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[转载]从哲学高度看小学数学(2)

已有 2760 次阅读 2012-2-28 13:10 |个人分类:微积分|系统分类:科研笔记|关键词:小学数学,数学哲学| 数学哲学, 小学数学 |文章来源:转载

 从哲学高度看小学数学(2)

(转载)

 

 

代数与算术的区别

 

那么现在,我再提一个问题。我们数学演进,这么一点点演进过来,从小学往上一点点演进,演进来演进去,你们会发现小学时候吧那个教材叫算术,算术主要介绍数,介绍加减乘除法,等介绍的差不多,然后开始上初中。上初中然后给你发一本书,这本书叫代数,那么什么叫代数?我们的数学要想不停留在具体问题上,你就必须解决这样一个问题(黑板上写字),必须解决通式问题!你要想解决通式问题呢,你就不能再停留在一个具体的数上,你比如说,最简单的东西,有这样一个长方形,长5米,宽2米,面积是多少呢?面积就等于5*2=10平米(在黑板上书写“5*2=10平米),那我又有一个长方形,它是8米和2米,那么就是8*2,那么我要解决,任意一个矩形,也叫长方形,它的面积应该是什么呢,我就写成a*ba标明长,b标明宽,就是你不管长宽是多少,都遵循这个关系,这就是个通式。人类要解决一个通式问题,而不是停留在某一个具体关系上了,于是,这个时候就开始出现代数。不是停留在具体什么东西上出现代数,你看代数呢,我们现在看,我们学代数的时候,学的顺序是什么?首先学整式,然后学分式,我们把整式和分式合起来称之曰代数式,是这样吧?在这里边我们常见到的运算,因式分解,在这里我们遇到这样一个东西,比如说,x+y2+x3+y3(在黑板上写“x+y2+x3+y3),假如给你这样一个东西,然后你说在计算当中要对他提取公因式,然后它就变成一个因式关系了,什么叫因式?因,就是乘的意思,就变成一个相乘的关系了,原来是相加减的关系,后来变成相乘的关系了,我们现实当中常进行这种计算。进行这种计算的目的是什么呢?也是要把同类的问题,写一个同类的通式,同类问题都是这么处理。如果现实当中是3+52+33+53,代数,说穿了就是用一种未知的东西来代替任意的东西,然后我从而建立起他们之间的关系,这种关系它适合所有的同类问题。这就是为什么出现代数。我们同学讲,用方程解决问题,方程中也有若干个未知数,这个未知数呢它代表任意数,所以它也具有相通的性质,所以我们把它称之曰通式。这就是我们从小学开始,研究什么是数,然后各种各样的运算,然后到了初中开始有代数式,然后研究代数,这个里边除了加减乘除运算之外又加上乘方开方然后再加上三角函数再加上相应的什么东西,这里有方程,方程于是又出现方程组,然后又出现高次方程,其实说来说去都不过是这种基本的关系来演化,演化出更多更丰富的形式,而更多更丰富的形式无非就是为了解决实际问题。

 

