从英文学习的角度简评部分含英文的《数学》教材
Mathematics Textbooks in Chinese and Their Englishes

摘要Abstract

以中文出版的各科教材有些在行文中增加了英文，有些在附录中也增加了英文词汇对照表，这些都为“熟练掌握英语”以便将来达到读、听、写、说四会提供了非常初级的有益的资源。然而，这些英文或英文词汇都是在孤立的语境中，而且是在同英文毫无渊源，区别巨大的中文语境中孤立出现，这样对于母语为汉语的英语学习者，既对任何一个用字母文字写出来的语言，基本上都是难点的英语学习者，提出了不接触字母语言则不会遇到的挑战。例如，每个英文的单词如何发音？哪种发音更接近原文的发音？每个缩写字母，比如物理单位，应该如何发音，甚至如何完整地拼写出来？是按照英语字母表发音还是要读出整个单词？物理单位在说出来写出来时到底用单数还是多数？众多的科学家来自不同的国家，他们的姓名应该怎样发音？德国音，法国音，英国音，哪个常用？中文翻译出来的姓名能否准确标示这些科学家姓名的正确发音？每本书中列出的大约60到100个英文词语在真正的英文原文中到底怎样使用？学习了这60到100个英文词语是否达到了主要英语国家的同级学生的英文水平？如果没有达到那么到底有多大的差距？

本文通过比较中文数学教科书中所引进的少量英文同原版英文数学书的英文，探讨前面提出的挑战应该怎样解决，以及英文如何提高到主要英语国家的同级学生的英文水平的方法。

A number of textbooks published in Chinese have embedded a small number of English terms either in the text or appended as a bilingual glossary, which may enhance the four skills of reading, listening, writing and speaking in the English language. However, those English terms only appear in a Chinese context without due support of the English language, thus rendering new challenges to native Chinese speakers who usually are less sensitive to Roman letters. Some of the challenges are: How to pronounce those English terms? Which transliteration is truer to the original pronunciation? How to pronounce abbreviations such as units? How to spell out those abbreviations? Should those abbreviations be read as individual English letters or as spelt-out words? Should those units be used in the singular or the plural? Scientists were born in many different countries. How to pronounce their names? Which pronunciation is better, German, French or English? Are Chinese transliterations true representations of their names? How to use the 60 to 100 English terms embedded or appended in the Chinese textbooks? Can students in China reach the same grade level in English as a native English speaker? How far apart is a Chinese student of English from a native English speaker in terms of English?

This article compared the embedded English terms in Chinese textbooks with those from English mathematics textbooks and tried to provide some resources to meet the abovementioned challenges. Some suggestions are provided to help Chinese students of English to come close to native English speakers.

关键词: 英文，英语，数学，术语，汉化。

Keywords: written English, spoken English, mathematics, special terms, sinologise.

由于帮助当地的孔子学院收集以中文出版的教材，有机会收集到了几套中文版的《数学》教材，主要的是青岛出版社的两套小学一到五年级用的《数学》，每套分别有十本五个学年，每一学年分上下两册。这两套中有一套缺四年级下册，另一套是全的，十册都有。人民教育出版社《数学》教材的一共有四套，初中《数学》(课程教材研究所 & 中学数学课程教材研究开发中心, 2003, 2004, 2006)应该是六本，缺三本，七年级上册，八年级下册，九年级上册。高中《数学》有三套，必修一套(人民教育出版社课程教材研究所 & 中学数学教材实验研究组, 2004, 2005f, 2005g, 2005h, 2006)五本，选修两套，系列1(人民教育出版社课程教材研究所 & 中学数学教材实验研究组, 2005d, 2005e)两本及系列2(人民教育出版社课程教材研究所 & 中学数学教材实验研究组, 2005a, 2005b, 2005c)三本。按照《普通高中数学课程标准》的规定(中华人民共和国教育部, 2003c)，完整的高中《数学》教材还应该包括选修系列3及系列4。

尽管不同的文化同语言是不能用一种作为标准来评估另一种的，不过相互借鉴一下也会彼此促进，共同取得些进步。当然，这样也需要简评的人士同阅读的人士都有一种开放的心态，并且能共享某些什么是比较好的教材的共同标准，包括什么才是学好语言的共同标准，这样才能达到共识。我们先来看一下人民教育出版社的四套《数学》教材，包括初中，高中必修，高中选修系列1，以及高中选修系列2。本文将自初中及高中数学课本中选出两本作主要样本进行分析，对全套课本中英文的使用待有时间将陆续分析。

