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关于分形与自相似的一些笔记
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最近在研究复杂网络的分形和自相似问题时遇到了很多困惑，在这里把思路整理一下。
基本理论
分形理论首先是一门数学，但由于可作为描述系统科学中很多问题的强有力工具因而被视为一种重要的系统理论。传统的几何学只研究规则齐整的形状，即“整形”。但是现实世界中存在大量不规则、不整齐的琐碎形状，因而简单性科学是无法描述他们的，这样的复杂几何现象引起了人们的注意并由此诞生了分形几何学，分形理论逐步发展成熟。
大自然中存在着大量的分形现象，我们称之为“自然分形”。一个典型问题即为Mandelbrot提出的“英国海岸线有多长？”由于海岸线是由大大小小的曲折嵌套而成的，所以不同的测度单位会带来计算结果的巨大差异。同样，山川河流也都具有分形特征，主脉分出支脉，大支脉嵌套小支脉（或支流）。山的表面既不是平面也非光滑曲面，同样，水的表面也不是绝对平面。
数学家用数学的方法造出的分形则称为“数学分形”，比如对某个规则整形按照一定的规则进行变换，以产生更多更深层次的细节，使得图形越来越纷繁、琐碎、复杂。典型的例子有康托尘埃、科赫曲线、谢尔宾斯基垫子、谢尔宾斯基海绵等等。这样的生成规则也不一定是完全确定的，可以加入一定的随机因子，按照概率使用某些规则，可以生成更复杂同时更接近自然分形的图案来。
分形与自相似
分形至今没有一个严格的定义，常用通俗的描述来解释分形。一般认为，分形具有不规整性、层次嵌套性和自相似性。
按照Mandelbrot 的定义，fractal is "a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole "(Mandelbrot, B.B. 1982)。这样的定义就默认了分形特征是一种“a property called self-similarity”，也就是说“分形”中包括了“自相似”。
所谓自相似，是一种尺度变换下的不变性(scale-invariance)，即在不同尺度下观察分形可以看到近似相同的形象，若把整个对象的局部放大，再把局部的局部放大，都可以看到相似的结构特征。但是这种自相似并不像整形的相似那么严格，允许相似中的不相似，不需要也不可能完全相同。比如，科赫曲线，整体是闭合的，但任一部分都不是封闭曲线。分形自相似意味着部分与整体有一样的复杂性：一样曲折、琐碎、纷乱、不规整、不光滑。并且，分形的部分与部分之间也是相似的。“山重水复疑无路”就是从审美的角度对山水分形中的自相似的描述，以至于让外人只看到相同之处而难以了解细微的差别，便生出迷路的疑惑。
整数维与分数维
我们都知道传统几何中点、线、面、体分别是0、1、2、3维的，这里的维数都是非负整数，故称为整数维或者拓扑维。但是分形几何对象的独特属性是不能用整数维来描述的，特别是其不规则性和复杂性，如科赫曲线在性质上不同于一维曲线但也远非二维的面。因此，Mandelbrot引入分数维来刻画分形对象的不规则程度和复杂性程度。设为b几何对象，a为单位线段，令D为分数维，定义
，则D=logb/loga。
，则D=logb/loga。分形时间序列
查到的关于分形时间序列的文献大多是金融时间序列，这是已被公认为分形布朗运动的一种时间序列。分形布朗运动是统计自相似的，具有长期记忆性的，也就是说有一种记忆效应使得未来的变化趋势与现在相同。这种长期相关性可由相关指数Hurst指数表征，当H=0.5时，序列是完全随机的；当H>0.5时，序列具有长期相关性，未来的发展趋势倾向于和过去相同；而当H<0.5时，序列是反相关的，未来的发展趋势倾向于与过去相反。分形维数可由Hurst指数求出，定义：
时间尺度分形维：Df=2-H.
概率空间分形维：Dp=1/H.
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