所以你们想想整个从小学到初中学的这些数学,你只要把我说的这些基本关系搞明白了,再学数学就不发闷了。我们现在的教材以及老师讲课的弱点就是这样,他就是弄一个东西就让你算,然后就这么走,谁也不告诉你这是为什么,这是怎么回事,人们为什么要这么弄,啥也不知道。所以,有的孩子愿意思考呢,还把这个问题想了个大概,想明白一部分,还有一部分不明白。问题最糟糕在哪儿呢?我们的同学不进行思路开阔之外,他就不会往这些地方去想。我今天给你们随便这么讲一下,那么同学们想一想,在坐的读博士的硕士的都不少,你们平常有多少人自己想过这些问题,然后并且把这些问题想明白了,你别看这些问题很简单,其实这个世界没有什么太复杂的问题,简单的问题搞不懂的多了,放在一起就难了。我们学数学是这样的,学任何物理化学,包括文学呀,地理呀等等等,你学任何学科都是这些东西,你一定把它是怎么回事,就是它是从现实当中怎么来的,他们之间有怎么样的来龙去脉关系,一定把这些问题想明白,这些问题不想明白就是抽象对抽象,等抽象到一定程度了,你也不知道这是什么东西了,你也不知道是什么东西,还要你继续运算还要理解,就运算不下去了。为什么我们有很多人中途失学?就是积累的东西多到一定程度之后,怎么学也学不会了,烦了,说索性我就不学了,我也搞不懂索性我就不学了。把这些东西搞明白之后,你发现很多东西没那么复杂。原来不会的东西,你琢磨琢磨就能会。所以学习一定要变成以一当十,我们有很多人学哲学,学哲学,你不能把这些问题的本质搞清楚,哲学你就学不下去。其实有人说,某人是哲学脑袋,某人不是哲学脑袋,其实我觉得没什么哲学脑袋不哲学脑袋之分。只要说你小的时候再偶然的社会条件当中,你思考为什么思考多了,等到一定程度你跟同龄人相比较你对哲学问题理解快,否则就理解慢一些,甚至不理解,甚至理解歪了,这就是却别,什么哲学脑袋不哲学脑袋的。

 

公式与使用公式的本质是什么?

 

出一道一元二次方程的题目,要学生把求解步骤写清楚。学生求解后继续讲课。

 

我们解一元二次方程,通常说十字分解法啊,因式分解法啊,那么还有个公式法。那么既然提到公式法,我们同学就思考个问题,究竟什么叫公式?公式的本质是什么?为什么我们遇到问题一用公式,问题就能得到解决

 

 

在这个里边我们再回过头来讲方程的解法。一元二次方程的解法:因式分解法、十字相乘法还有个公式法。那么现在假定,我现在就有这样一个方程,一个通式,(黑板上写"ax2+bx+c=0"),我跟你们现在教材统一起来。ax2+bx+c=0这就是一元二次方程的通式。你只要是一元二次方程,我最后一定能给你化成这样一个标准形式。给我们这样一个方程,这样一个一元二次方程,我们现在要解它,(在黑板上推导出求根公式)

   你只要给我一个一元二次方程,它的解一定是这个。拿出一个一元二次方程方程,把系数套到这里边,带到里边,就能把这个结果拿出来,这叫公式法。那么说到这里,就引出个我们所讲的公式的问题,公式,你们解释的那些东西都对。公式啊,就是公共的式子。就是同类问题都遵循这个式子这个关系的式子,这就是它的本质。你说你任意拿过来一个题,式子一带公式一带就对吗?使用公式的本质又是什么呢?使用公式的本质就是把前面的推导公式过程当中的所有的式子再重新使用一遍,或是节省了以前推导的过程而已。明白吗?就是说使用公式的过程实际就是把前面的式子重新推导一遍。你看,假如这个题我这么算也行。给我一个题,这个题是3x2-x-4=0,你给我这么个方程,我把这个方程撂在这里我没有做它,然后我就开始想:说这么个方程,于是我这个方程进行一系列配方跟前面的推导过程一样,于是呢,我就能得出这么一个东西(黑板上用公式法对3x2-x-4=0进行逐步的推导求解)。你只要愿意再推导一遍,只要不嫌麻烦,你再推导一遍没人管。再推导一遍有点傻,把公式套进去用了不就完了吗?这就告诉我们,你使用公式的过程,是推导的过程省略了,因为对所有的同类问题都遵循这个关系。公式公式,公共的式子,我只要用它直接代入进去用结果。用公式的过程实际是你在大脑里完成推导过程,在纸面上不做表达的过程,明白这个意思吧?