人民教育出版社的《数学》同该出版社50年来的其它教材一样，有其自身的悠久历史，当然也为了适应“当今社会，是否熟练掌握英语，已成为衡量一个人的知识结构甚至综合素质的一个重要方面”这种新的形势和需要(中华人民共和国教育部, 2002, 2003a, 2003b; 2004a，说明部分; 2004b)，在每一册《数学》都作为附录，加上了《部分中英文词汇索引》或者《部分中英文词汇对照表》，另外，在正文中也增加了不少的英文词汇，我们先从正文中看看某些英文的使用及如何将这些英文变成四会的一部分，以便将来学生能够做到“熟练掌握英语”。

这里我们先来考虑一下什么叫做“熟练掌握英语”？这一概念引自《全日制普通高级中学教科书数学=Mathematics（英语版）》的说明：

当今社会，是否熟练掌握英语，已成为衡量一个人的知识结构甚至综合素质的一个重要方面。在这样的形势下，多角度、多渠道提高人们的英语水平，特别是提高基础教育阶段在校高中学生的英语水平，已经成为社会的迫切需要。(中华人民共和国教育部, 2002)

但是对于什么叫做“熟练掌握英语”，该说明并未定义。在不同的语言环境中应该有些区别。就本文而言，尽量追求比较高的标准，即本文所认可的“熟练掌握英语”指在同等的年龄段，尽量争取接近本族语使用者的四会水平才可以叫做“熟练掌握英语”，即一名高中毕业生要尽量接近英国，美国等主要英语国家高中毕业生的英语水平才可以叫做“熟练掌握英语”。而且不是简单的所谓‘日常用语’，而是直接用英语学习化学，数学，物理，地理，历史，文学，心理学，哲学等等所有初、高中课程，以便进一步轻松进入任何一所用英语英文授课的高等学府。

汉语为母语的学生接触字母语言时最大的障碍是对字母文字不够敏感，以至于读到英文想中文，听到英语想汉语，这种‘学外成母’或者‘学英成中’的方法不但没有复习巩固英文，反倒复习巩固了中文。最好的方法应该是读到英文时想英文，听到英语时想英语，而在读到中文时则想中文，听到汉语时则想汉语，两者分开才不会出错。在接触学习使用方块字的全部过程中，对字母的接触主要是汉语拼音，而汉语拼音虽然使用了拉丁字母，到底是人为的标音符号，对于汉语为母语的学生来说，是不把汉语拼音当作单独一门语言的。从接触字母语言开始，便不能将字母语言当作是对应于某些汉字的拉丁字母的组合，而应该当作是完全由字母组成的一种同中文根本不同的文字。在学习字母语言时，就应该使用符合字母语言本身的规律的方法来学习，而在多数情况下，都不能用符合方块字本身的规律的方法来学习字母语言，不能用一种汉化了的方法来学习，不然最后的结果就是将英文全部‘化’成了中文，忘掉了英文。对于任何字母文字的组合，都是汉语为母语的学生的生词，或者说根本就不认识，是‘无知’的关系。因此，更要依据字母文字本身的规律，学会尽可能多的字母语言文字，才有希望做到“熟练掌握英语”。

我们举几个例子来看看符合字母语言的方法是如何应用的。在举例子的过程中，本文不得不使用某些汉字来表示读音，在此提请读者注意。

翻开《数学》（七年级下册）(课程教材研究所 & 中学数学课程教材研究开发中心, 2003)，我们找到人民教育出版社的网址：http://www.pep.com.cn，一般说来，学习过计算机的同时也学过英文的，才可能知道http=Hypertext Transfer Protocol，有些人知道www=World Wide Web，有些人会猜出来pep=人民教育出版社的英文，但是只有学过英文的，才可能想到pep=People’s Education Press，而com=commercial，cn=China有些人也了解。我们简单看看，就是这样一个网址，其所包含的英文信息量并不小，而对于立志达到“熟练掌握英语”的学生，则必须全都学会。如果做不到接近英语本族语使用者的水平，至少应该做到同汉语同样熟悉的程度，才能叫做“熟练掌握”。

在同一页上，我们看到另一个例子，ISBN 7-107-17733-8，而这ISBN=International Standard Book Number，也是英文，英文信息量也不小，要订书购书，最好用ISBN，因为没有重复的，可以避免订错书。

仅仅用这两个例子，我们可以学习到，英文当中的缩写是一个包含信息量很大的范畴，要“熟练掌握英语”不是简单的知道某个缩写等同于哪几个汉字，而是要“熟练掌握”某个缩写等同于哪几个英文字，能够将缩写拼写成完整的英文，也能将完整的英文拼写自然变成对应的缩写，同时还要做到读、听、写、说四会，才可以叫做“熟练”。而做到“熟练掌握英语”，则还需要更多的知识，不是几个缩写，几个单词，几个短语就可以达到的。比如用英语

问：Do you happen to know the URL of People’s Education Press? Is it pep.com.cn or pep.com?

