tianrong1945的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/tianrong1945

博文

量子英雄传-28-规范场论的故事 精选

已有 6716 次阅读 2021-3-11 08:31 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

规范场论的故事-美和真的奇妙结合!

 

28  外尔杨振宁始于物理之真   

      阿蒂亚威滕点亮数学之美

 



28-1:规范场论的大师们

 

和量子物理类似,规范场论不是一个人的功劳,而是许多位大师级科学家们集体创作的物理和数学真与美之结合。

 

1687年,牛顿于他的《自然哲学的数学原理》一书中,首次发表了万有引力定律,这个理论将地上的重量和天上星体间的作用力统一在一起。从那时候开始,物理学家就作起了“统一梦”:企图将万事万物统一在一个单一物理理论的框架中。那么,所谓万事万物是些什么呢?以还原论的观点,最后都可以归纳为若干“基本粒子”以及这些粒子之间的“相互作用”。

 

迄今为止,物理学中公认的粒子若干,而基本相互作用只有4种:引力、电磁力、弱相互作用和强相互作用。因此,我们本节首先介绍描述相互作用的规范场理论,下一节介绍包括基本粒子的标准模型。

 

·外尔的错误模型

 

赫尔曼·外尔(Hermann Weyl,1885年-1955年)是德国数学家及物理学家,对数学和理论物理有杰出的贡献,被公认为是20世纪最有影响力的数学家之一。

 

数学家多少有几分诗人气质,外尔就给人这样的印象,也许是在神圣的数学王国中遨游,长期受美之熏陶所致,时不时会冒出几句诗意的话语。外尔曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述被自己的崇拜偶像爱因斯坦批评时感觉失望和迷茫的心态。那是外尔研究统一场论时的一段故事。

 

外尔对“美”,有一种独特的欣赏方式,他特别欣赏自然界的对称美。外尔上世纪50年代初在普林斯顿大学作了一系列有关对称的演讲,后来写成一本名为《对称》的科普小书,广受读者欢迎。规范理论之诞生,便与外尔追求“对称统一美”的工作有关。

 

外尔曾任苏黎世联邦理工学院数学系的系主任,在那里和年长几岁的爱因斯坦是同事,也深受爱因斯坦的影响。在他1918年的《时间、空间、物质》一书中,外尔回溯了相对论物理的发展。同一年,他引入了规范(gauge,即尺度变换)的概念,并给出了规范理论最早的例子。

 

1933年纳粹执政时,外尔也和爱因斯坦一样,相继避难于美国,成为普林斯顿高等研究院早期的重要成员。爱因斯坦追求统一场论数年未果,外尔则企图将爱氏有关统一的想法在某种程度上数学化。外尔用规范变换作了一个不成功的尝试:企图用时空的几何性质来统一描述电磁场和引力场。这虽然是一个错误的模型,但却开启了规范场理论进入物理学的大门。

 

四种相互作用中的强、弱相互作用仅存在于微观世界,人们在日常生活中最熟悉的、科学家们研究最成熟的,是引力和电磁力。当年的外尔,深切感受到广义相对论及麦克斯韦电磁理论既真又美。因此,外尔首先想到的便是,用他欣赏的规范理论,将这两者统一起来。

 

所谓“统一”,实质上就是寻求不同理论之间的某种对称性,而规范不变便是系统某种内在对称性的数学表达。

 

对称的意思就是在某种变换下不变,因而表述它的变量具有冗余性,有某些多余的东西。例如:我们说雪花的形状是六角对称的,意思是说当我们将它旋转60度、120度、180度等等角度时,它的形状不变,因而可以只用它1/6的形状,便能描述整体。将这个概念用到物理上,就是说,物理理论中的某种内在对称,可以被描述为规范理论中的“规范不变”。

 

电路中 “电压” 的概念,是物理理论中具有冗余变量的通俗例子。大家都知道220伏特的交流电是危险的,接触到便会置人于死地,几万伏特的高压线就更不用说了。但是,诸位可能也注意到立于高压线上的鸟儿,却似乎一点危险也没有感到,仍然能够自由自在地活蹦乱跳,那是什么原因呢?

