正物由类聚，人以群分，集合参悟。
剥茧抽丝，绘个中元素。
有限无穷，几何代数，尽借集修筑。
广厦摩天，纵横数理，算经之母。

髪匠裁规，不能自剃，交易方成，己头谁顾？
自剪他刮，俱违规失度。
求救集合，左右推演，竟无从切入。
又回春秋，偕兄持盾，鬻矛荆楚。

　　“物以类聚，方以群分”是中国古代哲学名言，其实这是集合的一种形象的说法。集合是一个数学基础概念。所谓的基础概念不能被其他概念定义的概念。将直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)就是集合。组成一个集合的那些对象成员称为这一集合的元素。
　　近现代数学不再像代数几何一样只着重于“算”和“演”，更注重于挖掘数学本身最本质的东西，将这些根本的东西抽象出来进行研究。例如天才短命的伽罗华，他发现了高次方程的本质是一种具有封闭置换性结构的抽象，他把这种抽象的集合命名为“群”，从群的逻辑结构证明了５次以上的方程不存在一般的根式解，用同样的理论，解决了古希腊三大数学难题，证明三分角和倍立方尺规作图的不可能性。人们很诧异，代数居然不用算，几何居然不用推演，仅仅用了集合的抽象，竟然解决百年千年遗留的数学难题。
　　十九世纪七十年代，康托尔在前人积累的理论基础上，创立了集合论，将代数、几何等所有的数学分支进行公理化，例如戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。至此，集合论成为现代数学的基石，一旦集合论出了问题，整个数学大厦将如垒卵。
　　1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。用集合来表示：R = { x | x ∉ x }，然后问R是不是属于这个集合？麻烦的是，如果R ∈ R，即R是集合R的元素，依定义有R ∉ R；反之如果R ∉ R，按集合R的定义，R是集合R的元素，即R ∈ R。无论哪种情况都是矛盾。这就是罗素悖论：定义一个集合，它包含所有不包含自身的集合，它是否包含自身？
　　罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
　　其实所谓的危机就是在严密逻辑下出现了矛盾，这不禁让人想起了危机的始祖——《韩非子·难一》中著名的寓言，“楚人有鬻楯与矛者，誉之曰：‘吾楯之坚，物莫能陷也。’又誉其矛曰：‘吾矛之利，于物无不陷也。’或曰：‘以子之矛陷子之楯何如？’其人弗能应也。”