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三学期线性代数教学总结
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三学期线性代数教学总结
王永晖
线性代数（Linear Algebra）在中国数学系里又称之为“高等代数”。我带2011级首师大数学系实验班，用了三个学期教授这门课程，内容覆盖如下：
第一学期教材：同济大学《线性代数》 12周，最后一章欧氏空间未讲，相当于把线性方程组的解的结构都讲完了。学这本书，主要是要让学生学会用矩阵的观点看问题，比如秩是什么，就是矩阵化为最简形后非零行的个数，怎么从这个理解出发，去证行秩=列秩。
•第二学期教材：石生明《高等代数》16周，与第一学期重复内容相当于复习，最后两章未讲，Jordan形和欧氏空间。学这本书，主要是让同学们学会用线性相关无关性的角度看问题，比如秩是什么，最大线性无关组的个数，怎么从这个理解出发，去证行秩=列秩。
•第三学期教材：Linear Algebra Done Right. 16周，重复内容相当于复习，新讲内容包括欧氏空间上谱理论，JordanForm. 这本书是美国Stanford大学，Harvard大学数学系使用教材，现在网络发达，这些信息都能查到。这本书主要使用算子的观点处理线性代数，比如怎么从这个理解出发证明行秩=列秩，又是一种证法。
第一学期的教材，传统上都是给理工科学生用，不是数学系教材。但是，我觉得这本书挺好的，我不喜欢同济的《高等数学》，认为它祸害了中国理工科大学生二十多年，这是另外一个话题，此处不多说。但是同济的《线性代数》，我觉得很好的，本来数学系的同学，跟其他系的同学，在来的时候就没什么区别，让他们一上来就搞线性相关性无关性，对他们来说很抽象的，我认为是不合适，而矩阵比较具体，用矩阵的观点看问题，作为第一学期要攻克的教学目标，我认为就很合适。
第三学期课号代数学I，本来应该讲抽象代数，但是因为第一学期军训的原因，课时少所以一年之内并不能把线性代数的课程讲完，别的普通班做法是，第三学期一半时间把高等代数讲完，另一半时间再讲抽象代数。
我的考虑是，第三学期还是用来全部讲线性代数，但是使用英文教材，Linear Algebra Done Right，前三章相当于复习，复习的时候，数学内容对同学们是相对熟悉的，主要克服的是英文学习难度，这个难度过去后，就可以在后几章专注于新引入的数学内容。
我之所以这么做，还有两个考虑，同学们虽然学了一年，但是绝大多数同学还并未学透，未达到考研水准，所以正好利用第三学期，同步做好线代/高代习题，开学之初，我就告诉同学们，我们的教学目标是让95%的同学达到考研水准，或者换一句话说，让每个同学有95%的可能性考研成功。
大家就不要在大三或大四上学期复习考研了，就在这学期把线性代数学好，在有老师指导，在有本科生研讲班助教的帮助下，这学期就把线性代数学到考研水准，岂不更好！
这样的选课条件下，最终有68人选择了本课程（第一学年为88人），让我实在感动，大大超出了我原先的期望--这种课，英文教材，数学的难度也不小，能有足够的同学选，把课开起来就不错了，倒底是我已经教过他们一年，期间又不断做到信息透明化，让他们了解到水有多深，才敢跟着我趟。
这样把线性代数拉成三个学期的好处是，同学们利用这本英文教材，慢慢习惯了抽象思维，这本英文教材总共十章，在第三章的时候就讲了维数公式和零度定理，可想而知，后面的内容会更加深入。
有了这些深入的准备，同学们在第四学期再学习抽象代数时，自然会更加适应，抽象思维绝不可一蹴而就的，需要给学生们一个适应期。
英文教材的后半部分内容很丰富，欧氏空间上的谱理论，用Nilpotent算子来处理Jordan形理论，无疑是非常好的，让我很庆幸选了这本现代教材，同学们也非常高兴，学到了东西。
我们的课程开设，内容本身并不是考研，比如英文教材的后半部分，远远超出了国内大学数学系通用教材的覆盖内容，基本上可以说不会在考研题上出，所以我也适当地放低了要求，只要同学们把课堂书本上的定理弄通，习题则不全部布置成作业，而是谁想多做几道，就多做几道。
我们为此在普通的本科生研讲班之外，又抽调出原来的研究生助教，开了一个精深研讲班，同学们专门讲英文教材后半部分的题目，出乎我意料的事情又一次发生，同学们把这些题目基本上都讲完了。
我们每个学期，都利用学校提供的资源，配置了4位助教，第三学期还多了一位大四志愿者当助教，从而使得我们可以在一周之内，开设三次本科生研讲班，两次是助教主持的，一次是我主持的。
这样学下来，同学们有很大的进步，大家可看我前面写的博文
我对同学们的进步，真的非常满意。这学期，也就是第三学期，除了助教开的本科生研讲班还是让同学们讲题之外，我主持的本科生研讲班，是让同学们讲 “Matrix Group for Undergraduate, Springer.”
