--对应于角动量守恒；镜像对称--对应于宇称守恒……

这儿的附件中，给出诺特定理的一个简易证明。

诺特定理简单证明.pdf