导师培养学生主要是培养其科学研究能力，似乎没有听哪个导师说起怎样培养学生的教学能力。

教学能力需不需要培养？适合在什么时期培养？怎么培养？这也许是我们应该关心的问题。我听了太多年轻教师的课，说实话，能让人惊喜的不多。在我看来，教书虽然也要看天赋，但后天的培养也很重要。在一定程度上，教书与口才未必成正比例关系，你口才好，滔滔不绝，未必能讲好一门课。有些人可能对我的观点不感兴趣，那我还是先给你介绍一个具体的例子吧，然后你再判断导师有没有必要教学生怎么教书。

这学期有两门博士生的课，其中一门多复变，我让学生轮流主讲，今天讲到了流形与子流行，我相信主讲的学生对流形与子流形的概念是理解了，可当我问他能不能举一个流形与子流形的简单又直观的例子说明子流形到底是个什么东西时，学生卡住了。流形是个比较抽象的概念，按照一般教材上的定义，初学者很难理解其本质，不信我说给你听，看你能理解多少。

定义：假设M是(Hausdorff)拓扑空间，{U_i}是一簇开集，满足

(1)∪U_i=M;

(2)对任意i,存在U_i到欧氏空间Rⁿ中开集的同胚影射f_i，使得U_i∩U_j≠Φ时，f_iоf^-1_j是f_j(U_i∩U_j)到f_i(U_i∩U_j)的C^k映射，这里C^k表示f_j(U_i∩U_j)上的k阶可微函数，{(U_i，f_i)}称为M的局部坐标。

称M是C^k阶（实）流形。简单地说，流形就是局部欧氏空间。

    叙述上或许与标准定义有所不同，但意思一样，有几个能理解这个概念？

具有一定的抽象思维能力的人对这个概念的理解并不困难，但我们不能指望大多数初学的学生能轻而易举地理解它，这就需要教师提供帮助。我对学生说：“读书与教书有很大差别，教书要站在更高的层面上理解一个概念，那样才能看清一件事情的本质，我们在教书时常常要做两件事，一是从具体到抽象引入一个概念，二是从初级到高级开拓学生视野。例如我们介绍积分常常是先从熟知的面积问题开始，但积分过后可以从更高的层面上理解积分，这就是新型的函数与积分，前者帮助学生理解积分，后者开拓学生视野。读书面对的是新的概念、新的理论，所以侧重点在返璞归真，将抽象的东西具体化，这样可以帮助我们直观地理解一个概念。流形的最简单例子是欧氏空间中的球面，球面的最简单子流形是球面上的圆周，想想看，局部坐标相当于什么？相当于把球面剪成一个个小块，每个小块都可以铺成一个平面，剪这些球面时，球面上的圆周也被剪开了，这些圆周被剪成了一个个的小线段，放平了就是一个个的直线段，这个剪的过程就相当于上述定义中的局部映射（不过要注意这是很不严格的解释，因为定义中的两个开子集可能相交），这就是流形与子流形的意思。”这样解释一下，你对流形的概念如果还不理解，只能说明你不是个学数学的料。

对概念的教学需要学会从抽象到直观，对定理的教学则要学会怎么发现，怎么分析。例如，学生讲到了解析函数的零点集以及“thin”集（薄集），直观地说所谓薄集就是若干解析函数的零点集粘贴起来的。学生证明了薄集一定是个零测集，我马上打断他：“由此你想到什么？在单变量时解析函数的零点集是什么样的？多变量情形能像单变量搞得那么清楚吗？例如，一个零测集是否必为某个解析函数的零点集？是否必为薄集呢？”通过对这些问题的思考，学生对薄集的理解自然深化了一步。

如果我们读书时用挑剔的眼光、带着问题去读，是不是对我们未来的教书会有所帮助呢？