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《走近混沌》-10-简单之美

已有 13811 次阅读 2012-9-3 05:26 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦| 分形, 图像压缩

第十章﹕简单之美

 

尽管几个简单的线性自相似的经典分形的历史,最早可追溯到十九世纪后期。但对于分形的深入研究,诸如曼德勃罗图等,却是近四十年的事。这是与计算机的飞速发展分不开的。因为,先进快速的计算技术使得大量的迭代运算可以在更短的时间内完成。图象显示技术的发展为我们提供了探索分形复杂性的方便环境。没有现代的计算机技术,人们不可能欣赏到如此美丽的曼德勃罗图和朱利亚图。

“从艺术的角度,非线性迭代生成的分形图案的确很美。”李四说:“那种美给我们以视觉的享受,分形音乐则给我们以听觉的享受。但是,科学家们所欣赏的应该是另一种美……”

 

“对呀!是这个世界所遵循的科学规律的内在之美。”王二抢着补充了几句:

 

“你们还记得吧,用计算机生成的树叶图和蕨类植物叶子是如此之相像,还有树枝、脑血管、人体……这段时间我一直在想,世界上这些看起来千变万化的一切,恐怕都是由几条简单的生成规则演化出来的哦,就像张三在计算机程序中用一个简单方程进行迭代一样,细胞分裂又分裂,迭代又迭代,一代又一代……最后就成了我们世界中的各种生物体。啊,不只是生物,还有云彩、闪电、海岸线……几条简单规律产生了大自然的一切……”

 

看着王二浮想联翩的神态,张三笑了:“别想象得太远了!想我们力所能及的。你刚才说到的树叶图和蕨类叶子相像这点,使我想起最近看到的一篇文章,谈到将分形用在计算机图像压缩技术方面的事情。”

 

计算机技术使得我们能探索分形的复杂性,分形数学又反过来造福于计算机技术。科学和技术总是相辅相成,互相推波助澜。科学始于探索,技术立足于应用。探索能发现自然之美,应用则创造人工之巧。美之事物必能找到应用的途径,而新颖的技术构思又总是能反射出理论的光辉。分形之美与电脑显示技术之新成果息息相关,相照辉映。

 

当年,分形的研究之所以能在众多的学科范围内引起轰动,其原因之一便是:如此复杂的结构却产生于几条简单的变换规则。复杂是一种美,简单也是一种美。科学的宗旨之一可以说就是要用简单的规律来描述复杂的大自然。复杂的形态背后可能隐藏着简单的法则。

 

从分形的这种‘简单表示复杂’的特性,人们很自然地想到了将分形用于作为计算机中储存、压缩图形资料的一种方式。比如象曼德勃罗集那样复杂的图形,只不过是用一个简单的方程(z = z*z + c)就能表示出来。今天,我们的的文明社会正在大阔步地迈进一个数字信息时代。数字化之后的信息需要通过媒介来记录、传送、储存。使用传统的方法储存声音和图像,数据量非常大。因此,我们才有了所谓的图像压缩技术,就是要在保证一定质量的条件下,将储存的信息量减少,减到越少越好。

 

那么,有哪些传统的图像储存和压缩方法呢?

 

在数字世界中,信息量的多少用所需要的比特数(01)来衡量。表达信息时所需要的比特数目越小越好。也就是说,最好能将信息“压缩一下。也叫做给信息“编码。比如说吧,为了要储存下图中的只有黑白颜色的科赫曲线,我们可以采取如下右边的文字说明中所列举的三种方法编码:

 

                     图(10.1):用不同方法压缩图象的说明

 

第一种是最原始的方法,是将图形分成许多小格子(象素)。例如,我们可以将图10.1分成 256*640个小格子,也就是共163840个象素。然后,需要将这些象素所具有的信息储存起来。因为图10.1只是黑白图形,每一个象素的信息不是’,就是’,正好对应于比特的‘0’‘1’。这意味着,一个象素需要一个比特来表示。因此,要用这种编码方法储存整个图形,需要的比特数就等于163840。第二种方法是将图形看作诺干点和线。上面的图中共有256条直线,经由256个点逐次连成。所以,只要储存这256个点的位置就可以了。因为每个点在图中的位置需要两个整数表示,而每个整数都需要32个比特来表示。因此,这第二种编码方法需要的比特数是256*2*32=16384。显然,第二种方法比第一种方法更经济合算,因为它将信息压缩了10倍。

 

如果我们把这个图形用它的分形的初始值及迭代函数来编码的话,就是上图中的第三种方法。使用第三种方法,需要储存的信息只包括4次线性变换迭代以及2个初始点位置。将这些数值换算成比特数,只需要928个比特就可以了。比较原始的163840比特而言,就等于信息被压缩了100倍以上。

 