答：.com.cn.

这里就有了新的知识，URL=Uniform Resource Locator，这也是既要了解英语又要了解计算机才可能知道的。同时，这里还隐含了www可以略去不用的知识。又比如用英语

问：I need to order a few textbooks by People’s Education Press. Do you happen to know their ISBN number?

答：I can find it for you. It begins with 7-107.

这里也有了新的知识，即-=hyphen，尽管很多英美的母语使用者读成dash。如果没有更多的知识，是没有办法了解到在前面短短的四位ISBN中，7表示Chinese，而107则代表People’s Education Press。

有人可能会说：“这我当然知道啦。7代表中文，而107则代表人教社。”请重新考虑一下，本文谈的是‘从英文学习的角度’，而‘中文’同‘人教社’都不是英文！就更谈不到“熟练掌握英语”了。

再举个什么叫做“熟练掌握英语”的例子，People’s Education Press必须是People’s Education Press，而不能是Peoples’ Education Press，不能是People’s Educational Press，也不能是Peoples Educational Press，还不能是People Education Press，这些都是错的，失之毫厘，谬以千里。

下面我们来进一步分析一下几个《数学》中的英文例子。

‘相交直线’的后面用括弧给出了intersection lines (课程教材研究所 & 中学数学课程教材研究开发中心, 2003, p. 4)，这种中文术语后面加上英文的方法我们曾经称之为EwC法，就是English-within-Chinese法 (Feng冯睿 & Xu徐弘, 2007)。本文作者之一在70年代使用这种方法时曾得益于一本早期翻译成中文的讲微积分的书 (Granville, Smith, & Longley, 1948)，这本书在中文讲解到新的术语时便在括号中给出了英文，笔者记得的有‘拐点(turning point)’，及‘变元(argument)’，这些都是微积分里面的概念。作为老学生，我们非常乐于看到这种极为有效的方法能够经由人民教育出版社使用在其出版的课本中，更希望看到这种方法能够用在所有的主要行文为中文的课本中，这样可以达到‘无意’学会英文的境界。

然而，由于这些英文的术语都出现在孤立的中文语境中，而不是在其本来应该出现的英文语境中，由此产生的问题主要有两个，一个是对于绝大多数中国学生来说即使读到英文也无法知道其对错与否，因为熟悉中文的学生原本不熟悉任何字母语言，无法参照，即使见到英文也没有判断正误的能力；另一个是无法知道这些英文术语在英文中如何使用，因为只知道英文的所谓中文对应词却没有在英文的语境中学习到应该怎样使用这些英文术语，等于毫无用处。

我们先来看看初中《数学》中部分英文的对错问题及使用问题，当然，本文只谈英文的对错及使用，不涉及中文。

先来看看《数学》（七年级下册）(课程教材研究所 & 中学数学课程教材研究开发中心, 2003)中的某些英文。

相交直线(intersection lines)的英文 (p. 4)有误，应该是intersecting lines，根据是一本新出的英文数学课本 (Garneau, et al., 2007, p. 378)，英文定义是lines that meet or cross; lines that have one point in common. 这个字的本意是inter+section=between+cut=cut+between，中文直译是‘割线’。

邻补角(adjacent angles on a straight line) (p. 5)，在英文课本中我们还没有看到过这种概念，可能出自汉化的自创。邻角=adjacent angle，而补角=supplementary angle。

对顶角(vertical angles) (p. 5)一般应该是vertically opposite angles，直译成中文应该是‘顶对角’，一般有两个，因此常用复数。而vertical angle除了中文直译的‘顶角’外，还有另一个含义，即比较垂直的角，因为vertical的一个意思就是perpendicular，容易理解错兼使用错。在加拿大的数学竞赛题中，如Pascal，Gauss，或Cayley等等数学竞赛，常见的是opposite angle，中文直译是某某角的‘对角’，因此用单数。

互相垂直(perpendicular) (p. 6)中的英文只有‘垂直’而没有‘互相’，最好给出‘互相垂直’(perpendicular to each other)的完整英文，这样学生可以学到perpendicular后面接to的用法。还可能用mutually perpendicular。还有一个在英文当中不太正规的用法，偶尔也会见到，即perpendicular to one another。

