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[转载]作为过来人,聊聊学数学这件事:就像跨栏跑

已有 1551 次阅读 2018-2-2 10:05 |个人分类:谈数学|系统分类:教学心得| 数学, 人生, 跨栏 |文章来源:转载

转者按:这是我比较喜欢的一篇谈数学人生的文章。特与网友分享。

作者:北大飞

数学是个好专业:有乐趣、有挑战、有后路。北大数学系是个好地方

想起聊这个和政治无关的话题是因为有一件高兴的事情。

我在北大时好友,现北大数学系教授安金鹏老师受别人编造的,以他为主人公的鸡汤型谣言折磨长达二十年后,事情终於在互联网高度发达的今天有了一点进展。网刊《知识分子》杂志刊发的对安金鹏老师采访、对往事来龙去脉的澄清这两天在微信和微博广为传播,造成了不小影响。

希望之后越来越多的人能够知道这件事的真相,让编造别人故事为自己牟利的张X德类人物失去市场。如果您还没有阅读这篇辟谣,请先点击下面链接,并请帮助转发,再读本文不迟。

这个北大学霸的故事够荒诞:一切都是假的,20年来却感动了无数人

这篇文章里除了辟谣,安金鹏老师也提出了很重要、做过数学的人又众所周知的一点:做数学需要强大的兴趣和(一定的)天分。不是靠头悬梁锥刺股努力就行的。的确数学家们头悬梁锥刺股的不少,但那是因为他们对数学太有兴趣,拿起来就放不下来,和一般人熬夜打游戏其实是一类事情。

当年在北大和安金鹏一起选过不少课,硕士阶段又在同一导师门下,因此对他怎么学习数学相当了解──的确就像他写的那样全靠兴趣。安金鹏还不是一个兴趣单一的人,正相反,他的兴趣极其广泛,远远超过数学范围,我常常感觉他并没有全力投入数学。另一方面,我对他的智力水平印象极为深刻,无论是数学还是其他方面的事情,只要他稍微投入精力研究,迅速就能远远超过甚至有过较长时间努力的一般人而达到相当高深的水准。

有一件十多年前的往事我至今印象深刻。当时他在加拿大做博士后研究,指导他的老教授多年来对一个线性代数中涉及矩阵对角化的经典问题感兴趣。这个问题表述比较初等,但一直没有获得什么进展,所有讨论均局限於对各种情况的各自特点应用初等线性代数技巧,得到解决的情况却不多,方法也不统一。这问题本不属於安金鹏的研究领域,但他考察之后思考了不到一个礼拜就迅速有了想法,通过引入李群理论轻松而优美的将所有情况一举解决。老教授惊得目瞪口呆。

当年我也很喜爱数学,也曾立志做数学家,但因为和安金鹏和另外几位天才型选手有接触(例如许晨阳,刘若川,倪忆等老同学),很明白自己在智力上有差距。故后来读上了数学博士真的觉得越来越困难后,迅速知难而退,没有继续苦撑求教职,而是及时转行下海找工作挣钱去了,少受了很多罪。

所以我在职业数学道路上曾经尝试过,最终失败了。但因为这一点,我感觉我的经验和体会更值得和大家分享。因为如果真是天才选手,会觉得一切都很容易,很难理解普通人在学习数学方面为何会有这样那样的难处,也很难回答普通人的这些难处又该怎么克服,什么时候就该放弃,如果放弃了之前的努力是不是就是无用功这些问题。

而我因自己的人生经历,对这类话题倒有比较深刻的体认。下面就和大家分享一下。

如果用体育运动来类比,数学的学习(指基础数学或纯数学)最接近的运动项目是跨栏。跨栏和一般的赛跑项目的区别是,你先要跨过一个栏,才能跑下一段,然后又遇上下一个栏,再跨过才能再跑。

