本文发表于《自然杂志》。

细长弹性杆（slender & elastic rod）模型广泛存在于自然界和工程实际中。例如海底电缆、高压输电线、柔性绳索、弹簧、石油工程中的钻杆和抽油杆、纳米纤维和纳米管、DNA和大分子聚合物（图1）、攀缘类植物的茎（图2）等，都可以简化成细长弹性杆的模型来进行力学分析[1]。这种三维模型的一个显著特点就是，一个方向上的尺寸远大于其他两个方向的尺寸。在外力作用下，细长杆容易发生弯曲、剪切、扭转甚至打结等复杂的变形。因而细长弹性杆的变形具有独特的力学特点，因为它往往伴随着结构很强的几何非线性。

在力学上，细长弹性杆的形貌往往被称为“弹性线（elastica）”，这个单词实际上来源于拉丁文，其意思是弹性薄片。整个弹性线的发展史是一部激动人心的历史，从其问题提出到现在，其时间尺度跨越了大约8个世纪。而参与研究弹性线的杰出科学家层出不穷，他们从数学、力学、实验等角度进行了各种探索。弹性线的历史发展将使我们了解到数学力学与工程技术在解决实际问题时是如何紧密结合的。本文主要从平面弹性线、空间弹性线以及弹性线与其它物理现象的比拟等角度对其发展历史加以介绍。

1.     平面弹性线

   根据文献记载，弹性线问题最早由13世纪的数学家Jordanus de Nemore提出[2]，正是他第一次从数学曲线的角度研究了弹性线的形状。他研究了一根细杆，指出“如果快速握住其中部，杆的两端弯曲的程度更大”。但是他错误地认为弹性线的形状是一个圆，而实际上圆仅仅是弹性线的一个特殊解。

   此后关于弹性线的研究则没有太大进展，但是一些相关的实验和理论工作也为取得弹性线的新结果奠定了基础。例如，Leonardoda Vinci对两端铰支梁和悬臂梁的强度进行了实验研究，得到了结构强度与梁的长度成反比的结论[3]。Galileo Galilei [3, 4]在1638年开展了一个实验，将一根悬臂梁的一端插入到一堵墙里面，另外一端悬挂着一个重物，具体研究多大的重物能够使梁破坏。尽管这个实验比较粗糙而且装置简单，但是Galileo在此基础上提出了脆性材料破坏的第一强度理论。Galileo从弯矩的角度对梁进行了受力分析，但是他没有考虑梁的横向位移。这是由于梁是脆性材料，因而其破坏之前的变形较小。与Galileo几乎同时代的一位学者Ignace-Gaston Pardies在1673年给出了弹性线问题的一个可能解答，认为Galileo实验中梁的轴线变形后为抛物线，但是此结论后来被证明是错误的[2]。

这一阶段的相关工作还有，Robert Hooke在1678年发表了胡克定律（也称为郑玄-胡克定律[4]），提出了在弹性范围内，结构的外力与其变形成正比。同时Hooke也指出梁发生弯曲变形时，其横截面应该是一部分受压，另一部分受拉，但他并没有确定中性轴的具体位置。几乎与此同时，Isaac Newton的《原理》也发表了，这标志着微积分宏伟精巧的大厦已经建立。Newton给出了在直角坐标系o-xy中平面曲线曲率的表达式：

其中为曲线上任意一点的曲率半径。这些工作为弹性线的进一步研究做好了铺垫。    

站在这些巨人的肩膀上，James Bernoulli（也称为Jacob Bernoulli）于1691年对弹性线问题进行了深入思考，并给出了弹性线的一个解答，称为“矩形弹性线”，但是这个解答并不足够准确[2]。于是他在1694年提出了他自己称之为“黄金定理（Golden Theorem）”的公式对弹性线进行进一步的阐释，其基本思想为，弹性杆曲线上任一点的曲率与弯矩成正比。正是这项工作初步描绘出了了弹性线基本方程的雏形。在同一时期，荷兰力学家Christiaan Huygens研究了悬索线问题，即两端固定的柔性绳索在自身重力作用下的沉降量。Huygens对细长杆的弹性线问题也进行了研究，并指出其它几种弹性线的形状也有可能存在[2]。