垂线(perpendicular line) (p. 6)一般不必用line，因为英文当中的词类或词性多可以互换。在用法上可以用the perpendicular on后面接直线的代号，如line B。如果能进一步讲解pendi-=hang，则在学习物理学时学到pendulum更容易用英语将来理解。

互相平行(parallel)(p. 13)的英文也只有‘平行’而没有‘互相’，最好给出‘互相平行’ (parallel to each other) 的完整英文。翻译成中文的时候有种翻译技巧叫做addition (Zhong钟述孔, 1980, 1983)，但是反译回去成英文时最好给出完整概念，有助于学会‘如何熟练使用’英文。

同位角corresponding angle (p. 15)，内错角alternate angle，同旁内角interior angle (p. 16)都没有给出英文，不知何故。还有同旁外角exterior angle，有些英文的数学课本中是给出的，尽管很少用。还有一个外错角alternate exterior angle，中文直译是‘错外角’，更少见。

《几何画板》(p. 28)也应该给出英文，the Geometer’s Sketchpad，另外，也不应该翻译成‘几何’。Geometer这个字指的是人，不是物，也不是学问，而且这个称号曾经是个非常荣耀的称呼，就是说即使在古希腊时代，能够称得起是geometer的人物也不多。其软件的编写者之所以用这个字是因为其中包含着很多的尊敬，对人的尊敬，而不是对几何的尊敬。最著名的Geometer当然是Euclid了，他还有个称号，叫做the father of geometry。这个术语最好不要翻译成中文，本来是要学英文的，又翻译成了中文，又学回去了，学反了，将英文学光了。另外，‘几何画板’四个字，没有什么更深的概念，很多学生也不知道‘几何’是外来语，而geometer’s sketchpad却包括geo-, meter, ’s, sketch, pad至少五个成分，还有常见的sketchbook及联想的mouse pad，这样才更容易‘熟练掌握英语’。

平移变换(translation) (p. 31)尽管给出了英文，对于某些学过英文的学生来说，看到translation则不会想到数学，而容易想到中文的‘翻译’。如果能够给出该字的来源及本义，即trans+late=over carry=carry over，则有可能为某些同学提供点如何记住英文单词的符合英文规律的方法，也更容易深刻点地用英语来理解这个字。另外，translation也并非‘平移’，而是相对于rotation的一种carry over，这一点也应该澄清。

几何学(geometry) (p. 35)如果能给出英文的解释，即geo+metry=earth/land+to measure则更容易帮助学员“熟练掌握英语”。如果给出geo+metry=土地+测量，则不但没有复习英文的earth, land, to measure，反倒复习巩固了中文的‘土地’及‘测量’，更“熟练掌握了汉语”，又学回去了，学反了。另外，-metry同前面的meter同源。

欧几里得(Euclid) (p. 35)这类外文姓名的中文音译是最容易造成外语发音不准确的主要原因之一。这位Euclid的英语发音根本就不像中文的‘欧几里得’，更像‘尤克里得’。同近期的某些数学家的姓名不同，比如Cantor还有些人按照德语来发音，而Euclid几乎没有什么人还按照古希腊语来发音了。而其作品《原本》也不妨给出英文，the Elements. 一般提到这套书，英文当中是要加上the的。

有序数对(ordered pair) (p. 45)，在学习英文中，中国学生不得不注重很多字母语言独特的语言现象并且要牢记，才能“熟练掌握英语”。因此这个术语最好给出an ordered pair，对于提醒读者注意an的使用，更有帮助。

平面直角坐标系(rectangular coordinate system) (p. 47)，这里面的英文没有‘平面’这一概念，并且，在英文课本中，常见的是Cartesian coordinate system，即不用rectangular也不用right-angled，也没有‘平面’，直译成中文应该是‘笛卡尔坐标系’。在较旧的课本中还可以见到，比如七十年代的Foundations of Advanced Mathematics (Kline, Oesterle, & Willson, 1975, p. 60)，同时给出了rectangular or Cartesian coordinate system，而在该书后面的第16章，又用了rectangular coordinate system (Kline, et al., 1975, p. 200)，可以看出当时还是一种过渡状态。更早些的六十年代的资料还可以看到the system of right-angled coordinates (Duden, 1960)，但是也没有‘平面’。晚些的课本，则较常用Cartesian coordinate system了。同一页上的‘原点’也是应该给出英文origin的。在此我们可以看看早期英文数学课本的行文：