 

 

 

一旦你懂得用公式的哲学本质是什么,就是你在大脑里完成了这个问题的推导过程,直面上省略了过程,写结论就是了。那么,如果你这个题,它不适合这个公式,就是说你这个题呢就根本不可能产生这个推导过程,因此你说我省略了推导过程直接用结论,它肯定是不对的。所以你们通过这个事你们再想一想,为什么现在的教学有那么多同学初中读完之后高中就不读了?其实说不是我们的学生之过吧,可能也对,可能我们的学生懒得思考啊,这个话都对,但是如果真正遇到一个懂教育懂教学的老师把这些问题给你解释透了,那死带公式的现象呢就基本上会被克服了。不干那死带公式的傻事呢,可能物理学这一关也就过去了。

 

所以就记住,所有问题都是这样,你比如说我们同学学物理。

 

题目:现在有这么一个问题,说某开着车,过石拱桥,说这个石拱桥的半径是5米(开始在黑板上边画图边讲解)。然后开着这个吉普就上来了,上来之后呢,以每秒10米的速度,上来到跟我们水平呈60°角的时候,这个车的自重是2吨,2000千克,以每秒5米的速度通过这个半径是5米的拱桥,问这个时候,这个北京吉普对这个桥面的正压力?

 

我们遇到这个问题我就不仔细解了,这个问题挺简单的,首先进行一个受力分析,我们把这个车就看成是一个小木块吧,这个小木块呢地球对它有个引力,质量是m的话呢,引力就是mg,我这个桥面给它一个正的支撑力,叫做N,那么在这里面呢,水平方向还有一个摩擦力,摩擦力是使它向前的,向前推它,它在运行的过程当中呢还产生一个反向的惯性力,反向的惯性力就是往外摔,我们把这些力都分析完了之后,我们就列方程就完了,这个反向的惯性力等于什么呢?等于mv2r。在这里边,你建立一个坐标轴,把这两个方向的受力列个方程,出来了。

 

解这个的核心过程是什么呢?还是利用这个公式。你利用这个公式的过程,实际上就是老师在讲公式时推导的过程。因为你们学的是匀速的圆周运动,你没有学变速圆周运动,变速圆周运动在大学的理论力学部分才学这些东西。假如说这是圆点,假如说我这里有个小球在这里做圆周运动,它在这里转,它在这里的速度假如说我叫V1,那么它经过Δt这么多的时间,它现在运动到这里,它的速度是V2,而V2V1是什么关系呢?它的大小相等,方向不同,它是方向不断改变的,方向不断改变也能产生加速度,然后利用相似关系最后导出这样一个公式来。就是你运用这个公式的过程就好像我把这个导来导去又导了一遍一样。每个题都要导一遍,因此咱也就不导了,不在纸上写了,你在你大脑里导了一遍,我就知道它已经把这个公式推导了一下。公式的本质就这个意思,没有什么更神秘的东西。

 

既然人类在解决这些问题的时候,应用公式已经约定俗成了,于是我们教学当中呢老师习惯于教同学带公式。于是就产生了一个新的假定来解释,叫归一化思想,什么意思呢,就是你我不管你给我什么样的东西,我总把你化成跟我的公式的前提一样,然后呢我再进行计算,化成一样就是归结成同一个模式,这叫归一化思想。就是你不管给我什么样的,我最后只有用这个形式,才能用公式法。

 

所以我们说来说去啊,不管是小学数学还是中学数学还是更高层的数学,思想都是这些最基本的东西。你把这些最基本的东西弄明白了,你的数学就能学好,相应的学科也能学好。这些东西弄不明白你就越学越糊涂,深入迷雾一样。别看有些同学解题很快,其实是把解题作为一种游戏作为一种技巧来进行,根本不知道这个演绎过程跟现实当中有什么关系。这就好像玩游戏玩熟了一样,他不知道关系是什么。所以,你看同学们现在高分低能不就这样吗?给你个一元二次方程要你算题你甚至算的比我还快,可是问到为什么在这个地方可以用到求根公式,求根公式意味着什么,答不出来,就说明你根本就不懂。我们做教育,就是既要让同学们学习课程内容,又要抓紧一切机会让同学们明白道理。如果这些道理明白不过来,你要说越学越蠢呢,这话可能夸张一些。总而言之,学了也不聪明,这倒是真的。

 

 

为什么有知识的我们没有古人的智慧?