关于弹性线理论发展的一个里程碑式的标志就是Leonhard Euler参与该问题的研究。对我们来说，Euler绝不是一个陌生的名字。实际上，他的研究领域遍布数学、物理、力学和电学的各个角落，单以Euler命名的公式和定理就多得让我们分不清。值得一提的是，Euler正是Bernoulli家族的杰出的学生。1742年，James Bernoulli的侄子Daniel Bernoulli在写给Euler的信中提出，能否采用能量极值的方法来求解弹性线问题的一般解。实际上弹性结构的平衡构型与其总势能的极小值是一一对应的，这个原理就是最小势能原理，这是最小作用量原理的一种特殊情况。关于为什么自然界中最小作用量原理是一个普适的规律，用Galileo的一句名言来形容比较恰当：“自然界总是习惯于使用最简单和最容易的手段行事”。因此，在Bernoulli的启发下，Euler发展了变分法，提出了弹性线的平衡形状对应于应变能的极小值，而应变能可以由下式来度量：

其中l为细长杆的长度，s为弹性线的弧长坐标。对上述应变能进行变分运算，Euler推出了在直角坐标系中弹性线的平衡方程

其中B为杆的抗弯刚度。Euler把常数B称为“绝对弹性”，但是他并没有讨论B的物理意义，仅仅说明它与材料的弹性有关。Euler还认为对于矩形截面梁，抗弯刚度B正比于梁宽，并与梁高的平方成正比。我们现在知道这个结论是错误的，因为抗弯刚度应该与梁高的三次方成正比[3]。

   Euler考察了如图3所示的各种弯曲情况，并根据外载荷的作用方向与载荷作用点的切线之间的夹角大小，把相应的弹性曲线分为多种类型。根据这些弹性线，Euler还进一步研究了细长杆的屈曲（buckling）问题。他求得了一根一端固定、一段自由的梁在轴线压缩载荷P作用下发生屈曲的临界载荷

但是在Euler的时代，这个公式没有得到足够的重视。这是因为当时主要的建筑材料，例如木头、石头和铸铁大都是脆性的。这个公式直到后来低碳钢得到大量应用时才重新得到了重视，同时在工业设计里面起到了举足轻重的作用。实际上早在1729年，荷兰力学家Pieter van Musschenbroek就通过实验研究了矩形截面梁柱发生屈曲的临界载荷，并指出临界载荷与杆长的平方成反比[2]。在1811年，A.J.C.B. Duleau做了105个实验，其中包括通过设计准静态试验研究梁柱的屈曲。但是他的实验结果与Euler的理论计算有所出入，主要还是因为当时的实验设备精度不够[3]。

比Euler年轻的Joseph-Louis Lagrange是Euler狂热的追随者，他跟踪研究了Euler的很多工作。他与Euler先后研究了小变形情况下的弹性线问题，并于1770年针对细长杆发生屈曲的微分方程

得到了临界载荷的表达式

而这正是我们今天材料力学课本中的常见表述。Lagrange针对方程（2）进行级数展开，得到了外载荷和梁最大挠度之间的关系式[3]。

Euler还综合考虑了细长杆以及悬索线的受力平衡，给出了这些弹性结构的一般方程

其中Q为剪力，N为轴力，M为弯矩，为杆上任意一点的倾角，f_t和f_n分别为体力沿着杆截面切向和法向的分量。这组方程不依赖于材料的性质，因为它将具有刚度的弹性杆件和不具有刚度的柔索都囊括在内了。

尽管弹性线的方程已经建立，但是弹性线的形状直到1906年才由诺贝尔奖得主Max Born所精确绘出。Born在哥廷根大学获得了博士，其博士论文的题目为“平面与空间弹性线稳定性的研究”。他设计了一套实验装置，主要是利用重物和标度盘，通过不同的边界条件对细长弹性薄片进行加载，并对其变形形貌进行拍摄照片（图4）。Born的数学功底比较深厚，他利用现代数学的技巧对弹性线问题进行了表述，并将其推广到三维空间问题中[2]。