In mathematics we frequently find it necessary to describe the position of a point in a plane. This can be done by the use of a rectangular or Cartesian coordinate system. To use such a system, we draw two mutually perpendicular lines, one of which is horizontal. These lines, called coordinate axes, intersect at a point O called the origin. It is now possible to describe the position of a point P with respect to these axes. Thus, we may state that the point P lies 3 units to the left of the vertical axis (called the y axis) and 2 units above the horizontal axis (called the x axis). (Kline, et al., 1975, p. 60)

这是高中水平的英文，Flesch-Kincaid Grade Level 8.9，约九年级水平。能够不翻译成中文而熟练读懂并用英文直接理解才可以叫做“熟练掌握英语”。这里面重点的概念均用斜体(italics)印刷，但对于不习惯阅读字母文字的中文读者，斜体印刷并不见得醒目。

法国数学家Descartes被翻译成‘笛卡尔’实在是远远不符合原文发音，原文发音接近‘得(斯)卡特’。当年将其翻译成‘笛卡尔’的人士应该是知道法语的很多辅音字母在词尾不发音，但是走的有点过头，将发音的t也顺便去掉了。

象限(quadrant) (p. 48)的英文如果能给出来源更能帮助用英语来理解记忆，quadrant=a fourth part，而中文的‘象限’应该同‘两仪生四象’有关了。第四象限英文的意思是the fourth fourth part或者the fourth quarter-circle，前一个表达方式只能用英文理解，就是the 4^th 1/4 part，其中fourth用了两个不同含义，后一个表达方式中的quarter就是fourth也就是1/4。

三角形(triangle) (p. 70)的英文也是给出来源更能帮助用英语来理解记忆，triangle=tri+angle=three+corner。

高(altitude) (p. 70)的来源也很有意思，altitude=altus=high，奥运会的口号中就有Altius，中文翻译成‘更高’。‘男高音’就是male alto。

中线(median) (p. 71)的median词源的意思是middle，是triangle的vertex到对面的side的midpoint的连线。Median, middle, mid-，意思上的相关应该更容易帮助用英语来理解。

角平分线(bisector of angle) (p. 71)有误，应该是bisector of an angle，如果是排版错误就证实了本文前面提到的不要用ordered pair而要用an ordered pair的重要性。但是更常用的是angle bisector。

学过了triangle中的 tri-及angle，学过了bisector中的bi-及sector，也学过了intersection中的section，但是同学们大概仍然没有办法用英文创造出Trisection of the Angle，这便是古代数学中的三大名题之一。

三角形的内角(p. 78)同三角形的外角(p. 80)应该给出英文，因为学生用中文是没有办法思维出英文的，内角interior angle，外角exterior angle。

多边形(polygon) (p. 84)的英文很值得深究一下，poly+gon=many+angle，就是说英文不是‘多边’，而是‘多角’。在中文里三个以下的看‘角’，三个以上的却看‘边’了，为什么又不看‘角’了呢？而英文的看到4个边的还是叫quadrilateral=quadri+lateral=four+side，还是four sides，又不看angle了。这些都可以引发一定的文化思考。另外，本页上及下页上的五边形，六边形，八边形等也应该给出英文，因为这些都是英文的专业词汇，pentagon, hexagon, octagon，等等不像中文的造字那样容易，数字加‘边形’就成了，英文则是数字前缀加-gon。对角线(diagonal)的英文词源的意思也很有助于用英语来理解，diagonal=dia+gonal=across+angle。中文的‘n边形’用英文怎么说，真的是n-gon，所以应该讲解-gon的含义。‘凸多边形’ (p. 85)怎么说？是convex polygon，有没有‘凹多边形’，也有，是concave polygon。另外几个多边形(‘多角形’)的英文也最好给出来，比如：heptagon (7), nonagon (9), decagon (10), undecagon (11), dodecagon (12)。

正多边形(regular polygon) (p. 86)有了，不正怎么办，是irregular polygon。既是regular又是convex的polygon怎么办，是convex regular polygon，中文则不能叫‘凸正多边形’，一般叫‘正凸多边形’。还要重复一遍，用中文是思维不出来英文的，读中文也读不出来英文，必须认真从英文学习得来。

二元一次方程(linear equation of two unknowns) (p. 100)及二元一次方程组(system of linear equations of two unknowns) (p. 101)中用了of two unknowns，至少我们在数学教学实践中没有见过，比较常见的是in two unknowns，而更为常见的是in two variables。

