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拓扑相变：解读2016年诺贝尔物理奖
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2016年,诺贝尔物理奖颁发给了三位美国科学家：戴维·索利斯（David Thouless）、邓肯·霍尔丹（DuncanHaldane）和迈克尔·科斯特利兹（Michael Kosterlitz），以表彰他们“在拓扑相变以及拓扑材料方面的理论”。
拓扑的直观意义
拓扑描述几何空间的整体性质，不感兴趣“点与点之间的距离”之类的数值，只感兴趣点之间的连接方式，即研究的是“连没连”、“怎样连”这样的问题。
举三维空间中二维曲面的拓扑性质为例，可以更为直观地理解拓扑。如果一个二维曲面不能被撕裂和粘贴，但可以如同橡皮膜一样地被拉伸、弯曲或压扁，这个曲面是拓扑不变的，或者说拉伸前后保持同样的拓扑。因此，拓扑也被人俗称为“橡皮膜上的几何学”。
更为直观和有趣的是考虑二维闭合曲面。比如说，一个橡皮膜做成的球面（图1左），通过拉伸及缩小可以变形成椭球面或其它各种形状，但却不可能变成图1中图所示的面包圈面的形状。类似地，面包圈面形状的一个面团，可以揉捏成一个茶杯形状。也就是说，面包圈面的拓扑，与茶杯表面的拓扑是一样的。
数学上将这一类“有限、无边界、有方向”的二维闭合面，用“亏格”来描述和分类。对实闭曲面而言，通俗地说，亏格就是曲面上洞眼的个数，即：球面的亏格为0，面包圈面的亏格为1，如图1所示。
图1：不同的亏格对应的不同拓扑
物质的千姿百“相”
初中的物理书上就告诉我们，物质有三态：气态、液态、固态。后来的说法再扩大了一些，加上了等离子态、波色-爱因斯坦凝聚态、液晶态等等。除了“态”这个字之外，现代物理学中用得更多的是物质的“相”。物质不同“相”的种类比一般所说的“态”的种类要多得多。也就是说，对应于同一个态，还可以有许多不同的相。比如，水的固态是冰，但冰有很多种不同的结晶方式，它们便对应于不同的相，如图2（左）所示。此外，昂贵的钻石和铅笔中的石墨，同为碳的同素异形体，但因其晶体结构不同，也形成了特性迥异的物质相，见图2（右）。
图2：同一物质不同的相。（左）雪花的不同结晶态；（右）碳的同素异形体
人们最开始对“固、液、气”三态的认识，是基于它们不同的表现形态：固体有一定的体积和形状；液体有一定体积，但形状不定；气体则体积、形状均不固定。而当物质的这三态互相转变时，也相应地伴随着体积的变化和热量的吸收或释放。物理学家们将这一类转换叫做一级相变。这个“一级”，在这儿有一个数学上的意义：在相变发生点，热力学中的参量（比如化学势）不变化，而它的一阶导数（如体积等）则有变化。
为了解释实验中不断出现的各种相变，这个一级相变的概念也被延伸下去。如此便有了二级、三级……等等用热力学量的N阶导数来区分不同级别的相变。不过，级别高的相变并不多，暂且还没有必要分得那么细致。因此，人们将除了一级相变之外的更高级相变，统称为连续相变。
那么，如何来定义物理中的“相”呢？在各种具体情况下可以有不同的定义，就像上面所举的雪花及碳的不同结晶“相”那样，与本篇主题有关的主要是“贝里相位”。
贝里相位
物理学中通常用“相位”一词来描述某种波动性质，比如说交流电的相位、振动弦的相位、量子力学中波函数的相位等等。贝里相位是具体应用到电磁现象中的产物。在经典电磁学中，相位只有相对意义：两个波的相位差会形成干涉条纹，但一束电磁波的绝对相位值，并不产生任何观测效应。在电磁的量子理论中，相位具有可观测物理效应，这便是贝里相位。
图3：通电线圈引起的相位因子f是贝里相位
考虑空间有一个通电螺线圈。假设线圈中有如图3b所示方向的电流，则会在螺线圈的内部产生向上的磁场。想象这个线圈绕得非常紧密，无限细又无限长的话，磁场只能被束缚在Y轴上，而整个空间的其余部分电场和磁场都为0。从经典观点看，如果有电子绕线圈一周后，没有感受到电磁场，对它的状态不会有任何影响，但实验结果却有影响。1984年，英国数学物理学家迈克尔·贝里爵士（Sir Michael Berry，1941-）从量子的观点引进“贝里相位”解释了这个现象。贝里认为，一个量子体系回到原来状态时，有可能会带来一个额外的，因为空间的几何性质而产生的相位因子，称之为几何（贝里）相位【1】。如果电子路径不包括线圈时，这个相位为0。但如果电子路径包括线圈在内，贝里相位便不为0，它具有可观察的的物理意义。不可将其忽视，贝里风趣地比喻说，就像不能将“小孩”与洗澡水一起倒掉一样。贝里相位被量子力学和光学实验的观察所证实。