这大概也是学数学和学很多别的学科最不一样的地方。学习别的学科时,知识的积累大致和你投入的精力、时间成正比,就像普通的赛跑,跑完的距离和跑的速度与时间成正比。

但数学则一路有若干的栏,他们是接下来相关知识涉及的理论基础。你必须把这个栏跨过去,或者说,你要对这一理论基础理解非常深入,感觉非常自然,形成高度直觉。能不能跨的过去,肯定和付出的时间精力有关,但的确也和智力天分有联系。

如果能跨过一栏,之后一大片知识就比较容易掌握,与投入的努力和时间成正比,类似直道跑步。然后会再遇到下一个栏。最终,如果你跨过了所有的栏,顺利到达相关领域人类知识的前沿,就可以开始职业数学研究,具体能取得什么成果,是另一个问题。但大致可以想象的是,一般的数学家线性的推进现有知识,大数学家可以做到革命性的进行概念的创新──为后来的学习者指明新的需要跨越的栏。但我自己倒在中途,没有真正进入职业数学研究,对这一点没有发言权。

而和体育比赛中的跨栏不同的一点是,学习数学,向前沿挺进过程中遇到的栏一般越来越高,要跨过的难度不断加大。每一个栏都会有一部分人(经常是大部分人)倒下,能通关前进的人数成指数减少。

栏跨不过去的感觉,就类似狠狠撞上了墙:这个东西你无论怎么使劲儿,还是想不明白,觉得非常不自然。这么看明白,换个说法就立马不明白了。这个时候,后面的知识也不是完全不能学,但就会极为吃力,非常痛苦,毫无乐趣可言。到了这一步,就该承认自己的极限,知难而退。

这些栏分布于数学的各个分支和各个阶段。处在主干上的栏无论之后从事什么方向都必须要跨。要说数学某个分支比其他分支更难学,一般指的不是该分支涉及知识过多,而是上面的栏高度更高,更难跨越。

我个人学的是概率论相关理论,这属於理论数学的分析方向一个分支,算是很容易的。回顾我的学习过程,很明显曾经跨过两个栏,然后倒在了第三个栏下。

第一个栏所有上大学进入数学专业的同学都要面对,就是大一上学期的数学分析和高等代数。重点要建立序列极限、收敛、实数完备性、多维线性空间、线性变换这些近代数学基本概念。我对这些掌握的不错,之所以如此,是因为投入很大精力做题。做的题不是人们常提到的《吉米多维奇》,而是已故的北大数学系教授方企勤老师编写的《数学分析习题集》。这本书里约有习题一千四百余道,其中难题一二百道,我翻来覆去的做了三四遍。现在我看到这个封面,心中就会涌起万千感动和对各位恩师的怀念。


北大数学系数学分析课考试有个传统,总体上不难为学生,知识点掌握的差不多就能做出题。但一百分卷最后总是一道难度较高的五分题。只有对有关知识理解深入并会技巧性运用才能做出来。所以一份卷子考100分还是95分是有区别的。

两年前北大bbs上有同学把几年的李伟固教授大一上学期期中期末数学分析卷五分题搜集起来放在网上,笔者作为老同志试著做了做感觉差不多还都行(当然是不限时间),说明20年前练就的“童子功”还真能管一辈子。


因为这第一道栏跨的不错,打下了基础,本科阶段后来的若干门专业数学课,如实变函数,拓扑,泛函分析,抽象代数,感觉还都算轻松。

然后跨过的第二道栏,是近代概率中(基於西格马代数)的条件期望。这件事就纠结很多,和我那时候已经读起硕士心思很多,远远不如刚进大学时努力也有关系。幸运的是,最终最终还是大致学明白了,算勉强过关。当时教我概率的是陈大岳教授(听说现在是我硕士阶段同门师姐章复熙老师),大岳老师出期末考题极难,共十道题,每题十分,原始得分经常全班最高也只有七八十分,但最后计分总是按正态分布转化为“标准分”。

