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试论小于给定数值的素数个数
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试论小于给定数值的素数个数
褚道葆1,2*
1安徽师范大学应用化学研究所，安徽 芜湖 241000；
2芜湖华欣诺电化学科技有限公司，安徽 芜湖 241000
我是一位化学教授，却对素数产生了浓厚的兴趣，就像仰望夜空中的繁星，对它的美丽和神秘充满着无限遐想。
2020年10月1日为中华人民共和国71周年国庆，我是共和国同龄人，仅以此文献给我的母亲 — 伟大的祖国。
素数分布规律一直是人类探索素数奥秘的伟大目标。德国数学家欧拉曾预言：再过一百万年，人类也无法看出素数分布的奥秘。可见素数分布规律是何等神秘。
1792年德国数学家高斯发现[1]，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数，即以π(x)表示不超过x的素数个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或π(x)～x/ln(x)。一百多年后的1896年，法国数学家阿达马证明了高斯的猜想[2]，猜想升为素数定理。素数定理是一个极限定理，素数分布能否有一个准确的公式？
1859年，德国数学家黎曼向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文[3]。黎曼在论文中给出π(x)的精确表达式，但其成立的前提是“黎曼函数的所有非平凡零点，均在直线x=1/2”，如果黎曼猜想不成立，则所给出的素数计数函数π(x)的精确表达式也将不成立。
任何事物都有其内在运行规律，正如中国古代思想家老子所言：天法道，道法自然；道生一，一生二，二生三，三生万物[4]。素数分布必有其尚未被人类完全看清的内在规律性和自然之美。
本文从素数分布的内在性质出发，通过大量数值计算分析和验证，对素数分布规律有了更加清晰的认识,给出的素数个数C(x)的一般表达式，只需用科学计算器就能够简便快速的计算得到准确结果，其结果好于x/ln(x)和对数积分Li(x)，且当x足够大时，C(x)无限趋近于π(x)。
______________________________
*作者简介：二级教授，电化学科学家，享受国务院特殊津贴，中国化学会永久会员，安徽合肥庐江人，1949年11月生；1976年毕业于厦门大学化学系，1998年厦门大学访问教授；曾任安徽师范大学关键岗位教授，应用化学研究所所长、应用化学硕士点负责人，应用化学、材料化学及有机化学研究生导师，有机化学博士点应用有机化学方向学术带头人,芜湖华欣诺电化学科技有限公司创始人。长期从事电化学科学和技术的研究开发，在国内外重要学术刊物发表学术论文120多篇，主持完成国家自然科学基金及省部级重大重点项目20多项，培养硕士博士30多人，获科技进步奖，自然科学奖多项，授权发明专利11项。
E-mail： dbchu@sina.com.
研究从分析素数表开始，就像高斯当年发现素数定理的方法一样[5]。从素数表中得到π(x)的数值，比较π(x)和x/ln(x)、Li(x)的数值差可以看出，当x不够大时，x/ln(x)、Li(x)相对于 π(x)的偏差率较大；比如x为104时，Li(x)的偏差率大于1%，而x/ln(x)的偏差率则大于11%。显然，这个结果不能令人满意。毫无疑问，找到一个更加完美准确的素数个数表达式是一项意义重大的工作。
在无数次验错之后发现：素数分布密度与1/lgx2紧密相关。
设C(x)为不大于x的素数个数， C(x)与1/lgx2有如下关系：
(1)
当x=a.10n时， 有 lgx=n+lga, 0≤lga＜1
则，(1)式可表为：
（2）
当a=1，即x=10n时， 有：
(3)
式中B、D为调正因子：
(4)
(5)
式(2)、（3）、（4）、（5）中的n为≥1的自然数;
式（4）中的m为自然对数和常用对数的转换模（系数），m = 2.302585092940。
C(x)表达式中的B、D对于C(x)相对于π(x)的准确率起着重要作用，B的调正影响最大， D只发挥微调作用，当n=25时，D的微调作用已经较弱，当n≥100时，D的微调作用几乎可以忽略不计。这里有一个例外，即当n＜4时，完全不需要B、D的调正。
比较素数表中给出的素数分布密度可以看出，当n＜4时, 素数分布密度很高，均在10%以上，但下降幅度很大；当n＞4后，素数分布密度已降低到10%以下，同时下降幅度变缓。高斯也许注意到这一点，但他并没有区别对待。
当分别对待不同情况时，一切变得简单明了。
比较研究发现，当n＜4时，C(x)服从下面关系式：
（6）
或
（7）
当a=1,x=10n时, （7）式为：
（8）
按照公式（8）和公式（3）计算得到的C(x)的数值列于表1中。
并与已知的π(x)、 x/ln(x)和Li(x)进行比较。
表1 C(x)的数值并与π(x)、 x/ln(x)和Li(x)比较[6，7]
|
x |
π(x) |
π(x) - x/ln(x) |
