“有成分不惟成分论，重在政治表现”用在概率论身上倒也蛮贴切。众所周知，概率论出身卑微，连三教九流中的下九流都算不上，它出生之后的相当长一段时间内不受人待见并不奇怪。不过它不能登堂入室倒也不能完全责怪生它的妈—赌场，还有一个很重要的原因，那就是概率论缺少一个严格的数学基础。

概率论最早可以追溯到17世纪中叶，一个名叫Mere的法国职业赌徒向数学家Pascal（帕斯卡）提出了所谓的“Mere”问题，Pascal挺谦虚，并没有以自己是神圣的数学家自居，居然与Fermat（费马）一起互通信件研究起了这位赌徒的问题。其后的几百年间，概率论虽然取得了不少的成绩，并且不乏很多大人物发明的新鲜玩意，尤其是微积分的诞生犹如给概率论注入了一针兴奋剂，然而它始终难以摆脱尴尬的处境。伟大的Hilbert先生起了恻隐之心，打算拯救概率论，在1900年的国际数学家大会上，他提出的23个著名问题中的第六问题就是与概率论有关的，他希望能给概率论建立起良好的基础，让他成为名副其实的数学。

救活概率论的人是一个名叫Kolmogorov（科尔莫哥洛夫）的东欧洋鬼子，他于1933年出版了一本名叫《概率论基础》的书，在这本书中建立起了概率论的公理化系统，从而使得概率论成为一门严格的演绎科学，终于可以与其它数学学科平起平坐，再也不必在各大数学分支面前觉得没脸见人了。

知道一点历史的人都知道，科尔莫哥洛夫赖以建立的概率论公理系统的基础是测度论，换句话说，概率是一种特殊的测度，称之为概率测度。它与实分析中另一个重要概念的关系甚为紧密，这个概念就是实变函数论中鼎鼎大名的有界变差函数，这也是这里要先扯扯概率论的缘故。

什么叫有界变差函数？顾名思义，函数在某一个范围内跳跃的总和是有限的，与概率论中的分布函数不同，有界变差函数可能是“起伏不定”的，即有可能向上“跳跃”也有可能向下“跳跃”，要准确刻画其“跳跃”的总和自然需要看它的“绝对跳跃”度。具体地说，所谓有界变差函数指的是这样一类函数：

定义1：设y=f(x)是定义在[a, b]上的函数，如果存在正数M，使得对于区间[a, b]的任一分割：

   Δ: a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b

有

              $\sum _{i=1}^{n}|f(x_i)-f(x_{i-1})|\le M$

则称y=f(x)是[a, b]上的有界变差函数。记

                                              $V_{a}^{b}(f)=sup_{\Delta }\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|$ ,

称之为f的全变差。

有界变差函数的全变差有着不少与积分类似的特征，教学上没有多少难点。初看此定义似乎与分布函数风马牛，然而你若仔细考察一下分布函数的特征就会发现，分布函数是(-∞，+∞)上取值不超过1的单调递增的非负右连续函数，显而易见，任何闭区间上的单调递增函数是有界变差函数，所以分布函数是任意有限闭区间上的有界变差函数。

为啥要引入这个有点莫名其妙的有界变差函数？说来话长，它最早是Jordan为了研究曲线长度引进的。如果你学过微积分的话，你该知道，当一个函数连续可微时，是可以利用Riemann积分计算它的弧长的，还记得弧长公式吗？闭区间上是否只有连续可微函数的曲线才是可求长的呢？或者说，如果一条曲线是某个函数的图像，它可求长的充要条件是什么？这个条件正是有界变差函数。当然，如果有界变差函数仅仅充当了保证曲线可求长的角色，它也就没有如此大的魅力了。与有界变差函数相关的另一个重要问题是Newton-Leibniz公式成立的充要条件是什么？不难找到这样的反例：一个函数即使几乎处处可导，其导函数未必可以还原这个函数，换句话说，Newton-Leibniz公式可能不成立，这就引出了另一类更特殊的函数：绝对连续函数。

定义2：设y=f(x)是定义在[a, b]上的函数，如果对于[a, b]内的任意有限个互不相交的开区间（a_i, b_i），i=1,…,n，当 $\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)\rightarrow 0$ 时，有

$\sum _{i=1}^{n}|f(b_{i})-f(a_{i})|\rightarrow 0$ ,

则称y=f(x)是[a, b]上的绝对连续函数。

不难证明，绝对连续函数是有界变差函数，它是使得Newton-Leibniz公式成立的唯一函数类。

从有界变差函数过度到绝对连续函数的教学在逻辑上是自然的，没有任何困难，以Newton-Leibniz公式成立与否作为媒介就可以。但大多数的教材并没有将有界变差函数的来龙去脉交代清楚，往往注重在证明的细枝末节上，所以教师需要重点讲清楚如下几个问题：

1、为什么会出现有界变差函数？这个问题在上面已经做了简单介绍。

2、有界变差函数与分布函数之间的关系是什么？实际上有界变差函数中真正难以处理的部分是奇异部分，即导数几乎处处等于0的函数，例如(-∞，+∞)上最大值为1的非负右连续阶跃函数就是个奇异分布函数。如果所有的分布函数都可以写成Riemann积分或Lebsgue积分的形式，也许概率论就不需要测度论了，但老天爷总是爱捉弄人，很多时候必须“将简单问题复杂化”。搞清楚有界变差函数的结构，分布函数的结构自然就清楚了。

3、有界变差函数的结构性分解。分解包括两类，一类是Jordan分解，即任何有界变差函数可以分解成两个单调递增函数之差；另一类是Lebesgue分解，即任何有界变差函数都可以分解成绝对连续函数与奇异函数之差。Jordan分解定理没有多少难度，但Lebsgue分解的证明有技术上的难度，可以结合直观分析进行。有界变差函数的Lebsgue分解是抽象测度的Lebsgue分解定理的基础，讲不清楚这个分解，就很难搞清楚抽象测度的Lebsgue分解定理的本质，也难以理解为什么要定义Lebsgue-Stiljes积分。