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直道不走,皆因有坑 精选

已有 2382 次阅读 2018-4-3 08:11 |系统分类:教学心得

 

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图1 九江浸月亭


  有个段子在自媒体上很流行,说的是两点之间直走过去时间不是最短,然后启发一通人生鸡汤。就像下面的动图一样。

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图2 跑得最快的不是直线


  其实,之所以直道不走,皆因有“坑”。不了解背后“坑”的,以为别人走的是曲线,其实考虑了“坑”之后,走的依然是捷径,这就如同唐僧西天取经,看似是弯道,但背后的“坑”是如来佛祖要唐僧去基层锻炼,以便将来提拔有资本。至于人生两“点”之间怎么走才快,如果人家有背景,不管直线还是曲线,反正是眼花缭乱就走过去了;如果你没背景,你看着就在眼前直线的那一端,可是怎么走也够不着。如果你了解了背后的“坑”道,自然就明白了,否则就是外行看热闹。

  两点之间怎么走才快,本是自然科学问题,但是鸡汤把它套到社会实践上,而社会实践中的诸多“坑”,并非我等死脑筋的人能参透的,所以我等就往往理解不了为什么别人不走直线。


水坑.jpg

图3 水坑

  还是回到我等容易理解的自然科学。小学数学就学过两点之间直线距离最短,但是也都知道走直线过去未必最快,这是因为快还是慢,还要受到速率的影响。比如上面图形所示水坑直径相对的A和B两点,距离虽然最近,但是涉水游时间未必会比从坑边绕过去的时间短,说的更极端一点,如果不会游泳,溺水而亡,那无论等多长时间也不可能到达B点。如果在岸上跑得快,即速度v2大许多v1,那肯定绕着坑边的圆弧走,用时最短。当然若反过来v2<v1,甚者岸上v2与坑中v1的速度相等,那么肯定是直接过去最快。第三种情况是,岸上的速度v2比坑中的速度v1快一些,但不是快很多,此时最佳的方案是有一段在水中,有一段在岸上跑,就如同图中ACB曲线那样。

  很多中国古建筑的顶面并不是直线下来的,比如博文开始的江西九江的浸月亭。图中从亭顶到亭檐的轮廓(图中蓝线)就不是直线(参照黄色直线)。

大同善化寺三圣殿.jpg

图4 大同善化寺三圣殿


  上图是山西大同善化寺三圣殿的一个角,很明显殿的顶面也是下凹的。

  有人把这种形状归咎于中国建筑审美观,也有人说这是为了让水滴在顶面停留时间短,也就是让下雨的水滴快点流下来。难道水滴不是走直线的时间最少!?

  既然水坑问题不走直线有这种可能,水滴也有这种可能,这里“坑”就是重力会改变水滴速度的大小。

  考虑重力改变速度这个“坑”后,如何确定两点之间最快的路径呢?据说伽利略就曾经考虑过这个问题:“一个质点在重力作用下, 从一个给定点A到另一点B(B不在A的垂直下方), 如果不计摩擦力, 问沿着什么曲线滑下所需时间最短”。伽利略在1638年给的答案是圆弧,现在知道这是错的(欣赏图2)。

  时间到了1696年。这年6月瑞士数学家约翰·伯努利在《教师学报》(Acta Eruditorum)上就最速降线问题向全欧洲的数学家提出挑战。此次挑战收到了牛顿(牛顿第二定律的那个牛顿)、莱布尼兹(搞微积分的那个莱布尼兹)、雅各布·伯努利(约翰的哥哥)、洛必达(就是洛必达法则的那个洛必达)以及约翰·伯努利他自己的五份解答。

  五人的解法都可圈可点,牛顿和莱布尼兹用的是微积分办法。雅各布·伯努利方法最具有通用性,但过程麻烦。然而正是这种“通用性”追求,在雅各布·伯努利的弟子欧拉努力下,建立了变分法—这是现在牛皮哄哄有限元法的理论基础。最漂亮的约翰·伯努利解法,其思路受到了光跑得最快的启示(仅仅是启示,而不是依据)。

  他们的故事,以后再表。

  不管怎么,如果没有“坑”,还是沿直线最快。如果有“坑”,那就不好说了。


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