在弱依赖的情况下，多层网络的雪崩过程本质上可以分解为两个微观动力学过程：深度渗透（层间级联）和广度扩展（层内级联）。在深度渗透的过程中，失效在跨层传播过程中能够逐步放大。在这些跨层耦合的节点中，一个节点的失效会引起另外一个或两个甚至更多节点的失效，失效的节点越多，对剩余节点产生的破坏力就越大。在范围扩展的过程中，故障会随着各网络层连接的移除而在各层网络的内部传播。在两个过程的协同作用下，整个多层网络会逐渐走向崩溃。我们发现系统渗流相变的类型会随着网络耦合强度的下降从一阶不连续相变转变为二阶连续相变，这意味着层间的级联过程控制着层内的级联过程，并且对整个系统的鲁棒性有着较强的控制力。我们的工作不仅揭示了多层基础设施系统中全局崩溃的微观机制，而且为级联故障的干预方案和方法的设计提供了有启发性的想法。

图1：弱依赖多层网络级联失效示意图。不同网络层中数字编号相同的节点表示相互依赖的节点。节点1表示初始失效的节点。这些节点的删除，引起D层2号节点（标记为D2）的孤立而失效。D2的失效能够对ABC层中的2号节点产生破坏作用，从而引起A2节的失效；A2的失效又对B2和C2产生了破坏，从而引起了B2的失效。在此失效深度穿透的过程中，引起了失效在各层网络内部的扩展。

      我们的研究说明在弱依赖的情况下，多层网络的级联失效过程比强依赖的情况更加复杂。而考虑强依赖的多层网络模型会低估多层网络级联失效的复杂性，也忽视了跨层级联的这一现象。该模型的精确解析解详见论文：https://www.hindawi.com/journals/complexity/2020/3578736/