代入消元法或者代入法(substitution method) (p. 105)就是subsitution，有时候也叫a method of substitution，后者的词源含义是sub+stitution=under+set up=place under。后面还有一个加减消元法或加减法(addition-substraction method) (p. 108)。我们在教学实践中主要有三种方法，一种是使用graphing calculator来完成的，所以叫graphing，另外两种就是subsitution及elimination了，而后者对于学了matrix的学生来说，还可能叫做Gauss-Jordan elimination method (Berlinghoff, Gulati, & Grant, 1980, p. 95)。在早期的课本中，还用the addition-subtraction method以及the substitution method (Kline, et al., 1975, p. 434)。

一元一次不等式(linear inequality of one unknown) (p. 128)，前文谈方程时说过，of one unknown或of two unknowns我们几乎没在英文的数学课本中见过，较常用的是in one unknown或者in two unknowns，更常见的是in one variable或者in two variables。所以‘一元一次不等式’应该用linear inequality in one variable (Knill, et al., 1999, p. 60)，而一元一次不等式组(linear inequalities of one unknown) (p. 143)也应该是linear inequalities in one variable。一次不等式也曾有用inequalities of the first degree (Kline, et al., 1975, p. 436)来表示，但是比较陈旧了。

算数平方根(arithmetic square root) (p. 160)作为positive root，更常见的是principal square root，而arithmetic square root很少见了。

开平方(extraction of square root) (p. 165)随着计算器的使用作为英文短语已经很少出现了，况且也应该注意有个字母a的情况，extraction of a square root。开立方(extraction of cube root) (p. 169)也是同样的情况，也应该注意有个字母a的情况，extraction of a cube root，还有用cubic的。我们的教学实践中常见的是estimate及approximation，甚至用evaluate，这些同计算器的广泛使用有关。另外两个字在学校数学中几乎绝迹了，即乘方involution及开方evolution。

根指数(radical exponent) (p. 170)一般只用exponent就可以了，还可以用index。另外，根号(radical或radical sign)好像没有给出。

既然给出了无理数(irrational number) (p. 174)就应该给出有理数(rational number)。实数是real number，可是虚数可不是unreal number！必须单独学习，imaginary number。

相反数(p. 176)也应给出，opposite number。绝对值(p. 176)，absolute value。

以上仅仅是从一册数学书中看到的某些英文术语的使用及对“熟练掌握英语”可能产生的比较负面的影响。下面我们来看看另一册数学书，高中的课本。

翻开高中《数学》第一册，第一个提到的外文名字是Cantor (人民教育出版社课程教材研究所 & 中学数学教材实验研究组, 2006, p. 3)，给出了中文翻译‘康托尔’，及名字缩写，G. F. L. P.，同生卒年，1845-1918。在实际英文的使用中，一般不常用G. F. L. P. Cantor，而是用Georg Cantor，其形容词形式是Cantorian，比如Cantorian neologism，或Cantorian Set Theory。学习英文，特别是这种比较专门的英文词汇，目的之一应该是进行国际间的交流，比如同国际上的其他数学家口头讨论这位已故数学家，可以用Georg Cantor，也可以用 Cantor，但是一般不用四个首字母加上姓，即G. F. L. P. Cantor，就是在书面文字中也很少看到。另外，这位数学家的名字一则要按照德语发音，因此其名字不是‘乔治’，而应该读如‘哥’的音，有些像‘哥奥尔格’。如果按照英文来发音，则其姓则是‘坎特’，而不是‘康托尔’。

练习中给出了mathematics及其中文翻译(人民教育出版社课程教材研究所 & 中学数学教材实验研究组, 2006, p. 8)。如果是为了‘熟练掌握英语’，必须考虑到对于绝大多数母语为汉语的学生来说，每一个英文词的不同变形都可能是生词，因此不能简单将英文的单词看作一个独立的类似单个汉字的单位，而必须联想到一个英文词的不同变形，至少应该提醒学生注意整个一组词，至少包括math, mathematical, mathematically, mathematician, mathematics, maths等。如果学生还有准备将来读专业杂志的志向，还可能遇到mathematise, mathematize, mathematised, mathematized, mathematisation, mathematization, mathematising, mathematizing。这些都是同一个词根的不同变形，初学时期尽管不必完全了解，但是要考虑到将英语用一种类似学习汉字的方式来学习的话，是很难学好英文的，亦即做到“熟练掌握英语”的。如果探讨的稍微深一点，还可以学到这个词来源于希腊语máthéma，意思是science, knowledge，这样就了解了这个字的本义，而不是简简单单的仅仅同‘数学’有关的某些含义，即不能完全同中文的一个或几个概念对等起来看的这种不够全面的思考方法。知道了这个字的本义，才有可能认识到该字在英文中还同时有中文的‘科学化’同‘知识化’的含意，这是不得已而为之，最好直接用英文science及knowledge来理解。