所以大岳老师的考场上气氛总是非常惨烈,人人满脸雪白的做题。一交卷,大夥各个吓得说不出话来,没人敢肯定自己及格了,更有同学绝望的叹息好像一道题也没做出来。但几天后一出分,纷纷松了口气,还都不算糟,比之前想象的好太多。

当时用的教材是康奈尔大学Durrett教授编写的概率论。当然,大家都是从北大图书馆借了之后全本复印盗版。


这一关过了之后,再往后学随机过程,随机分析,鞅等等理论就比较顺。这些知识在金融数量分析中很有用,今天我还为此受益。

不过再往后运气就没那么好了。我出国读博士时从概率方向转到了算子代数方向,从走职业数学之路的角度看,这是一步重大的失误,臭棋,very bad move。因为不仅隔行如隔山,在数学里隔方向如隔山,方向转了一点点,上了别的分支,跨栏就得重新跨起。

而这一次就没跨过去,因为这个栏比之前的两个栏高了许多。算子代数其实是无穷维空间上的线性代数。而正因维数无穷,他们有在有限维空间完全不具备的各种非常奇怪,难以想象的性质。你必须对这些性质掌握的一清二楚。

这次感觉是不折不扣的撞上了墙,对无穷维空间无从把握,只好拿之前线性代数中学过的有限维空间性质去比拟,结果想出来的全是错的。心力交瘁,度日如年,不堪回首。

至於教材,好像长成这样。看到这个封面,对我都非常之traumatizing。


万幸的是,经过一年多的无效努力后,我终於面对现实,确认自己达到了智力极限。利用之前概率论的老本乖乖的转学了统计。

这下子轻松多了,一切都很容易,还经常在学校给一起上课的同学们(一般比我年轻一些,因我上学期间曾各种折腾)讲数学题显摆。后来随大流来到纽约华尔街给银行当数量分析师(或曰矿工),没挣到大钱,但工作轻松,收入满意,很感激当年及时止损撤退,没有自己和自己作对下去。

当然,我跨的这几个栏和做更艰深数学方向的同学没法比了。比如做算术代数几何的同学要熟悉天书一般的SGA/EGA──不说里面的实质内容,光是学会使用那种表述方式(“语言”)就得投入两年时间。当时和我同宿舍的另两位同学现在已是杰出数学家,当年我清楚记得他们时不时吐出“XX上同调”等词汇时我头皮发麻的感觉。现在时有从媒体上看到当年的老友们在数学前沿取得各种成就的消息,也会无耻的觉得与有荣焉。

回头看看,我的数学之路虽然没走通,但这一路上的经历让我受益无穷。

首先,当年积累的数学知识和解题技巧让我还算轻松的找到自己满意的工作,但这远远不是主要的──毕竟如果我一开始就学习了更热门一些的专业如计算机并早点进入市场,今天从经济收入上看也可能更高。

更重要的是数学对我思维方式的训练。数学推理是高度逻辑的,不得有任何疏漏。要能把握数学理论,又必须从各种表象抓住内里的本质。这两件事情塑造了我的思维,影响到后来我对一切事务的思考和分析,包括如今对美国社会问题的观察。

不过,并不是说凡是学过数学的人都会用这种一种特别的思维方式看待其他领域的问题。这需要主动的,有意识的将数学思维引入其他领域,并做出必要的调整和整合。

基於我的这些经验,如果有(还没有)年轻的朋友问我是否该尝试专业数学,我的建议是:只要有兴趣就可以尝试,看看自己能跨过几个栏。

唯一需要注意的只是,一旦发现某个栏跨不过去了,及时撤退转向就好──凭你积攒起来的技能和训练出来的思维方式,下公司工作挣钱机会是很多的,不必有任何后顾之忧。

哦对了,还有最重要的一点要说。北大是个好学校,北大数学系更是个好地方。真对数学有兴趣的年轻朋友该去那里。




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