 

其原因是因为用“绝对的电压值”来描述电力系统具有某种冗余性。因为电力系统对绝对电压值的“平移”具有对称性。绝对电压,即鸟儿两个脚的V1V2,不是真正起作用的物理量,两点之间的“电压差”,V=V1-V2 ,才具有实在的物理效应。也就是说,用两个数值(V1V2)来表示系统的危险性是多余的,只需要一个数值V就足够了。这也就是为什么在电路中(包括电子线路),“接地”的概念是很重要的原因。

 

用物理语言解释以上例子,可以说成是“电压具有平移规范对称性”。

 

重力场也具有与上述电力系统类似的平移规范对称性。父母们不太在乎小孩从他们五楼房间的床上往地板上跳,却不能容许孩子从五楼的平台跳到楼下的草地上。这儿的物理效应也是不管“绝对高度”,只取决于高度的相对差距而已。

 

同样类似的“规范”的概念可以搬到经典电磁场中,只不过比上述的“平移规范”具有更为复杂的形式。平移规范对称性是整体规范变换的实例,可以用电路接地,即定义一个整体的零点“地”来解决。电磁场规范变换则是局部时空场的变换,即随着时空点的不同而不同。

 

根据麦克斯韦电磁理论,电磁场可以用电场E和磁场H来描述,也可以用考虑相对论效应的4维电磁势A来更为方便地描述。但是,根据经典电磁理论,只有电场和磁场才与物理效应有关,电磁势与物理效应不是一一对应的,它具有一定冗余性,就像“绝对电压”很高的值并不能电死鸟儿一样,电磁势的值不完全等效于物理作用。经典电磁理论中,对于同样的电场和磁场,电磁势A不是唯一的,如果四维电磁势A作如下规范变换时,电场E和磁场H保持不变:

 

A → A − ∂ θ(x)                                                                                    1

 

其中θ是一个任意函数,这说明对于描述同样的电磁场,四维矢量势A不唯一。上文的规范变换一词,便反映了电磁系统用4维矢量势来表述电磁场时的冗余性。

 

外尔认为可以利用电磁势的这个冗余性。他的做法是:当四维电磁势A作如1)的规范变换时,给广义相对论的时空黎曼度规乘上一个尺度(规范)因子λ(x)  = eθ(x)

 

gij eθ(x) gij                                                                                         2

 

如此得来的度规”,在形式上可以包容电磁场,数学上看起来非常美妙,闪耀着新思想的火花。然而,当外尔兴致勃勃地将他的文章寄给爱因斯坦后,得到的反馈却不怎么的。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”,一方面又从物理的角度,强烈批评这篇文章脱离了物理的真实性。因为从物理上讲,外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ(x),即相当于在4维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位,也就是有任意不同标度的钟与尺,这在物理上是不可能被接受的。因此,外尔企图统一电磁和引力的模型失败了,尽管它具有数学之美,却失去了物理之真!

 

·电磁场-第一个规范场

 

爱因斯坦的反对意见使外尔失望,却也激励了他求真求美的进一步兴趣。外尔好友薛定谔(加link对量子力学的研究也深深影响了他。后来,外尔带着“量子”的新武器,再次返回到规范场这个课题,并将其原来的理论作了如下两点改变:

 

1. 规范变换不是作用在度规张量gij上,而是作用在电子标量场f;

2. 在原来变换中尺度因子的指数上,乘了一个i,也就是-1的平方根。

 

这一次,聪明的外尔回避了“老大难”的引力场统一问题,转而研究电磁场和电子的相互作用。此外,外尔将原来的规范因子,乘上了虚数i,改变成了电子波的“相”因子,意味着引入了电子的波动性,进入了量子力学!

 

在上述两点改变下,外尔的电磁规范变换成为以下由两个变换组成的联合运算:

 

f eiqθ(x) f A → A − iq∂ θ(x)                                      3                                  

 

28-2:经典规范变换和量子规范变换之不同

 

28-2的(a)和(b)分别直观地说明了经典规范变换(1)和量子规范变换(3)之不同。经典电磁场的规范变换,只是电磁势A自己变换,然后使得EB变化而引起电子所受作用力F的变化,电子完全处于被动的位置。量子理论中的规范变换,将电子场f的相因子变换,以及电磁势A补偿变换结合起来,电子不再是被动的,而是通过电子场与电磁场相互作用,两者一起变换。

 

公式(3)中,为简单起见,将电子的场函数f取为标量函数,但实际上,它是代表薛定谔方程(或狄拉克方程)的解,不一定是标量。此外,量子规范变换(3)仅与粒子的电荷q有关,实际上,物理学家为了方便起见,一般采用一种特别的单位,称之为自然单位,其中令约化普朗克常数和光速c都为1

 