该书中使用了大量的单位缩写及符号，比如，min, km, h, mile, m, s, /, 这些单位及符号的使用对于不经常熟练使用（即四会）英语的学生来说会有不少问题，因为在很多情况下，每个符号都可能有不止一种的英语发音及拼写，比如，min/minute/minutes, km/kilometre/kilometres (这个字甚至有两种不同重音), hour/hours, mile/miles, metre/metres, second/seconds, /这个符号一般要读per，而且，一般用mph表示miles per hour，很少用mile/h。就是说在发音上，有按照单个字母的发音，有缩写的发音，有单数的发音，有多数的发音，这些都是‘熟练掌握英语’所必须注意的地方。学习英语，应该尽量使用英美所常用的同时在有关专业文献中被广泛接受的方式，并且，由于汉语中几乎没有单数多数的区别，在英语中一定要注意单数多数的使用，发音同拼写等等。

在介绍函数概念的《阅读与欣赏》中，法国人R. Descartes应该是René Descartes，一般在英语中说René Descartes或者只用姓Descartes，没有多少人用R. Descartes，并且要按照法语发音，只有最后一个s不发音。英国人I. Newton也应该改称Isaac Newton或者Newton，尊敬一点应该改称Sir Isaac Newton，因为他有爵士头衔，像英国二战时期的首相一样，尊敬的称呼是Sir Winston Churchill，或者20世界最伟大的哲学家之一，Sir Bertrand Russell等，最好加上Sir。其他几位一般口语讨论中只用姓，即Leibniz, 按照德语发音，即ei发‘爱’音，而b不发b，却发p音 。Euler最好也按德语发音，eu读如oy，其次才是英文发音，eu读如you。Dirichlet，这位是德国数学家，却是法语的姓，其中ch发k的音，而结尾的t不发音。在介绍这几位时，也不能漏掉名字的首字母，比如在131页，Euler的首字母L就被漏掉了，常见的是Leonhard Euler，并且要注意这个名字至少有三种不同发音，用在Euler前面时读如‘雷奥纳德’，如果是德国人，则要读成‘雷昂哈特’了。

既然在此我们考虑到了学生会有机会同不懂汉语的人士交流，那么有些现成的人名字的汉语音译就要重新考虑了，问题存在于某些汉语翻译的中文字并不能对外文人名字的发音有所帮助，对拼写更是没有任何帮助。大多数母语为汉语的外语学员对于掌握某些字母语言文字的发音同拼写不得不获得更细的帮助。比如Cantor，如果按照德语发音，翻译成‘康托尔’勉强是可以的，如果按照英语发音，则有问题了，英语的读音则变成了‘坎特’而没有‘康托尔’的音。著名的Newton也不像‘牛顿’而更应该像‘牛屯’。德国人Leibniz也应该是‘莱普尼茨’，而不应该是‘莱布尼茨’。Euler的发音有点像‘奥伊乐’，就是按照英语的发音也有点像‘幽乐’，欢乐的乐，汉语翻译的‘欧拉’非常不像原文的发音，对于学习原文的发音是没有任何帮助的。如果英语学生想要说出英文来，同时又决心让不懂汉语的人士听得懂的话，就不得不使用懂英文的人士听得懂的发音。比如著名的IELTS考试，一定要发成‘爱L茨’才有可能让不懂汉语但懂英文的人士听得懂，发成‘雅思’是没有多少不懂汉语的人士听得懂的，把很多人的发音‘哑死’到很有可能。还有一个著名的TOEFL考试，要说成‘偷FL’才有可能让不懂汉语的人士听得懂，发成‘托福’如果使用在不正确的英语语境中容易让不懂汉语的人士听成英语的作菜吃的‘豆腐’的。