图4：贝里和他研究的“磁悬浮青蛙”
有趣的是，贝里除了因提出几何相而出名之外，还因为与安德烈·海姆研究“磁悬浮青蛙”获得2000年的搞笑诺贝尔物理奖（Ig Nobel Prize for Physics）【2】。海姆后来因为对石墨烯的开创性实验研究而获得2010年诺贝尔物理奖，贝里也曾得到过沃尔夫物理奖等多种奖项。由此可见，搞笑诺贝尔奖也不仅仅是一种戏谑调侃，可能更多的是体现了一种幽默，得奖者中也不乏创意之人，比如贝里就应该可以算作一个。
拓扑如何进入物理学中？
1982年，早于贝里在研究量子混沌时提出的“贝里相位”，美国华盛顿大学物理学家索利斯等人，为了解释整数量子霍尔效应，已经将数学中的拓扑概念与电子波函数的“相位”联系起来。两组人马从不同的课题来研究量子电磁现象，却得到了类似的结论，大有异曲同工之妙。
索利斯与贝里的共同结论是：量子态与空间的整体拓扑性质有关。
首先从图3实验中的贝里相位说起，电磁势积分一圈后的额外相位因子f的根源来自于细长的螺线线圈。虽然线圈在外面空间中产生的电场和磁场处处为0，但是在Y轴上的磁通量却改变了空间的拓扑性质。没有这个磁场时，空间是平庸的、单连通的普通三维空间。而通电螺线管的存在相当于在电子运动的三维空间中挖了一个洞，使空间变成了非平庸的，具有了不同的拓扑性质。或者可以作如下类比：没有通电螺线管的空间类似于球面拓扑空间，加了通电螺线管之后，有了一个洞，变成了面包圈面的拓扑空间。
霍尔效应也有经典与量子之分，量子霍尔效应中又包括整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应。因此，量子霍尔效应中涉及到不同的、离散的量子态，构成不同的“相”，互相转变则为“相变”。
在表征量子化霍尔效应的参数中，有一个填充因子n，索利斯由n出发，引入了一个称为TKNN的拓扑数，并由此而对电子波函数的拓扑性质进行分类【3】，这是第一次将数学上的拓扑概念应用于与“相”有关的凝聚态理论中，它是基于索利斯和2016年另一位物理奖得主科斯特利兹早期的工作【4】。
量子霍尔效应，研究的是二维系统中电子在均匀磁场中的运动。如果将电子运动和磁场都进行量子化，得到的填充因子n，可以被理解为电子数N与磁通量子数Nf的比值。
图5：用电子和磁通量子表示量子霍尔效应
可以通俗地用冰糖葫芦的图像【5】来比喻量子霍尔效应中电子与磁通量子数目的分配关系。
如图5图（左）所示，将一个电子表示成一个山楂（图中的绿色圆饼），穿过电子的磁通量子用一根竹签表示（图中的蓝色箭头）。从左图可见，整数量子霍尔效应中每个磁通量子所穿过的电子数，便等于填充因子n。
当n=1的时候，对应于一个磁通量子穿过一个电子的情形。当n=2时，有两个子能带被填满，因此，一个磁通量子穿过两个电子。然后，可以以此类推下去。
图5（中）是分数量子霍尔效应的情况。对应于竹签太多，山楂不够，即磁通量子数太多，电子数目不够分配，因而出现几个磁通量子共用一个电子的情形。如果两个磁通量子共同穿过一个电子，n便成为了分数：n=1/2；如果三个磁通量子穿过一个电子，则n=1/3。还有更为复杂一些的情形，比如：如果是五个磁通量子穿过两个电子，则有：n=2/5。
因此，填充因子n可以用作物态（相）的分类标签，每一个不同的n都代表一种不同的量子态：n为整数时，对应整数量子霍尔态；n为分数时，对应量子流体分数霍尔态。
不同的n值代表的不同量子态，无论是分数还是整数，都需要由系统波函数内在的拓扑性质来描述。
例如，分数量子霍尔效应之间的不同，可直观地用这些基态简并电子集体运动模式的不同来描述。好比是这些电子在跳着各种复杂的集体舞。每一种分数量子霍尔态对应一种集体舞模式，每种模式可以用本文一开始介绍的拓扑中的亏格来表征，见图6。
图6：分数量子霍尔态对应的不同拓扑
几乎与索利斯解释整数量子霍尔效应同时，美国普林斯顿大学的物理学家霍尔丹将拓扑的概念用于一维自旋链【6】，霍尔丹之后对凝聚态物理作出一系列重大贡献，包括分数量子霍尔效应等。1988年，霍尔丹第一个预言了没有磁场的（反常）量子霍尔效应【7】。