改进后的外尔规范理论,已经不是原来的尺度变换理论,而变成了“相因子变换”理论。它没有了爱因斯坦当年所批评的“钟和尺”不确定的问题,被成功地应用于量子电动力学中,为实验所精确证实。四维矢量势A,也正确地描述了与电子相互作用的电磁场。在量子理论中,电子场f,或者是波函数f(x)表示的是电子的几率幅,它的绝对值的平方是电子在时空中某一点出现的几率,而复数相位的绝对大小没有物理意义,有意义的只是不同时空点之间的相位差,它影响到几率波的干涉效应。将几率幅乘上一个相因子eiqθ(x),意味着几率幅的相位变化了一个角度qθ(x),对计算几率丝毫没有影响。

 

规范变换作用下,如果能使得物理规律保持不变而引入的场,被称之为规范场。如果物理规律符合量子理论,便是量子化的规范场。

 

因此,符合变换(3)的电磁场是第一个量子规范场。根据诺特定理,对称与守恒相对应(加link。量子化电磁场的规范不变对称性,对应于电荷(q守恒定律。使用群论的语言,相因子对称也就是U(1)群对称。酉群U(1)1维复数群,与实数2维空间的旋转群SO(2)同构,也就是说,电磁规范场符合U(1)对称,或旋转对称

 

·杨-米尔斯-非阿贝尔规范场

 

二维旋转U(1)是可交换的,被称为阿贝尔群。大多数对称性对应的是更为复杂的、不能交换顺序的非阿贝尔群。例如我们所知道的:三维旋转群就是不能交换顺序的“非阿贝尔”群。当物理学家们试图将电磁规范场推广到另外两种相互作用(强弱)时,便碰到了非阿贝尔规范场的问题。这个问题最后被杨振宁和米尔斯首先突破。因此,之后便将非阿贝尔规范场称为杨-米尔斯场。

 

1949年春天,杨振宁Chen-Ning Franklin Yang,1922年-)前往普林斯顿高等研究院作研究。同一年,外尔退休离开了普林斯顿,杨振宁搬进了外尔的旧居,并成为高等研究院的永久成员。

 

杨振宁不仅接租了外尔的房子,还接替了外尔在理论物理界的位置,按照戴森的说法,成为了理论物理界的一只领头鸟1。更有趣地是,杨振宁非常感兴趣外尔在规范理论方面的工作。这个共同的兴趣,共同的对物理真及数学美的追求,激励他之后对外尔的规范理论作了一个漂亮的推广。

 

四种相互作用中的电磁力和引力是长程力,作用范围大,因此日常生活中就能感觉到,另外两种是短程力,只表现于微观世界。弱力在beta衰变中存在,费米1930年代对其作出最早的描述。对强相互作用的认识始于1947年发现与核子作用的π介子及其它“强子”。强作用比弱相互作用的力程长(约为10-15m),作用最强(电磁力的137倍),它是核子(质子或中子)之间的核力,是使核子结合成原子核的相互作用,因而成为当时研究者的首选。

 

强相互作用比其他三种基本作用有更大的对称性,需要有新的物理学说来解释此一现象。这点正好符合了杨振宁要推广规范场的想法。

 

到了1953-1954年,杨振宁暂时离开高等研究院,到纽约长岛的布鲁克海文实验室工作一段时期,正好和来自哥伦比亚大学的博士生米尔斯使用同一个办公室。布鲁克海文实验室有当时世界上最大的粒子加速器,世界各地也不断传来多种介子被陆续发现的消息,这些实验使得两位物理学家既振奋又雄心勃勃,杨振宁迫切感到需要寻找一个描述粒子间相互作用的有效理论,他对规范理论的思考也有了重大的突破。他和米尔斯认识到描述同位旋对称性的SU(2)是一种“非阿贝尔群”,与外尔的电磁规范理论的对称性U(1)完全不同,需要进行不同的数学运算。

 

比如,将四维电磁矢量势A,推广到杨-米尔斯场的情况时,用B来表示。A是电子场的势,B是杨-米尔斯场的势。因为杨-米尔斯场描述的对象是两个分量的同位旋, 与其相对应的B 也不是原来类似A的矢量场了,成为2x2的矩阵场B!而二维矩阵是不对易的,因而,在相应的张量Fmn表达式中需要加上一项对易子,见图28-3

 

28-3:从电磁规范场到非阿贝尔规范场

 

杨振宁和米尔斯认识到这点,加上对易子一项。如杨振宁在回忆中说:“我们知道我们挖到宝贝了!”2。通过两人卓有成效的合作,他们在《物理评论》上接连发表了两篇论文,提出杨-米尔斯规范场论。