书末附录的《部分中英文词汇对照表》中所包含的词汇也远远不足，而且也有些问题，仅仅就高中第一册初步看来，the empty set应该叫empty set，也可以叫null set，但是一般不用加the，用在句子中才有可能加，在词汇对照表中不必加。‘全集’除了universe外还可以叫做universal set，而后者在我们使用过的英文原版数学教材中更常见些。所谓n次方根中的n也应该用斜体，用nth root，最好不要用nth root。另外，就是尽管给出了大约60个术语词汇，对于绝大多数学生来说，还是没有把握保证能够做到读、听、说、写四会地“熟练掌握英语”。在2006年，有位East Tennessee State University的硕士毕业生(Owens, 2006)写了一篇硕士论文，题目是The Language of Mathematics: Mathematical Terminology Simplified for Classroom Use，对照美国Virginia州的数学标准提出的术语，对幼儿园至8年级的实际使用的术语进行了比较，总结了所使用的数学术语及其定义，在互联网上可以找到用来作参考，特别对于想要达到“熟练掌握英语”的四会的学生来说，在没有《部分中英文词汇对照表》中的英文术语具体使用的实例的情况下，该硕士论文更是难得的有益。比如其中对empty set的解释The empty set, Ø, is the set that has no members.即给出了empty set的英文定义，又给出了代表符号，还同时学会了另一个重要的术语，member，也叫element。同set有关的其他术语还包括intersection of sets，这里面又出现了intersection，还有union of sets等等，这样至少在其中可以学会某些段落、句子、乃至短语在数学英文中的实际用法。

根据有些人士的研究，美国的高中生在其毕业时，平均通读过32000页的英文材料(Chall, Conard, & Harris-Sharples, 1991)，如果按13个学年每学年180个学习日计算，每天平均要读14页英文，不但要用英文理解，而且绝不会翻译成中文。美国的儿童自2岁到17岁，每天学习15个new words (Hirsch, 2006, p. 59)，高中毕业，总的词汇量接近10万，包括主动及被动词汇，其比例一般是1:2。另外还要在13年间平均通过或经历过36场标准考试(Cookson & Halberstam, 1998)，而且都是英文的。中国学生要想达到这样的水平也不是不可能的。使用这种‘文中英文’(English-within-Chinese, EwC)便是在中文的大环境中学习英文术语的最好的方法。但是目前这种经过EwC处理的中文印刷的课本还不是很普及，而且总的英文术语量还远远不够。笔者手边的一本新出版的七年级的数学课本(Small, et al., 2009, pp. 494-500)在书后的glossary中列出了75个mathematical words，而且是英-法对照单用英文解释的。另一本七年级的数学课本(Garneau, et al., 2007, pp. 376-381) 在书后的illustrated glossary中列出了188个词条，部分附有插图。我们希望看到的是初、高中所有的课本都能够经过EwC处理，但是尽管如此，总的词汇量仍然是很少的。如果能够真正掌握EwC处理中文课本中所有的英文术语还有希望接近英语为本族语学生的英文术语水平，但是如何使用这些英文术语则要另下一番功夫。

估计一下，在中国学生高中毕业时的总的英文术语量接近4万，如果学生能记住的话。同时，如果中国的初、高中学生也能够每天读14页甚至最好是28页英文的话，而且是不翻译成中文地阅读，牢牢记住英文地阅读，对于拼音文字不需要书写地阅读，涵盖初、高中所有科目地阅读，那么将来不论是去剑桥Cambridge, 牛津Oxford, 哈佛Harvard, 还是耶鲁Yale，至少在英文专业术语的使用上达到“熟练掌握英语”应该没有任何问题了。不过，去这四所院校，将这些英文专业术语再翻译成中文是没有什么帮助的，一般也是没有什么用处的。

最后，在目前计算机及网络如此发达的现在，充分利用网上英文资源可以很好地学习有关的英文术语及其使用，笔者将逐步从英文学习的角度介绍某些网上英文资源以及如何选择、使用这些资源。

在初、高中的所有课本中如果都像人民教育出版社这样加入英文术语，而中国的高中毕业生能够牢牢记住英文的话，则其英文术语水平，仅仅是术语水平，可以同英国美国的高中毕业生相比美。这是通过中文学习英文术语的最好方法。目前的问题是，一则术语的量太小，同英文原文同等级别的课本比起来要少得多；二则是没有给中国学生提供英文的语境，使得中国学生仅仅知道术语却不一定会用；三则是在这种新的尝试中还有很多错误同不足，如本文指出的一部分。如果能够辅佐以一定量的课外读物，不是小说故事类，而是直接从英文原文课本上选出来的读物，或者借用网上的英文资源，一定会对中国的广大学生帮助不小。就是单单术语一项，估计至少有4万条目，笔者正在进行加拿大及美国中、小学课本语料库的建设，建成后可以对具体的术语数目有更准确的数据。真正掌握了专业术语对于中国培养走向世界的人才能够提供更为良好的开端。

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