8. 对称和守恒

在19世纪男性主宰的数学王国中，也走出了一位杰出的女数学家：艾米·诺特。她不仅对抽象代数作出重要贡献，也为物理学家们点灯指路，她有关对称和守恒的美妙定理，揭开了自然界一片神秘的面纱。

艾米·诺特（EmmyNoether ，1882-1935）是一位才华洋溢的德国数学家，曾经受到外尔、希尔伯特、及爱因斯坦等人的高度赞扬。当年的希尔伯特为了极力推荐诺特得到大学教职，曾用犀利的语言嘲笑那些性别歧视的学究们说：“大学又不是澡堂！”

诺特对理论物理最重要的贡献是她的“诺特定理”^【1】。这个定理将表示对称性的李群的生成元与物理学中的守恒定律联系起来。表面上看起来，对称性描述的是大自然的数学几何结构，守恒定律说的是某种物理量对时间变化的规律，两者似乎不是一码事。但是，这位数学才女却从中悟出了两者间深刻的内在联系。

我们继续上一篇的无穷小群，以及李群的生成元等等，从对称性这方面出发，再继而叙述它们与物理守恒定律之间的联系。

平面转动SO(2)的无穷小群是：

G(e)  = 1+ie，                                                                          （8-1）

现在，我们考虑3维旋转群SO(3)的无穷小群。三维旋转可以通过绕空间三个独立转轴的2维转动来实现，所以应该有3种可能的类似于公式（8-1）的无限小转动：

g = 1+ie₁A₁，                                                                          （8-2）

g = 1+ie₂A₂，                                                                          （8-3）

g = 1+ie₃A₃，                                                                          （8-4）

图8-1：三维转动不对易

比较公式（8-1），这几个式子中多出了符号A_i，这是因为三维空间中绕不同方向轴的旋转是不对易的。读者从图8-1中很容易验证这种不对易性：图8-1a是将一本书先绕X轴旋转90度，再绕Z轴旋转90度；而图8-1b所示的是将原来同样位置的这本书先绕Z轴旋转90度，再绕X轴旋转90度。在两个过程中，两次旋转的前后次序不同，造成最后结果不同而证明了这两次转动是不可对易的。

因为三维空间旋转不对易，所以SO(3)不是阿贝尔群。这个“非阿贝尔”的性质在它的无穷小群（李代数）上便由算符A_i之间的“李括号”表现出来。对3维旋转群SO(3)而言，3个算符A_i之间的李括号对易子满足下面的对易式：

[A₁ , A₂] = A₁A₂- A₂ A₁= i A₃                                                          （8-5）

[A₂ , A₃] = A₂A₃- A₃ A₂= i A₁                                                          （8-6）

[A₃ , A₁] = A₃A₁- A₁ A₃= i A₂                                                          （8-7）

这些互相不对易的A_i被称之为李群SO(3)的生成元。独立生成元的个数等于李群的阶数，“李群上的李代数”实际上便是研究这些生成元的理论^【2】。

为了更清楚地解释生成元的意义，我们首先通过几条简单的代数运算，将SO(3)无穷小群的表达式（8-2到8-4）改写成生成元的表达式：

 熟悉微积分的读者会觉得这些公式有点眼熟，它们与微积分中导数的定义在形式上颇为相似。表达式中的(1)是什么呢？并不是简单的实数值1，而是李群中对应于参数e=0时的幺元：(1) = g(0)。所以，如此看来，生成元A似乎就相当于在幺元处对李群流形的参数曲线作微分时切线的斜率，这也就与我们之前所述“李群上的李代数就是幺元上的切空间”的说法一致，生成元则可看作是构成这个切空间的基矢量。旋转群SO(3)有3个参数，切空间是3维的，因而有3个独立的基矢量A₁、A₂、A₃。空间的基矢量可以有多种方式选取，比如说，我们可以用对群参数1阶导数的“算符”来表示基矢量：