 

寄出文章之前,1954年的2月,杨振宁应邀到普林斯顿研究院作报告,正逢泡利在高研院工作一年。当杨在黑板上写下他们将A推广到B的第一个公式时,“上帝鞭子”开始发言了:“这个B场对应的质量是多少?” ,急得杨振宁一身冷汗,因为这个问题一针见血地点到了他们的“死穴”。之后泡利又问了一遍同样的问题,杨只好支支吾吾地说事情很复杂,泡利听后便冒出一句他常用的妙语:“这是个很不充分的借口”。当时的场景使杨振宁分外尴尬,报告几乎作不下去,亏得主持人奥本海墨出来打圆场,泡利方才作罢,之后一直无语。

 

泡利尖锐的评论,说明他当时已经思考过推广规范场到强弱相互作用的问题,并且意识到了规范理论中有一个不那么容易解决的质量难点。因为规范理论中的传播子都是没有质量的,否则便不能保持规范不变。在电磁规范场理论中,作用传播子是光子,光子正好本来就没有质量。但是,强相互作用不同于电磁力,电磁力是远程力,强弱相互作用都是短程力,短程力的传播粒子一定有质量,这便是泡利当时所提出的问题。这个质量的难题,让规范理论默默等待了20年!

 

从上一篇的介绍可知,之后的希格斯机制,解决了这个质量问题。

 

·电磁、弱、强作用的统一

 

当年杨-米尔斯理论的原意是要解决强相互作用问题,尽管这个目的没有立即达到,但却构造了一个非阿贝尔规范场的模型,为所有已知粒子及其相互作用提供了一个框架和基础。

 

史蒂芬·温伯格(Steven Weinberg,1933年-),与中学同班同学谢尔顿·格拉肖(Sheldon Glashow),还有阿卜杜斯·萨拉姆(Abdus Salam)一起,用规范理论解决了弱电统一问题U(1) *SU(2),由此3人共同获得了1979年的诺贝尔物理学奖。

 

类似于量子电动力学(QED),强相互作用可被基于SU(3)规范对称性的量子色动力学 (QCD)描述。因此,在众多物理学家们的努力下,将除了引力之外的电磁及弱强作用,用规范理论,即对称群U(1) *SU(2)*SU(3) 统一起来,并在此基础上建立了标准模型。即使是尚未统一到标准模型中的引力,也完全可以包括进经典规范场的理论之中。

 

·数学家们

 

-米尔斯(Yang-Mills)规范理论,不仅仅是物理学中标准模型的基础,还颇受数学家们的青睐,对于纯粹数学的发展,起到了一定的推动作用。

 

规范场论中的规范势,恰是数学家在20世纪30~40年代以来深入研究过的纤维丛上的联络。这个联系激起了数学家对规范场方程进行了许多深入的研究。

 

迈克尔·阿蒂亚爵士(Michael Atiyah,1929年-2019年),是英国黎巴嫩裔,他在1966年荣获菲尔兹奖,被誉为当代最伟大的数学家之一。

 

阿蒂亚的早期工作主要集中在代数几何领域。70年代后他的兴趣转向规范场论,着力研究瞬子和磁单极子的数学性质。他出版的专题文集《杨-米尔斯场的几何学》(Geometry of Yang-Mills Fields),使众多数学家对规范场日益重视。近30年来,他对低维拓扑和无穷维流形几何的研究,在量子场论和弦理论的研究中,深刻影响了爱德华·威滕等数学物理学家。

 

1990年的国际数学家大会有四位菲尔兹奖获奖者:德林菲尔德、琼斯、森重文、威滕。他们之中有三人的工作除了森重文以外,都多少和杨-米尔斯场有关。其中的威滕(Edward Witten,1951- )是理论物理学家,对物理统一理论(弦论)做出了杰出的贡献,我们将于以后介绍。

 

参考文献:

1】Dyson F J.Birds and Frogs[M]. Selected Papers of Freeman Dyson, 1990-2014[M].Singapore:World Scientific Publishing Company,2015:p212-222

2杨振宁.我的学习与研究经历[OL].http://www.ishare5.com/4526563/.

 




http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-1276089.html

上一篇:量子英雄传-27-粒子物理中的对称破缺
下一篇:量子英雄传-29-标准模型

6 杜占池 郑永军 孟利军 王安良 曾杰 鲍海飞

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (5 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-10-17 15:11

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部