今晚看见一本书（The music of the primes）上有三道寻找数字规律的题目：

1，3，6，10，15，

1，1，2，3，5，8，13，

1，2，3，5，7，11，15，22，30，42，

下个数字是什么？我想考考女儿，她很快做出了前面两题，却解不出第三道，试来试去都不对，向我求援。我想了许久，也拼凑不出，只好到书里寻答案。

原来这涉及一个正整数可以写成多少种正整数之和的形式。比如：

1=1；

2=2，1+1；

3=3，1+2，1+1+1；

4=4，3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1；

5=5，4+1，3+2，3+1+1，2+2+1，2+1+1+1，1+1+1+1+1+1；

……

因此，p(1)=1;p(2)=2; p(3)=3; p(4)=5; p(5)=7; 这个数列42后面的数字是p(11)=56。而p(100) = 190,569,292。

有没有解析公式给出p(N)？这个问题数学家曾争论了几百年，最终于1918年被英国数学家哈代和印度天才拉马努金攻克：

其中

好家伙，这么复杂的公式！真不知他们是怎么凑出来的。

拉马努金是上个世纪最著名的数学家之一，一生没有受过正规的高等数学教育，却以直觉（或称之为数感）导出许多叹为观止的公式，他与受过严格数学训练的哈代在剑桥大学的合作，是一段数学史上的传奇。虽然拉马努金与哈代想用同样办法给出所有素数的解析表达式的努力失败了，他们整数分拆的工作却启迪了哥德巴赫猜想的研究。在此之前，数学家们已经绝望了，一致认为哥德巴赫猜想根本无法证明，而由拉马努金和哈代的这项工作发展出的一套新方法，正是破解哥德巴赫猜想的钥匙。

可惜两年后（1920年）拉马努金就去世了，哥德巴赫猜想直到今日还差最后一步没有解决。拉马努金病重住院期间，哈代前来探视，随口说起他乘坐的出租车车号是1729，“一个毫无趣味的数字。”即使已经看清死神的半张脸庞，拉马努金惊人的数学天赋依旧波涛汹涌：“不，亲爱的哈代，这是一个非常有趣的数字，它是最小能用两种不同方法表示成两个（正）立方数的数。”

他说的完全正确：1729= 1³ + 12³ = 10³+ 9³。