这一下子就看出同学们的不足出来了，经过一年的训练，同学们已经能够把一道题讲的很清楚了，我认为中小学里面的普通老师也不过如此了，但是，当他们要讲“一章”时，一个同学负责讲这本书的一章，立刻就看出同学们的不足出来。
我觉得这样很好啊，学数学，就是要看出不足才能有长进，老是做自己会的东西，那怎么行呢。同学们刚开始没转过弯来，有些人还有些气馁，觉得自己怎么又变差了。
我们数学系老师教学生，很可能会发生这样的现象，学生本来以为自己都清楚什么都懂着呢，结果老师一教，学生反而觉得自己不清楚了，不懂了。
这就对了! 学数学是干什么，就是要把不懂的地方找出来，解决掉，这是一个老师的责任，如果为了学生的感觉，避开这个责任，有些人号称能把××课程讲的很简白易懂，还把这当作荣耀宣讲，结果学生反应他只不过是把难点跳过去不讲而已，我以为是不对的。
想想看，我们的学生经本科生研讲班这么训练下来，能够把“一章”都讲下来后，他的读书能力也就基本练成了，为他的研究生阶段打下了很好的基础了，那时候他们再在各自导师指导下去练怎么“读文章”。
这里多说一点，作为本科生老师，我知道自己的职责所在和能力范围，我所积累下的学习方法可以用公式表达为：
（忆筛+提问）×笔记
忆筛×笔记是本科生阶段的要务（解释见大学数学学习与中学的不同之处），我帮助学生们把这个能力练到、练好，就行了。至于，提问×笔记，主要是研究生阶段的任务，应该是研究生导师们的职责，我不会越俎代庖，实际上也不可能有这个水平。
第一句，把数学大家的结果试予改进，一个普通的数学家一辈子能做到几次也就不错了，所以我们的本科生同学们主要还是得落在第二句“揣摩成局”上，也就是我用的名词“忆筛”。
我跟同学们说，真正要练提问能力，还是要靠读文章，书都是经典内容，恰似铜墙铁壁，很难在上面再挖出一个洞来，我称之为人类第二大哲学思想“问窍抽髓”。但本科生阶段同学们现在还是积累读书能力，这个能力建好了，才有可能把研究生阶段的时间用来读文章，否则研究生阶段还得补读书能力的建设功夫。
最近数学领域出了点年轻人的新闻，某个大学的大三学生发表了文章，结果被该校校长评为正教授，若干校内奖励，又有另外一个学校的本科生把一个数论猜想证伪，发在不错的数论杂志上。
我本科生研讲班上的同学，自然有些眼热，个别同学还有点心急，非常恐慌害怕世界上的数学题一下子都被别人解决完了，莫笑。
我只需指出一个事实，从报道上来看，这两位年轻人，虽然还可以，但他们敢出国到国外大学数学系读博士么，不敢，为什么不敢，因为国外大学数学系有博士生资格考试（最近出现的丘成桐大学生数学竞赛其实就是取法于此种考试），这两位年轻人的数学课程底子看报道上来说还是比较弱，如果不经过很大努力，估计是考不过这个博士生资格考试的，拿不到船票，那就什么都别谈了，不会做基本的题，还能成为数学家么，没听说过（那个中国大学校长的莽撞这里由此可见）。
因此，我设定的教学目标是，本科生阶段还是要好好读书，把“读书能力=忆筛×笔记”的功夫练到、练好，到了研究生阶段，则各人有各人的机缘，除了继续跟我的，其他的就不归我管了，我能把他们送到那个高度，就可以了，后面的活，该各自的研究生导师来做了。
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