   因为弹性线方程是一个很强的非线性方程，故而其解析解只有在一些特殊情况下才能求得。1945年，Bisshopp和Drucker给出了以椭圆积分表示的、自由端承受集中力的悬臂梁的大位移解答[5]。具有不同边界条件的弹性线解答对于工程应用，例如纳米材料的制备等有着非常重要的意义。例如在碳纳米管阵列的制备过程中，由于水分的蒸发会导致相邻的纳米管发生毛细粘附，从而结构产生较强的几何大变形[6]。最近，刘建林采用弹性线模型求解了两根纳米管的毛细粘附临界参数，这对于如何避免碳纳米管阵列的粘附有一定的参考价值[7]。

2.     空间弹性线

   从平面弹性线转变到空间弹性线的研究，必须对柱体的扭转进行研究。1784年，Charles Augustin de Coulomb发表了关于扭转的研究报告，他给出了受扭转的金属丝的扭矩与扭转角成正比的结论，并设计了库伦扭秤的装置[3]。此后，法国工业学院于1795年成立，该校涌现出了一批著名的力学家，如Cauchy、Lame、Poisson、Saint-Venant、Duleau、Navier等。正是由于这些科学家的努力，才逐渐完善了弹性理论。1853年，Saint-Venant向法国科学院提交了关于柱体扭转的研究报告。他引入了柱体截面的翘曲函数，并提出了“半逆解法”，从而顺利地解决了该问题。在研究柱体扭转的过程中，Saint-Venant也提出了著名的“Saint-Venant原理”，即静力等效的载荷引起的差异只在加载位置附近有所差异，所以对离开柱体两端较远处的柱体中的应力，他的解答是足够精确的[3]。

Augustus Edward Hough Love在Saint-Venant的基础上发展了扭转理论，将平面梁的Euler-Bernoulli假设推广到了三维构型。他指出，细长杆的总扭转包括两部分，实际上代表了截面的绝对角速度等于相对角速度与牵连角速度之和[2]。

尽管弹性理论的大厦逐渐夯实，但是细长杆空间弹性线还不同于经典的弹性力学，这是由于弹性杆在变形过程中往往伴随着非常强的几何非线性，因而必须发展独特的理论才能加以分析。关于弹性线发展史的另一个里程碑式的贡献，则是1859年Gustav Robert Kirchhoff对空间弹性线的研究[1]。他从三维弹性理论的角度出发，认为杆是由许多小柱体组成的，每个小柱体与周围的柱体通过力和力偶发生接触作用。为了说明这些许多小柱体能够相互配合和协调，Kirchhoff提出了著名的以他的名字命名的假设：（1）杆不可伸长，不受剪力，中心线在变形前后均为2阶以上光滑曲线；（2）杆的长度和曲率半径远大于横截面尺寸；（3）横截面为刚性平面；（4）忽略弯曲引起的剪切变形，横截面与中心线正交；（5）忽略中心线的拉伸变形，任意两截面沿中心线的距离不变；（6）相邻截面可绕中心线作相对扭转，扭角为弧长的连续函数。

继而，Cosserat兄弟（Eugene Cosserat和Francois Cosserat）在Kirchhoff杆的基础上，进一步考虑了杆的轴向线应变和弯曲剪应变等因素，提出了采用方向矢量（director）沿中心线的运动来描述弹性杆的模型。如图5所示，他们把杆看作是一种由物质点组成的数学曲线，而其中的方向矢量即与截面固结的沿形心主轴的3个单位向量形成的右手系。这样，Cosserat模型便可以同时考虑细长杆的拉压、剪切、扭转和弯曲变形[8, 9]。

图5 Cosserat杆示意图

3.     弹性线与其它物理现象的比拟

在研究弹性线的过程中，也有很多科学家注意到了弹性线的性质与其它一些不同的物理现象存在很多相似性。早在1807年，Pierre Simon Laplace就建立了毛细管中弯液面的形状方程（图6），即液体的表面张力与弯液面的内外压差之间存在通过曲率相互关联[10]：