有关分形技术用于图像压缩,张三谈起了他自己的经验:在储存曼德勃罗集图形时,如果存为(BMP)文件的话,文件的大小为430*8千比特,这种方法就相当于上面所说的第一种方法。而如果将它存为(GIF)文件的话,文件的大小仅为30*8千比特。也就是说,在这种情形下,gif格式相对于bmp格式,信息压缩了14.3倍。

 

张三说:“可是gif格式也太大了啊,我用程序生成这个图形,存的信息不过是一个简单方程,几个系数,就像刚才的科赫曲线,最多几个千比特,就足够了呀。”

 

王二又兴奋起来:“对啦,生物体一定是把某种类似的、最优化的编码存到基因,DNA里面了……大自然往往做得比人工更为精致和巧妙……”

 

李四却很感兴趣分形图像压缩,说是曾经做过用傅立叶变换压缩声音信号的问题,先和两位一起复习复习。

 

张三附合:“对,我们先不管图像信号,声音信号的处理更基本和简单一些。”

 

其实,不论是声音还是图像信号,最原始的信息都可看作是强度关于时间(或空间)的函数。如我们上面说到的,一个固定的黑白图像可用在每一个像素位置的光强度(01)表示,一个原始的声音信息则用在一系列的时间点测量的声音强度来表示。所以,最原始的储存方法就是:把声音的强度按不同时间点列成一个表储存起来,比如说,转换成电信号保存到磁带上。以后便可以将磁带上的数值读出来,再转换成声音信号。

 

这种储存声音的原始方法类似于刚才谈到图像编码的第一种方法。可以说是完整的储存方法,但它并不总是最好的,也不是最有效的方法。

 

声音的信号除了随时间而变的强弱之外,还有一个很重要的特点,就是它的频率。频率也是声波中给我们大脑更深刻印象的东西。学唱歌时首先不就是学“多来米法硕”吗,那描述的就是声音中不同的主频率。

 

刚说到“多来米法硕”,正好林零和一伙音乐系的女学生在旁边走过,听见这句话便好奇地站下来继续听。

 

既然频率在声音中是如此重要,人们自然想到储存声音应该储存它的频率。对啦,作曲家们就很聪明,他们将所作的曲子用乐谱的形式记下来,那不就是记录的频率吗?傅立叶变换呢,则是科学家工程师们所使用的乐谱,是由法国数学家在1822年创立的。比之音乐中的乐谱,傅立叶频谱有过之而无不及,它把声音信息中包含的所有频率分量都找了出来。这个过程听起来有点繁琐,似乎画蛇添足!不过,傅立叶变换在数学、物理、工程各方面都得到广泛应用,是信息处理中使用得最多的变换,被誉为信息处理技术上一个重要的里程碑。

 

储存频谱的优点是储存的信息量少。当我们按下电子琴的中心C按键时,电子琴发出一个‘多’的声音。将这个声音用强度时间表来储存,每1毫秒存一个强度值,1分中就需要存60000个实数,需用3840千比特。如果存它的频谱,暂时不考虑泛音的话,只需要存这个频率的数值和强度,2个实数就可以了,这不就等于是把信息量“压缩”了几千倍吗?即使考虑还得存泛音的数据,也可以达到几百倍的压缩率吧。

 

一个女孩有些迷惑不解:“一个‘多’弹一分钟,这么长啊?”

 

大家笑了起来,笑得女孩有些不好意思。可李四说,这个疑问问到了点子上哦!傅立叶变换只记下了频率信号,完全没有时间的信息,是不行的。它就像是用一把频率固定、但时间无限长的尺子来量东西,这把尺太长了!所以,在实际上使用的是如图(10.2)所示的‘窗口傅立叶变换’,把尺子按时间分成一段一段的。

 

图(10.2)对三段不同频率的正弦函数组成的图形的窗口傅立叶变换结果

 

林零很有悟性,对王二说:“这个窗口傅立叶变换的道理和音乐上的曲谱很像啊。既有时间,也有频率……但是……这些和你们谈论的分形又有什么关系呢?”

 

王二向她解释了一下刚才谈到的分形用于图像压缩之事。

 

刚才说到的是对声音信息的傅立叶变换处理。回到图像编码领域,原理也是类似的,只不过需要将时间用二维空间来代替。

 

对信号的傅立叶变换压缩,利用的是信号的频率特征。用分形的原理进行图像压缩,则是利用图形的自相似性。

 

分形图象压缩的方法(也称迭代函数系统IFS方法)是美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授首创的。但分形图像压缩技术至今仍然不够成熟。尽管目前已有商品化的计算机软件,但仍有许多问题尚待解决。分形图像压缩的解码速度很快,但编码速度慢,比较适合一次写入、多次读出的文档。

 

正是:“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索。”

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