Li(x) - π(x) |
|
|
101 |
4 |
0.3 |
2.2 |
5 |
|
102 |
25 |
3 |
5 |
25 |
|
103 |
168 |
23 |
10 |
167 |
|
104 |
1229 |
143 |
17 |
1231 |
|
105 |
9592 |
906 |
38 |
9581 |
|
106 |
78498 |
6116 |
130 |
78499 |
|
107 |
664579 |
44159 |
339 |
664556 |
|
108 |
5761455 |
332774 |
754 |
5760754 |
|
109 |
50847534 |
2592592 |
1701 |
50842587 |
|
1010 |
455052511 |
20758029 |
3104 |
455013687 |
|
1011 |
4118054813 |
169923159 |
11588 |
4117906831 |
|
1012 |
37607912018 |
1416705193 |
38263 |
37608023297 |
|
1013 |
346065536839 |
11992858452 |
108971 |
346076128841 |
|
1014 |
3204941750802 |
102838308636 |
314890 |
3205088065591 |
|
1015 |
29844570422669 |
891604962452 |
1052619 |
29846064509069 |
|
1016 |
279238341033925 |
7804289844392 |
3214632 |
279252205793179 |
|
1017 |
2623557157654233 |
68883734693929 |
7956589 |
2623687344221134 |
|
1018 |
24739954287740860 |
612483070893537 |
21949555 |
24741037550891675 |
|
1019 |
234057667276344607 |
5481624169369961 |
99877775 |
234066732646344279 |
|
1020 |
2220819602560918840 |
49347193044659702 |
222744643 |
2220892518377050805 |
|
1021 |
21127269486018731928 |
446579871578168707 |
597394254 |
21127789985607963495 |
|
1022 |
201467286689315906290 |
4060704001386144549 |
1932355207 |
201471094046479828011 |
比较表1中的数据可明显看出，C(x)更接近 π(x)，其准确率好于x/ln(x)和Li(x)。以x=107为例，C(x)的值与 π(x)仅相差23，偏差率为十万分之三，而x/ln(x)与π(x) 相差44159，偏差率高达6.7%；Li(x)要好些，但其偏差率也达到万分之五，比C(x)高一个数量级。
图1 为C(x)与 π(x)、Li(x)及x/ln(x)的比较图。从图1 C(x)与 π(x)、Li(x)及x/ln(x)的比较图中可更加直观地看清，C(x)与 π(x)几乎完全重合，而Li(x)及x/ln(x) 则偏离π(x)，其中x/ln(x) 偏离更多。
n/(x=10n)
图1 C(x)与 π(x)、Li(x)及x/ln(x)的比较图
表2 C(x)相对π(x)的偏差率变化趋势
|
n（x=10n） |
C(x)- π(x) |
|
|
12 |
125423 |
3.34E-6 |
|
13 |
10592002 |
3.06E-5 |
|
14 |
146314789 |
4.57E-5 |
|
15 |
1494086400 |
5.01E-5 |
|
16 |
13864759254 |
4.97E-5 |
|
17 |
130186566901 |
4.96E-5 |
|
18 |
1083263150815 |
4.38E-5 |
|
19 |
9065369999672 |
3.87E-5 |
|
20 |
72915816131965 |
3.28E-5 |
|
21 |
520499589231567 |
2.47E-5 |
|
22 |
3817357163921721 |
1.89E-5 |
|
25 |
24347158722789887 |
1.38E-7 |
注：n为23、24的π(x)数值尚未见报告
表2给出当x增大时，C(x)相对π(x)的偏差率变化趋势。从表2中的偏差率数据可以看出，C(x)相对π(x)的偏差率均为10-5数量级，且随着x的增大而变化。当n=12时，偏差率达到10-6数量级，随后有个小的上升，从n=16开始连续下降，到n=25时，偏差率已经下降到千万分之一。可以预见，随着C(x)相对π(x)的偏差率的不断变小，C(x)越来越接近π(x)，当x→∞时，C(x)→π(x),即C(x)/π(x) →1 。