将方程（9）与弹性线的控制方程（2）相比较，可以发现二者之间具有惊人的相似性。这一性质后来被James Clerk Maxwell [11]所发现，并指出毛细效应引起的弯液面与弹性薄片的变形之间具有相似性。2002年，法国国家科学中心的David Quere [12]对二者之间的相似性进行了详尽的实验研究。最近，刘建林[13]对上述两个方程（2）和（9）进行了坐标变换，发现二者可以写成统一的形式，并详细探讨了二者之间参数的相似性。例如对于弹性杆而言，其刚度用B来表示，而对于液体而言，其刚度可以用表面张力来度量。对于曲率、应变能、载荷等，两个系统均有对应的比拟关系。这一研究将为我们设计新型的比拟实验提供理论上的依据。

   另外，在1859年Kirchhoff提出了著名的静力学–动力学比拟，指出弹性杆的平衡微分方程与经典力学中刚体定点转动微分方程之间具有相似性[1]。如果明确了两个系统之间参数的比拟关系，就可以把我们熟悉的刚体运动规律借用到分析弹性杆的性质。这两个不同系统之间的参数比较如下表所示：

表1 弹性杆与刚体定点转动之间的比拟

总之，从弹性线概念的提出，到平面弹性线和空间弹性线模型的逐渐成熟，是众多力学家和工程师携手并进、共同研究的结果。从建立弯矩与曲率之间的关系，到Kirchhoff-Cosserat杆模型建立的过程，经历了众多力学家之间的辩论和竞争，从而使该理论不断趋于完善。在这个过程中，需要引入符合工程实际的假设，需要精密实验的验证，也需要高深数学技巧的推导。弹性线理论的建立也证明了最小势能原理与弹性结构的平衡构形是一一对应的。弹性线的发展历程告诉我们，只有将工程实践与理论分析紧密结合起来，才能使力学发挥出惊人的威力。只有精深的理论而不关心工程的需求，只能是纸上谈兵；只有工程经验而不探究力学的规律，也无异于合眼摸象。这种理论结合实践的理念与钱学森先生所提倡的“技术科学(Engineering Science)思想实际上是一脉相承的。他认为，技术科学不限于是自然科学与工程技术间的桥梁，它同时也是人类认识的源泉，它应该从工程实践中提取力学模型，上升到理论高度，然后反过来指导工程应用。弹性线的发展历程正是践行技术科学思想的一个范例。

参考文献：

1          刘延柱. 弹性细杆的非线性力学——DNA力学模型的理论基础. 北京：清华大学出版社，2006

2          Raph Levien. The elastica: a mathematical history. Technical Report No. UCB/EECS-2008-103. http://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-103.html

3          铁摩辛柯著，常振楫译. 材料力学史. 上海: 上海科学技术出版社, 1961

4          老亮. 中国古代材料力学史. 湖南：国防科技大学出版社，1991

5          Bisshopp KE, DruckerDC. Large deflection of cantilever beams. Quarterly of Applied Mathematics, 1945, 3: 272–275

6          Journet C, Moulinet S, Ybert C, Purcell ST, Bocquet L. Contact angle measurements on superhydrophobic carbon nanotube forests: Effect of fluid pressure. Europhysics Letters, 2005, 71:104–109

7          Liu JL, Feng XQ. Capillary adhesion of micro-beams: finite deformation analyses. Chinese Physics Letters, 2007, 8: 2349–2352.

8          van der Heijden GHM, ChampneysAR, Thompson JMT. Spatially complex localization in twisted elastic rods constrained to lie in the plane. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1999, 47: 59–79

9          薛纭, 王鹏. Cosserat弹性杆动力学普遍定理的守恒量问题. 物理学报, 2011, 60: 114501

10     Laplace PS. Euvres completes de Laplace, volume 4. Gauthier-Villars, 1880

11     Maxwell JC. Art. “Capillary action”. In Encyclopedia Britannica, 9th. Editon. New York, 1875

12     Clanet C, Quere D. Onset of menisci. Journal of Fluid Mechanics, 2002, 460: 131–149

13     Liu JL. Analogies between a meniscus and a cantilever. Chinese Physics Letters, 2009, 26: 116803