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数学漫画 (廿六) 拉马努金的1729和的士数 精选

已有 2223 次阅读 2019-10-22 07:55 |个人分类:谈数学|系统分类:图片百科| 拉马努金, 1729, 的士数, 数学, 漫画

作者:蒋迅

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上面这幅卡通画说的是一个拉马努金的著名故事:在拉马努金病重期间,研究数论的英国数学家哈代(G. H. Hardy)前往探望。哈代说:“我乘的士来,车牌号码是 1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。”拉马努金答道:“不,那是个很有趣的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中, 1729是最小的。”(即 1729 = 13 + 123 = 93 + 103,后来利特尔伍德(John Edensor Littlewood)回应这宗轶闻说:“每个整数都是拉马努金的朋友。”

再后来,人们把象1729这样的能以 n 个不同的方法表示成两个正立方数之和的正整数称为的士数,也称为哈代-拉马努金数。最小的能以 n 种方式写成两个正立方数之和的正整数称为第 n的士数taxicab number)。一般写作 Ta(n) 或 Taxicab(n )。於是,Ta(2) = 1729。1938年,哈代与爱德华·梅特兰·赖特(Sir Edward Maitland Wright)证明了,对于所有正整数 n,这样的数是存在的。可是他们的证明对寻找的士数毫无帮助,截止到现在,人们只找到6个的士数:

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Ta(3) 是1957年找到的,Ta(4) 是1991年找到的,Ta(5) 是1999年找到的,Ta(6) 是2003年找到的。恐怕以后的寻找需要借助于众多计算机合作。

还有一类增加一定限制的的士数:无立方因子的士数(cubefree taxicab number),也就是说,一个的士数不能含有除了13之外的立方因子。对於无立方因子的士数,当它被写成 x3 + y3 时,xy 必须是互素的。按照这个定义,上面的6个的士数中只有 Ta(1) 和 Ta(2) 是无立方因子的士数。但是 Ta(3) = 87539319 = 33×3242197 不是一个无立方引子的士数。1981年,美国的一位数学研究生保罗·伏伊塔(Paul Vojta)找到了最小的能用三种方式写成两个立方数的和的无立方因子的士数

15170835645 = 5173 + 24683 = 7093 + 24563 = 17333 + 21523

而最小的能用四种方式写成两个立方数的和的无立方因子的士数是2003年找到的:

1801049058342701083 = 922273 + 12165003 = 1366353 + 12161023 = 3419953 + 12076023 = 6002593 + 11658843

以上的所有讨论都源于拉马努金的1729。2012年12月22日,Google在印度地区发了一张谷歌涂鸦 (Doodle),以纪念这位传奇印度数学家:

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