纤维丛和陈数
让我们再将拓扑的概念介绍得更深入一些。
贝里相位提供了一个具有拓扑结构的最简单物理系统的例子，但事实上物理中经常说到的“空间”，远不是三维空间。量子理论中一般用希尔伯特空间来描述量子态。如果考虑一个在真实的三维空间中运动的电子，对应于电子轨迹的每个点，都存在一个与波函数相应的无穷维的希尔伯特空间。由此我们可以建立一个数学模型，将电子真实运动的空间作为基空间，希尔伯特空间作为切空间，如此就构成了一个数学家称之为“纤维丛”的东西。如果来个通俗比喻的话，纤维丛可以直观地理解为如图7左图所示的图像：一根作为基底的铁丝上缠绕着许多根纤维（毛线），或者是想象成凸凹不平的泥土地上长满了长长短短的杂草。这样一来，量子理论中谈到的空间，指的是这个复杂的“纤维丛”空间，包含了基空间、纤维、还有纤维丛（乘积空间）三者的性质：铁丝弯曲成了什么形状？泥土地是平面还是球面？毛线或杂草，是简单而平庸的形态，还是某种卷曲、打结等古怪的样子？还有纤维丛本身，也可能是整体非平庸的，像图7右图所示的莫比乌斯带那种。有关纤维丛的更深入介绍，可见参考文献【8】。
从纤维丛的观点看，凝聚态物理中不同的量子态对应的不同拓扑，可以用一个非0的、以数学家陈省身命名的不变量—“第一陈数”来表征。
图7：纤维丛的直观图像
如前所述，拓扑不同于几何：几何考察局部形状，拓扑研究整体性质。然而，数学中有一个十分美妙的高斯-博内定理，将这两者关联起来。高斯-博内定理是平面几何中“三角形三个内角和等于180度”到一般二维曲面的推广，华裔数学家陈省身又将曲面上的高斯-博内定理推广到高维流形上，证明了高斯-博内-陈定理。
纤维丛是基空间和切空间（纤维）两个拓扑空间的乘积，最简单的纤维丛例子显然是当基空间和切空间都是1维的情况。比如说，平面可看作X为基底Y为切空间的纤维丛；圆柱面可看成圆圈为基底、一维直线为切空间的纤维丛。平面和圆柱面都是平庸的纤维丛，平庸的意思是说两个空间相乘的方法在基空间的每一点都是一样的。如果不一样的话，就可能是非平庸的纤维丛了，比如莫比乌斯带就不平庸，见图8。
图8：纤维丛
图8是“第一陈数”应用的最简单例子。陈数=0，描述拓扑平庸的圆柱面，陈数=1，描述莫比乌斯带。陈数可直观理解为基空间的点改变一圈时，纤维绕着基空间“扭”了多少圈。比如说，从图8可见，相对于平直的圆柱面而言，当基空间参数变化一圈时，莫比乌斯带上 “纤维”的方向，绕着基空间“扭”了一圈，因此陈数=1。扭得更多圈的莫比乌斯带，对应更大的“陈数”。
拓扑相变研究中的华裔
今年得诺贝尔物理奖的三位学者，是将拓扑应用于凝聚态物理的鼻祖。之后几十年，凝聚态物理无论在理论还是实验方面，都取得了长足的进展，对将来的物理理论及工程应用，有巨大的潜在意义。其中包括对各类拓扑绝缘体的研究、电子学材料、超导的应用、量子计算、量子通信，以及基础物理理论，都将受益不浅。
可喜的是，在凝聚态物理活跃的舞台上，不乏华裔学者的身影。刚才谈及的分数量子霍尔效应，是在1982年被美国新泽西贝尔实验室的几位科学家发现的，其中之一是美籍华裔科学家崔琦。
崔琦（Daniel Chee Tsui）于1939年出生于中国河南，后来到香港读书，再赴美国深造，移居美国。他和贝尔实验室的同事史特莫（H.L. Stormer），及建立分数量子霍尔效应理论解释的劳夫林（R. B.Laughlin）三人一起，分享了1998年的诺贝尔物理奖。崔琦被中国媒体誉为“从贫穷乡村走出来的诺贝尔奖得主”。
有两位美国华裔物理学家，对凝聚态物理近二十来年的发展做出了杰出的贡献，那是大家熟知的斯坦福大学教授张首晟，以及麻省理工学院的文小刚。巧合的是，这两位学者都是从高能物理开始再转而研究凝聚态。张首晟不仅理论预言了二维量子自旋霍尔态的存在，并在2006年提出在HgTe/CdTe量子阱体系中，实现量子自旋霍尔效应的可能性，并很快被德国Molenkamp研究团队的实验所证实【9】。文小刚则建立了分数量子霍尔效应的拓扑序理论和边缘态理论，之后又进一步提出弦网凝聚理论，不仅揭示了拓扑序和量子序的本质，而且又转而返回到最基础的物质本源问题，构造出了一个光和电子的统一理论【10】。
此外，清华大学教授、中国科学院院士薛其坤带领的团队，在拓扑绝缘体的研究中脱颖而出，2013年在世界上首次发现了量子反常霍尔效应，详情请见参考文献中的资料【11】。