首先，什么是算符？物理算符是物理学家通常用以表示某种运算过程（或者复杂方程式）的符号，有时候可以用来做一些形式上的代数运算而使得真正的计算简单易懂。只要不要忘记这种算符表达的意义，便往往能够使推导过程看起来简明扼要并且经过最后验证得到正确的结果。公式（8-9）中所示的是大家熟悉的微分算符。微分算符通常作用在函数上，将一个函数变成另一个函数。量子力学中的微分算符作用在系统的量子态上，将一个量子态变成另一个量子态。

这儿还需插进与“量子”有关的一点说明。

细心的读者可能会注意到，上述有关群参数的公式中（8-1到8-9），总是写ie而不是e，为什么多了一个纯虚数i呢？如果讨论对象仅仅是经典力学中的转动群SO(2)和SO(3)的话，完全不需要引进复数，但因为统一理论中的研究对象是量子化的，量子理论中少不了复数，所以为了方便起见而从一开始便使用复数表示。简单地说，使用复数是为了保证公式（8-9）中的生成元是厄密算符。厄密性的意思可以从厄密矩阵的定义来理解：厄密矩阵是与自己的共轭转置相等的复数矩阵。复数和算符在量子力学中不可或缺，因为在量子理论中，粒子的轨道概念失去了意义，必须代之以粒子的波函数，或者系统的量子态，原来的经典物理量则用相对应的算符表示，对量子态的测量相当于算符作用在这个量子态上，测量结果将按照一定的概率得到算符的一个本征值，所有测量结果的平均值便与经典力学量测量值相对应。因此，量子算符的本征值必须为实数，才能表示量子力学中的可观测量，厄密算符的本征值为实数，符合可观测量的条件。与此对应的更多相关讨论请参考下一节的内容。

生成元算符中的约化普朗克常数（约化h=h/2p），是量子现象的象征，在自然单位系统中，普朗克常数取为1（h=1），约化普朗克常数则为（1/2p）。因此，量子可观测量的算符等于经典算符乘上一个因子（-i约化h）。

生成元算符之间的代数关系，即李括号，表明了李群的对称性。诺特将这种对称性通过系统的拉格朗日量与物理守恒定律联系起来。诺特定理的意思是说，每一个能够保持拉格朗日量不变的连续群的生成元，都对应一个物理中的守恒量（见附录A）。物理对称性有两种：时空对称性和内禀对称性。比如说，如图8-2所举的例子，空间平移群的生成元，对应于动量守恒定律；时间平移群的生成元，对应于能量守恒定律；旋转群SO(3)的生成元，则对应于角动量守恒定律。

图8-2：艾米·诺特和诺特定理

此外，规范不变反映了物理系统的内禀对称性，统一理论标准模型中的规范对称，用U(1)X SU(2)XS U(3)来表示。考察一下最简单的情形：当U(1)群用在电磁规范场中时，所对应的守恒量是什么？电磁场规范变换f→ e^iqθ(x)f 的群元素是g= e^iqθ(x)  ，旋转角θ是群参数，对θ求导后得到生成元= q，所以，对应于电磁规范场U(1)的守恒量是电荷q。根据类似的道理和数学推导，同位旋空间的SU(2)规范变换对应于同位旋守恒，夸克场的SU(3)则对应于“色”荷守恒。此外，除了诺特定理最初所说的连续对称性之外，在量子力学中，某些离散对称性也对应守恒量，例如，对应于空间镜像反演的守恒量是宇称。

总之，现代物理学及统一场论中，对称和守恒似乎已经成为物理学家们探索自然奥秘的强大秘密武器。感谢诺特这位伟大的女性，为我们揭开了数学和物理之间这个妙不可言的神秘联系。

附录A：

参考资料：

【1】Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems:Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studiesin the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag.

【2】B. G. Wybourn , “Classical Groups for Physicists”, Wiley ,NewYork, (1974)

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