chenchuanfa的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/chenchuanfa

博文

[转载]向量的旋转

已有 2913 次阅读 2013-5-25 09:04 |系统分类:科研笔记|关键词:旋转,的| 旋转 |文章来源:转载

向量的旋转

基础的2-D绕原点旋转

在2-D的迪卡尔坐标系中,一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中,我们有关系:

  x0 = |R| * cosA

  y0 = |R| * sinA

  =>

  cosA = x0 / |R|

  sinA = y0 / |R|

  在右图中,我们有关系:

  x1 = |R| * cos(A+B)

  y1 = |R| * sin(A+B)

  其中(x1, y1)就是(x0, y0)旋转角B后得到的点,也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos(A+B)和sin(A+B),得到

  x1 = |R| * (cosAcosB - sinAsinB)

  y1 = |R| * (sinAcosB + cosAsinB)

  现在把

  cosA = x0 / |R|

  sinA = y0 / |R|

  代入上面的式子,得到

  x1 = |R| * (x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|)

  y1 = |R| * (y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|)

  =>

  x1 = x0 * cosB - y0 * sinB

  y1 = x0 * sinB + y0 * cosB

  这样我们就得到了2-D迪卡尔坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负:

  x1 = x0 * cos(-B) - y0 * sin(-B)

  y1 = x0 * sin(-B) + y0 * cos(-B)

  =>

  x1 = x0 * cosB + y0 * sinB

  y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB

  现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式,有一个概念我简单提一下,平面或空间里的每个线性变换(这里就是旋转变换)都对应一个矩阵,叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了,打住,不然就跑题了。

所以2-D旋转变换矩阵就是:

[cosA sinA] [cosA -sinA]
[-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]

  我们对点进行旋转变换可以通过矩阵完成,比如我要点(x, y)绕原点逆时针旋转:

[cosA sinA]
[x, y] x [-sinA cosA] = [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
为了编程方便,我们把它写成两个方阵

[x, y] [cosA sinA] [x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA]
[0, 0] x [-sinA cosA] = [0 0 ]

也可以写成

[cosA -sinA] [x 0] [x*cosA-y*sinA 0]
[sinA cosA] x [y 0] = [x*sinA+y*cosA 0]

三、2-D的绕任一点旋转

  下面我们深入一些,思考另一种情况:求一个点围绕任一个非原点的中心点旋转。

  我们刚刚导出的公式是围绕原点旋转的公式,所以我们要想继续使用它,就要把想要围绕的那个非原点的中心点移动到原点上来。按照这个思路,我们先 将该中心点通过一个位移向量移动到原点,而围绕点要保持与中心点相对位置不变,也相应的按照这个位移向量位移,此时由于中心点已经移动到了圆点,就可以让 同样位移后的围绕点使用上面的公式来计算旋转后的位置了,计算完后,再让计算出的点按刚才的位移向量 逆 位移,就得到围绕点绕中心点旋转一定角度后的新位置了。看下面的图



现在求左下方的蓝色点围绕红色点旋转一定角度后的新位置。由于红色点不在原点,所以可以通过红色向量把它移动到原点,此时蓝色的点也按照这个向量移动,可 见,红色和蓝色点的相对位置没有变。现在红色点在原点,蓝色点可以用上面旋转变换矩阵进行旋转,旋转后的点在通过红色向量的的逆向量回到它实际围绕下方红 色点旋转后的位置。
在这个过程中,我们对围绕点进行了三次线性变换:位移变换-旋转变换-位移变换,我们把它写成矩阵形式:
设红色向量为(rtx, rty)

[x y 1] [1 0 0] [cosA sinA 0] [1 0 0] [x' y' -]
[0 1 0] x [0 1 0] x [-sinA cosA 0] x [0 1 0] = [- - -]
[0 0 1] [rtx rty 1] [0 0 1] [-rtx -rty 1] [- - -]

  最后得到的矩阵的x'和y'就是我们旋转后的点坐标。

 

 



http://blog.sciencenet.cn/blog-41149-693286.html

上一篇:饿
下一篇:[转载]点云数据收集链接

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-8-26 17:11

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部