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说课(6)(从逐点收敛到一致收敛)--实变函数 精选

已有 21555 次阅读 2011-4-29 10:47 |个人分类:教育点滴|系统分类:科普集锦|关键词:编辑器,style,文章,符号| 文章, style, 符号, 编辑器

    写这篇博文不太容易,本想用编辑器,可总有些符号出不来,只好用Word文档照贴过来,好不好看就这样了。要看懂这篇文章需要一定的基础,但以思想方法论,本文是实变函数的精髓部分。

    可测函数这一章包含一些精彩的思想与基本技巧值得学习。可测函数的定义与可测集的定义一样是件很自然的事,这一章的重点在于可测函数列的收敛性与可测函数的结构,通俗地说,可测函数列按什么方式收敛?可测函数都是些什么样的函数?

定义可测函数有两种基本的方法,一种是根据Lebesgue积分的定义自然诱导出可测集,另一种是先定义特殊的可测函数然后做逼近,通常在定义可测函数时会讨论这两者的关系从而证明它们是等价的。

关于可测函数最精彩的结论有两个,其中之一是如何由(几乎)处处收敛的函数列得到一致收敛的函数列,这个问题的重要性是不言而喻的,一个函数列一旦一致收敛,积分与极限的交换顺序问题、求导与极限的交换顺序问题以及级数的求和问题都变得简单了。能从(几乎)处处收敛想到一致收敛的人很伟大,因为一般人不敢相信从处处收敛能得到一致收敛。这个伟大的人是谁?他就是叶果洛夫,这个定理称为叶果洛夫定理,如果说叶果洛夫定理是Lebesgue积分理论的基石恐怕不算过分。事实上,无论是运用连续函数逼近可测函数的鲁津定理还是Lebesgue控制收敛定理,其基本的证明思想都离不开叶果洛夫定理。这一点也不奇怪,因为连续函数序列的一致收敛极限仍是连续的,一致收敛的可积函数列其极限与积分可以交换顺序。作为最强的一种收敛性,其极限函数最大限度地遗传了函数列的性质。无论是结论还是证明的思想,叶果洛夫定理都堪称经典与精彩,在许多后续问题的处理中都运用了叶果洛夫定理的证明思想。

我想即使不是做数学的人大概也对这样的定理极其感兴趣,因为你在过去的研究中肯定曾经为极限问题伤过脑筋,你也许曾经期盼过:“要是这个函数列一致收敛多好啊”,现在我就来告诉你如何做到一致收敛,这也是我们的任课教师在课堂上应该教给学生的。

在得到叶果洛夫定理前先让我们适应一下如何用集合的语言描述函数或函数列的性质,这是学习实变函数的诀窍,你如果善于在集合的语言与分析的语言之间相互转换,那学习实变函数对你就不是一件难事。假设{fn}是可测集E上的可测函数列,fE上的可测函数,所谓{fn}E上几乎处处收敛到f指的是存在E的一个零测度子集E0,使得fnE-E0上处处收敛到f。企图让fnE或者E-E0上一致收敛是不可能的,我们只能考察fn 是否存在一致收敛的子列,或者将fn限制在一个比EE-E0小的集合上使得fn在这个集合上一致收敛,但这个更小的集合不能比原来的集合小太多,否则即使得到一致收敛性也可能没有多大价值。

从何入手呢?这就需要运用集合的语言来重新描述一下函数列不收敛的那些点了,这个问题初看似乎并不复杂,按如下方式就可以:

E1=E{x|fn(x)不收敛到f(x)}

问题是啥叫fn(x)不收敛到f(x)?这又回到微积分中的N-ε语言了,N-ε语言的重要性不需要我多说大家都知道,没有它你无法进行极限的量化论证,因此有必要将极限的N-ε语言转换成集合的语言,完成了这一步,接下来的事情就好办了。

回顾一下如何用N-ε语言描述不收敛:我们说fn(x)不收敛到f(x)是指存在ε0>0,对任意自然数N,存在nN>N,使得

|fnN(x)-f(x)|> ε0

应该注意的是,对不同的xE1nNε0可能各不相同,我们暂且将上述不等式表示成集合的形式:

E{x||fnN(x)-f(x)|> ε0}

接下来的任务是如何将“对不同的xE1nNε0可能各不相同”在集合中体现出来?对任意的N,存在nN>N用集合的语言如何表达?存在nN>N是说对某个nN>N,不等式|fnN(x)-f(x)|> ε0成立,所以x应该在并集n>N E{x||fn(x)-f(x)|> ε0}中。而上述不等式对任意N都成立,所以x应该在交集Nn>N E{x||fn(x)-f(x)|> ε0}中,这个集合把NnN以及ε0的关系反映出来了,但是还有一个因素没有考虑到,这就是对不同的xε0可能是不同的,按理说,应该再将不同的ε0对应的集合并上,即构造集合

∪ε0Nn>N E{x||fn(x)-f(x)|> ε0}

上述集合的确表示了所有不收敛的点构成的集合(你能验证吗?),但可测性出了问题,在上面关于ε0的并中,由于ε0可能有不可数多个,如何能保证不可数多个可测集的并集还是可测的?所以上述集合的并运算需要可数化。不管ε0是何正数,总存在自然数k,使得ε0>1/k,从而当|fn(x)-f(x)|> ε0时必然有|fn(x)-f(x)|>1/k。反之,如果对任意自然数N,存在nN>N,使得 |fnN(x)-f(x)|>1/kfn(x)当然不收敛到f(x),可见函数列不收敛的点集可以改写成:

E{x|fn(x)不收敛到f(x)}=kNn>N E{x||fn(x)-f(x)|> 1/k}

这个表示式在整个定理的证明中发挥了至关重要的作用。试试看,通过对上述集合的分析以及一致收敛的N-ε语言如何寻找一个与原来集合的测度相差不大的子集,使得函数列在这个集合上一致收敛?如果你能找到,你就发现了叶果洛夫定理,你比叶果洛夫也就平凡一点点而已。

这里先卖个关子,倘若你绞尽脑汁依然摸不着头脑,那就耐心等待下回分解。



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