（注：此文部分内容，摘自笔者已出版的一本科普读物【12】，及科学网博客系列科普“硅火燎原”）
（同步发表于“知识分子”公众微信号）
参考文献
【1】M. V. Berry. "Quantal Phase FactorsAccompanying Adiabatic Changes". [C]. Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802): 45–57. 1984.
【2】搞笑诺贝尔奖，[OL]. http://en.wikipedia.org/wiki/Ig_Nobel_Prize
【3】D.J. Thouless, M. Kohmoto*, M. P.Nightingale, and M. den Nijs，Quantized Hall Conductancein a Two-Dimensional Periodic Potential，[J]. Phys. Rev.Lett. 49, 405–408. 1982。
【4】J. M. Kosterlitz & D. J. Thouless,"Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensionalsystems", Journal of Physics C: Solid State Physics, Vol. 6 pages1181-1203 (1973)
【5】D. Yoshioka,The Quantum Hall Effect, [M].Springer, Berlin. 2002.
【6】F.D.M. Haldane. Continuum dynamics of the1-D Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigmamodel. Physics Letters A, 93(9):464–468,1983.
【7】F.D.M.Haldane，Modelfor a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed-matter realizationof the parity anomaly，[J]. Physical Review Letters,Volume 61, Issue 18, pp.2015-2018. October 31, 1988,
【8】Yvonne C.B.,Cecile D.M.,Margaret D.B., ”Analysis, Manifolds, and Physics”,[M]. North Holland Publishing Company, Amsterdam. 1977,
【9】B. Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang.Quantum spin hall effect. Physical Review Letters,96(10):106802, March 2006.
【10】Xiao-Gang Wen, Quantum Field Theory of ManyBody Systems - From the Origin of Sound to an Origin of Light and Electrons, [M].Oxford Univ. Press, Oxford, 2004.
【11】Chang C Z, Zhang J, Feng X, etal. Experimental Observation of the Quantum Anomalous Hall Effect in a MagneticTopological Insulator. [J]. Science, 2013.
【12】张天蓉.电子，电子！谁来拯救摩尔定律？[M].北京:清华大学出版社，2015, pp. 140-220
2016年诺贝尔奖
https://blog.sciencenet.cn/blog-677221-1008394.html
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