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石头剪刀布的一个推广 精选

已有 5232 次阅读 2018-2-2 08:27 |个人分类:谈数学|系统分类:教学心得| 游戏, 石头剪子布, 数学

蒋迅

“石头剪刀布”是一个我们从小就用,而且至今可能还在用的一个决定谁先谁后的手段。在有些游戏中,取得先行权对於取胜起到关键作用,所以如何在“石头剪刀布”中赢对方就是一个重要的策略问题。

“石头剪刀布”的规则是:两个玩家先各自握紧拳头,然后其中一人或者两人一起共同念出口令,在说完最后一个音节的同时,两个玩家出示自己心中想好的手势(“石头”、“剪子”或“布”)。中国的流行规则是:

  • 石头:握紧的拳头。

  • 剪子:中指和食指伸直,其余手指握紧。

  • 布:五指伸直,张开手掌。

每一个手势代表一个“武器”,互相克制的原则是:

  • 剪子被石头砸碎(石头胜利);

  • 布被剪子剪子开(剪子胜利);

  • 石头被布包裹(布胜利);

  • 如果双方出示了一样的手势,就是平局。

关于“石头剪刀布”的起源有两种说法。一种是说起源于中国,主要是由明朝人所写《五杂组》记载最早剪子石头布是起源自汉朝的手势令与豁拳,然而中国所谓的豁拳是否是指猜拳,这仍待考证。另外一种比较有直接证据的说法是起源于日本19世纪,相关资料可见由日本国立民族学博物馆所出版的文献。日本明治时期开始传入中国,到了二十世纪剪子石头布的游戏开始传到了欧洲与美国,而欧美都称剪子石头布的游戏是"日本游戏"。

从数学上来讲,最优玩法(根据博弈论)其实就是一种随机的选择,因此,当排除心理因素后,这是一个简单并且直观的游戏,就如同和计算机玩一样。但是,这里所说的“最优”是指不存在有比期望的随机概率更好的玩法。然而,对手如果不是采用“最优”策略,而是采用某种“次优”策略的话,采用随机玩法并不一定是最好的玩法。事实上,如果对手是人或者非随机程序的话,那么几乎可以肯定他采用的是某种“次优”策略,这种情况下,针对对手的弱点可以设计出一个更好的策略。基於这种思路而设计的Roshambot计算机程序,轻松击败了人类玩家(甚至包括它的开发者Perry Friedman,他曾经在2001年8月击败7名对手,包括前世界扑克大赛冠军Phil Hellmuth,并赢得800美元的奖金)。阿尔伯塔大学的扑克选手Darse Billings组织了一个Roshambot程序大赛,希望能够通过这种活动研究这些的非随机的概率,以及它们在计算机游戏中的其他各种应用(例如,在扑克游戏中,发掘推测对手各种非随机出牌模式是游戏过程中的一个重要策略)。

11岁的爱丽丝·马克莲在2005年提出了一种引人注意的出拳策略。当时克里斯蒂拍卖公司和苏世比(索斯比)拍卖公司协商,决定采用“石头-剪子-布”这种游戏来决定如何对珍贵的古董进行分配。爱丽丝的父亲尼古拉斯当时是克里斯蒂的一名雇员,他向女儿征询了一些意见。后来根据记者报导,爱丽丝的策略可以归结为以下几个法则:“谁都知道你该先出剪子。出石头太明显了,而剪子能够赢布”。於是尼古拉斯出剪子胜出。

浙江大学、浙江工商大学和中科院理论物理研究所的研究人员在网络上发表了研究的报告,其报告指出,通过实验发现石头、剪子、布的一个制胜策略。研究人员一共招募360名实验者,并把他们分为六组,而后随机配对玩石头、剪子、布游戏,共计300轮,每一轮中获胜的实验者能够获得一定的奖励。研究人员观察使用实验者之策略,从中发现获胜者以及失利者在其游戏中习惯使用的策略,并作出分析、研究。研究人员总结出了赢家保持现状输家做出改变的策略。即是,如果是输家,下一轮换一种出手;如果是赢家,下一轮不要用原来的。简单的说,用剪子打败对手的布,那么下一轮就不要再用剪子,而应该用布,因对手很有可能会出石头。

石头、剪子、布具有数学上的非递移性(当A>B,且B>C,则可推知A>C)。一个集合同时具有反身性、反对称性与递移性时,可称作偏序关系,类似于“大”与“小”的关系。理论上,一个集合里较“大”的元素是比较接近最优化选择,可是,在这个集合里并不存在。因为石头、剪子、布都不具递移关系,如:石头赢剪子,剪子赢布、布赢石头。因为元素a、b、c都可传递到自己身上,所以这个关系可以称作非递移性。石头、剪子、布就好比以下的三颗骰子:

A: 2-4-9-2-4-9
B: 1-6-8-1-6-8
C: 3-5-7-3-5-7

若点数大者为胜,则A可以打败B,B可以打败C,C又可以打败A。

以上内容取自维基百科:石头、剪子、布 (Rock-paper-scissors)。对这样的研究,有些网友反击说:“这还需要你研究?”不服的人可以阅读松鼠会的文章:““石头剪刀布制胜策略”的研究,是浪费钱吗?”。对已经接受了这个研究重要性的人,我们可以再考虑一点点推广。

事实上,只要武器的数目是奇数,而且每一件武器都能击败正好余下的一半武器,且被另一半击败,那么就可以形成一个新的游戏。这样的游戏可以减少平局的机率,而且增加游戏的复杂程度。下面我们来看一个基於石头剪刀布的有五样武器的游戏:石头-剪刀-布-蜥蜴-史波克 (rock-scissors-paper-lizard-Spock)。其中的史波克是《星际旅行》的一个外星人主角,也出现自《星际迷航》及一些小说、漫画和电子游戏中。新加入蜥蜴和史波克后的规则是:

  • 剪子切断布;

  • 布包住石头;

  • 石头砸死蜥蜴;

  • 蜥蜴毒死史波克;

  • 史波克踩碎剪子;

  • 剪子斩首蜥蜴;

  • 蜥蜴吃掉布;

  • 布证明史波克不存在;

  • 史波克融化石头;

  • 石头敲坏剪子。

注意“石头-剪刀-布-蜥蜴-史波克”其实应该称为“石头-布-剪子-史波克-蜥蜴”,因为这样才符合它们的顺序。

这样推广之后,我们就可以考虑更广义的制胜策略和计算机编程等问题了。




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