下两图从两个不同视角表示一条没有扭结的空间闭曲线。

如果问这条曲线上的动点沿一个方向走几圈会回到原初发点。有人会认为是三圈，有人会认为是一圈。研究拓扑学的会说三圈的答案是错的，因为那个曲线实际上等价（同伦）于一个普通的圆圈，旋转数应该是1。

但从感觉上那个动点似乎是围绕某个轴转了三圈才回到出发点，认为旋转数是3似乎也有道理。正因有两种意见，在动力系统理论中没有给出空间闭曲线的旋转数严格定义。

在我不久前发布的论文《Non-trivial Local Attractors of a Three-dimensional Dynamical System》中，由于这类闭曲线是由具体微分方程得到的极限闭轨，可以客观地地定义其旋转轴（就像龙卷风的旋转轴一样，该轴不是直线而是曲线），于是自然地定义了该封闭轨线的旋转数（此例的旋转数正是3）。感兴趣的读者可参考该论文给出的关于旋转轴的定义。

当方程的参数变化时，曲线可以连续变形， 但绝不会触碰或穿过旋转轴。所以该旋转数一般会保持稳定，但是会在经过某特殊参数时， 旋转数突然加倍，上例的旋转数变成6 （见下两图）。

参数再变时旋转数6也还会开始稳定，但再经另一临界值之后又会倍增成12，原则上这个倍增过程可无限进下去。该过程就是旋转数的分叉过程，即所谓的cascade。从另一角度可以看出，每次旋转数发生倍增时，动点的旋转周期也会倍增，所以这一分叉也称为倍周期分差。

由于以前有这种过程的三维自治微分方程系统例子鲜见， 所以有关研究往往局限在抽象的理论或二维的周期系统（如有周期扰动的Duffing方程等）。因此也就没有产生闭轨旋转数的概念。在最近一篇论文《Period-doubling cascades of a Silnikov equation》（即将发布）发现所研究的系统，不仅有旋转数由3到6，到12，到24，... ,的分叉cascade, 还会有旋转数由1到2， 到4，到8，到16，...的cascade， 更有从13 到26，到52，...的cascade。这一结果表明上述分叉的cascade明显依赖自然数（素数）3，1，13 ，它们是这类系统极限闭轨特有的拓扑特征。这些数被称为极限闭轨的旋转特征。

新论文还将著名的Feigenbaum常数成功地运用到分叉临界值的估计上。

相信以上简单介绍会引起一些网友的关注与兴趣。