正算子和正矩阵1.pdf

          正算子和正矩阵 （Bob）

今天翻阅泛函分析时候，突然遇到正算子的概念，在此略作一点注记。应该说数学里面提到的正矩阵，不同的分支里面含义不大一样，总的来说，有以下两种。

1：正定矩阵 ；2：正矩阵（矩阵的元素全为正数），应该来讲从几何背景上看，正矩阵不如正定矩阵自然。基本上通常的高等代数都会花一定的篇幅来讨论正定矩阵，通常大家会对正定矩阵的各种性质了如指掌，比较而言，对于正矩阵，肯定不是非常熟悉。正矩阵应该来讲有一条最为重要的性质就是，正矩阵必有一个特征值为正数，并且这个特征值对应的特征向量为正数，并且该特征值的重数为1。正矩阵的这条性质在经济学和符号动力系统上有非常重要的应用。

2：正定矩阵在无穷维Hilbert空间的自然推广，就是自伴正算子；正矩阵在无穷维上也有推广，一般称为Perron-Frobenius-Ruelle算子，在求不变测度通常会遇到的一类算子。

Hilbert空间H上自伴正算子的定义，显然当,并且（，）表示标准内积时候，正算子将会自然对应，正定矩阵。

对于正定矩阵，有很多重要的不等式，其一就是高维柯西不等式的推广，一种自然地表述就是，利用内积形式写为，当然对于复数域上也有类似的形式。

值得一提的这个不等式对于无穷维Hilbert空间仍然保持，证明想法和通常的Cauchy不等式证明过程并无太大区别。

如果对于某些y，，则不等式显然成立。

其他情形，我们可以自然得到

关于Ruelle算子，相对比较复杂，将会在后续的内容中介绍。

在矩阵论中，关于对称矩阵（对应于自伴算子），有非常有用的Max-Minimal不等式，这个式子蕴含的内容非常深刻，对于无穷维空间中也有非常有意思的对应，今后将会提到。