表3给出从n=26到n=104更多C(x)的计算数值，并与x/ln(x)对比。这些数据也可供素数研究者参考。
表3 n=26-10000，部分C(x)的计算值并与x/ln(x)对比
|
n |
C(x) |
x/ln(x) |
|
26 |
1699239616168923822434974 |
1670363391974790291654442 |
|
27 |
16352310627276681300417884 |
16084980811609091697413149 |
|
28 |
157587220566208528460535191 |
155105172111944812796483933 |
|
29 |
1520669533585916633595236257 |
1497567179011880951138465556 |
|
30 |
14693077759550264005074644537 |
14476482730448182527671833705 |
|
31 |
142111307170243710428786606353 |
140094994165627572848437100371 |
|
40 |
1.0977340827691243014E38 |
1.0857362047836136896E38 |
|
45 |
9.7454138481723008235E42 |
9.6509884869654550185E42 |
|
50 |
8.7621228358525924121E47 |
8.6858896382689095166E47 |
|
55 |
7.9590826908085731145E52 |
7.8962633075171904696E52 |
|
60 |
7.2908751781242488607E57 |
7.2382413652240912638E57 |
|
100 |
4.3616687164364995595E97 |
4.3424434783563980353E97 |
|
101 |
4.3182958150196852085E98 |
4.2999453654796581765E98 |
|
200 |
2.1760954864638202256E197 |
2.1714724095672273792E197 |
|
300 |
1.4496783991545813252E297 |
1.4476482730448182527E297 |
|
500 |
8.6932038192467643413E496 |
8.6858896382689095166E496 |
|
1000 |
4.3447631563117682091E996 |
4.3429448191344547583E996 |
|
2000 |
2.1719251061572954498E1996 |
2.1714724095672273791E1996 |
|
10000 |
4.3431323940992685108E9995 |
4.3429448191344547583E9995 |
表3中的数值表明，C(x)和x/ln(x)的数量级相同，当n=1011时,C(x)和x/ln(x)数值的前11位已经完全相同, 计算结果表明，当n=10100时,C(x)和x/ln(x)数值的前100位已经完全相同,随着x的增大，两者越来越接近，但C(x)总大于x/ln(x)。
C(x)的数值已经计算到n=10100,但目前已知的π(x)数值太少，无法进行超大C(x)数和π(x)的比较验证，只有期待有更多超大π(x)数出现后再深入探讨。
素数的天空无比灿烂辉煌，一个更加清澈明朗的素数蓝天正在到来。
References
[1] P. 里本伯姆 著，孙淑玲 冯克勤 译。博大精深的素数[M]，科学出版社，北京，2017：162-179.
[2] Huxley, M.N. The Distribution of Prime Numbers. Oxford Univ. Press, Oxford 1972.
[3]黎曼，论小于给定数值的素数个数(中文) .《黎曼全集》第一卷：127-135. https://blog.csdn.net/zp235711/article/details/89207786.
[4]老子，《道德经》. 北京联合出版公司，北京，2019: 第25章p58；第42章p92.
[5] 马库斯﹒杜﹒索托伊著，柏华元 译. 悠扬的素数：二百年素数绝唱黎曼假设. 人民邮电出版社，北京，2019，9.
[6] 华罗庚，素论导引，科学出版社，1957：85-162.
[7] P. 里本伯姆 著，孙淑玲 冯克勤 译. 博大精深的素数，科学出版社，北京，2017：169,181.
https://blog.sciencenet.cn/blog-58953-1252131.html
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