 

我们都知道在中国的今天也好,世界的今天也好,我们如果想找出来若干个人,让这些人不管是在科学知识上,比如说数学、物理、化学、生物学、医学等等等等这些学科上,甚至也包括一些社会科学上,比如说伦理学、宗教学、法学等等这些学科,包括一些人文科学,比如说文学呀一些学科吧,管理学等等。你找这些方面的单科知识或者是综合知识,超过春秋时期的老子,就是李耳,老聃,超过他的人呢到处都是,可为什么这些人就写不出来像《道德经》这样的哲学著作呢?为什么我们称老子是大师,把那些人不当个东西呢?我们所说的这些知识丰富的人,甚至思想也比较丰富,这些人有这么多的能耐,为什么不能向人类贡献一部类似《道德经》的东西呢?你们谁解答一下看看。如果哪些同学认为我这个问题提的就不对,你也可以帮我更改这个问题。

    好几个学生尝试回答了这个问题。

那么我现在把问题重新说一遍:老子既然能在两千五百年前把《道德经》写出来,那么说明什么呢?说明在两千五百年前,那个时候人们所掌握的知识,就已经够写《道德经》的了,是吧?从知识的角度看,你够写《道德经》的了。而那个时代有那样的知识就能够把道德经这样水平的东西写出来,那么同样道理,我们今天所掌握的知识比老子那个时代要丰富很多很多倍,那么我们不仅仅应该出现类似老子这个水平的东西,还应该出现比老子水平更高的东西。而事实上我们知识丰富的这些人老子那个水平的东西也搞不出来,我问这是为什么?

 

你们说的还是有道理的。到现在为止,说的有道理的比较多了,回答非常简单:今天这些人学的东西太浮!他学的东西没有贯通,因此就没有产生思想。思想,这是问题的根本。其实跟我们今天讲的东西一样,你以为我们今天讲的东西我们问那些院士们,他们就能回答的上来吗?照样回答不上来。他们能够回答上来,就能写出老子这个水平或者比老子水平还高的东西。是因为他们回答不上来。知识需要贯通,需要真懂。现在我们大量的人学东西是假懂。而在我们这个时代可怕当中还有个更可怕的东西,就是熟知非真知的东西害我们害的很厉害。什么东西吧,给你一提,都觉得很懂。事实上,真问你,你并不懂。真正的大家,就是把那些熟知非真知的东西给你解释的很深刻,那就叫真正的大家。

 

物理学到底是一个什么性质的学科?

 

你们记住,当你们学什么东西就像我们今天谈数学一样,其实我们几天谈的并不是很深刻,还要讨论呐占用了不少时间。当你学什么东西,你能学到像我们几天谈的这个程度,那就很不错了。如果你能比这个程度再深,那就更好了。达不到这个程度,那就是你有知识,最后什么用都没有。你比如说咱们再坐的,有不少都学过物理学,有的还要继续学物理学,学下去的。物理学到底是一个什么性质的学科?我们拿这个问题可以问清华北大的院士,不见得谈得深。

 

当今我们就不要谈什么实验物理了,即使是谈理论物理,究其本质而言,仍然是一门实验科学。你说吹了半天,就说了这么一句话呀。我说我告诉你,你要学理论物理,你要能悟出这个道理,就说明你真懂物理了。你开始有物理学思想了。否则就是那么回事。不懂物理吧,你还能做俩实验,还能算几道题,还能写几篇论文。说你懂物理吧,你又不真懂。像那个水平,你永远也写不出老子这个档次的东西来。我要通过这个东西告诉你们一个道理,学什么东西一定要做到融会贯通。否则没什么用,死记硬背肯定比不背不记要好,但是究其根本上来说还是害自己的东西。

 

 

 



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1 刘莹煌

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