我在11月22日在本网发布的英文稿，经过进一步修改已在 arXiv.org 上发布，有兴趣的读者可通过下面链接下载：.org

arXiv.orghttp://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1311/1311.6202.pdf

       新的英文稿增加了一些内容，特别在后记中，指出所研究的方程属于一类所谓的Silnikov方程。相信对这类方程鲜有研究，目前只能通过Google搜索到一个具体数值结果，而且不在我的论文讨论范围（参考英文稿的后记）。

       英文稿提出了一系列通常三维动力系统没有涉及到的新现象，新概念。这些将陆续予以介绍。本博文先介绍其中一个，“脆弱吸引子”，英文“faint attractor"。

       通常动力系统理论中的吸引子，即使是局部空间上的，都有一个显著的邻域--吸引域，凡是进入这个吸引域的积分曲线（或轨道）都会被吸引到（无限逼近）该吸引子附近，而且越来越近永不离开。

       然而，对于博文所研究的系统（见11月7日博文的系统（4），或英文稿的系统（2）），在参数 $a=1, b=0.311$ 和 $a=1, b=0.312$ 附近，系统存在一个非平凡（指不是点状）的吸引子。该吸引子具有很小的吸引性，吸引域小到几乎无法刻画（但一定有，否则无法通过数值方法将其找到、画出）。在其近邻的积分曲线，一般都会先被吸引到其附近或多或少地”浏览“、“巡视”一番，不少的还能几乎巡遍整个吸引子，就像浸入到该吸引子，但它们们最终还会通过一个区域的两个“伪缝隙” 之一（此概念也是我的论文所提， 以后另文介绍）走向无穷远。由于从未在文献上见到过这种性质的吸引子，因此起名为“脆弱吸引子”。

      下面利用数值计算结果得到的图形说明上述概念。具体的参数是 $a=1, b=0.312$ 。

      图1，图2 分别从两个不同视角显示该脆弱吸引子（紫红色部分）

        图 1.                                                  图 2.

图3显示一条吸引域外的深绿色积分曲线自图的中左部分一点出发趋向吸引子的情况，图4则显示该曲线几乎巡遍吸引子之后最终又从左方走向无穷远的情况（所通过的“伪间隙” 这里没有画出，以后介绍该概念时再显示，着急的读者可先看英文稿）

     图 3.                                                  图4

     图5 和 图6 从两个角度显示绿色积分曲线在巡遍吸引子时几乎完全浸入到吸引子内部的情况。

     图 5.                                                      图 6.

      图 7 显示了另一条蓝色积分曲线先被吸引到脆弱吸引子附近，但巡视一段时间之后又逃离吸引子奔向无穷远的情况。

         图 7.

      相信读者已大概对脆弱吸引子有了基本的感性认识。以后将陆续介绍更多概念，并尽我的能力对相关问题做些理论分析。

       一个有趣的问题是，自然界存在类似性质的脆弱吸引子吗？

       仅“脆弱吸引子”，待研究的问题就很多，例如它的几何结构，里亚普诺夫指数等。由于年龄，我不可能深入到所有问题，一些看法或分析也不一定正确，非常希望有合作者，共同深入探讨这些新现象。