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谈谈数学
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数学是什么？中学数学教学大纲中有一个定义：数学是研究空间形式和数量关系的科学。也就是说，数学是刻画客观规律的科学。这是否可以看作关于“数学是什么”的一个完善的定义呢？其实，关于数学是什么的问题，讫今并没有一个统一和严格的定义。在谈这个问题之前，我想先介绍几个例子，这些例子或许会给出上述问题的某种提示。
在二次世界大战前，世界上没有一个飞行员敢做垂直于地面的圆周飞行，直到后来一位前苏联数学家从数学上证明了上述飞行的可行性，最终才由前苏联的飞行员完成了第一次飞行。
1985年的诺贝尔化学奖获得者郝特曼(Hauptman)其实不是个化学家。早在上个世纪初，化学家们就知道，当X-射线穿过晶体时，光线碰到晶体中的原子而发生散射或衍射。当他们把胶卷置于晶体的后面，X-射线会使随原子位置而变动的衍射图案处的胶卷变黑。化学家们为难的是，他们无法准确地确定晶体中原子的位置。原因在于X-射线也是波，它们有震幅和相位。这个衍射图只能探清X-射线的震幅，却不能探测相位。四十多年后的1950年前后，郝特曼意识到，这件事可以转换为一个纯粹的数学问题。果然，他借助100多年前的付里叶(Fourier)分析，找出了决定相位的方法，并进一步确定了晶体的几何。结晶学家只见过物理现象的影子，郝特曼却利用古典数学从影子来再现实际的现象。也许有些人不知道，郝特曼一生只上过一门化学课，即大学一年级的化学，可他却因此项工作获得了诺贝尔化学奖。
柯郎与希尔伯特(Hilbert)合著的书《数学物理方法》（该书实际由柯朗所写，有中译本）在早期只有数学家们感兴趣，物理学家们不屑一顾。可是，当物理学家们对苦思苦想了很多年而不得其解的方程无可奈何，不得不求助于数学家时，发现这本书中的理论比他们所期望的解答还要好。
类似的例子不胜枚举。这些例子告诉了我们什么呢？数学决不仅仅是一种方法，一门“技艺”，她更是一种思想、一种理念。自然科学也好，社会科学也罢，尽管其研究的对象、角度各不相同，但在方法论意义上，她们是相通的。对于熟悉现代经济学的人来说，对策论、控制论、时间序列等这些本来应用于自然科学研究的数学理论已不再陌生。事实上，不了解这些理论，就不可能真正懂得现代经济学。可以说，数学是一切科学研究中普遍适用的框架。数学教会我们一种科学的思维方法，赋予我们一个严谨的思辩头脑。著名的数学家与数学教育家哈尔莫斯(Halmos)讲过这样一句话：“具备一定的数学修养比具备一定量的数学知识要重要得多。”从这个意义上说，数学教育的根本目的并不在于让你掌握多少数学知识，最重要的在于培养你一双敏锐的眼睛，善于从纷乱复杂的自然现象中发现有规律的东西，学会以丰富的科学语言、严谨的思辩头脑和科学的研究模式去探索世界的奥秘，进而作出发明和创造。这就是数学，也是数学素质教育的目标所在。
数学是什么？在不同时期，人们对这一问题的回答各有不同，对于前辈们而言，“数学是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。”数学始终与物理、天文、化学相伴，有时，人们甚至分不清某个科学家是数学家，还是物理学家或天文学家，那时，数学是真正的科学皇后。今天，大多数的数学逃离了现实世界，数学和自然科学的迅猛发展使得如今的科学家们“在两个领域中都得心应手变得十分困难。”于是，数学家们立足于纯数学，以使问题的研究更简单，这使得人们对今天的数学更加不可捉摸。布尔巴基学派尽管是法国纯数学研究的代表，但他们也曾对现代数学提出了批评：
许多数学家在数学王国的一角占据了一席之地，并且不愿意离开。他们不仅差不多完全忽略了与他们的专业领域无关的东西，而且不能理解他们的同事在远离他们的另一个角落使用的语言和术语。即使是受过最广博的训练的人在浩瀚的数学王国的某些领域中也感到迷茫，像庞加莱和希尔伯特这样的人，几乎在每个领域都留下他们天才的印迹，甚至在最伟大的成功者中也是少而又少的极其伟大的例外。
在对数学的理解上从来就有两种相互对立的观点，一种观点崇尚追求数学自身的完美而发展起来的纯数学。另一种则相反，认为实用的数学才是好数学。也许探讨好数学与坏数学已经超出了本文的主题，不过上述两种观点反映了现代数学与现实世界之间有着难以逾越的鸿沟。当纯数学与自然科学的各个分支之间再一次建立起紧密的联系时，这种鸿沟或许会消失。然而，如果我们暂且不考虑这种鸿沟，而从哲学层面上来理解数学，则数学的理念、数学的思辩无疑对我们每个人（无论是数学家，还是自然科学家或社会科学家）都具有指导意义。特别地，她对于分析今天的数学教育目的、目标与数学教育内容具有重要意义。总之，数学的教育功能是毋庸置疑的。弄清数学教育的根本目的与目标对于每一个数学教育工作者来说都是头等大事，她将决定我们的教育理念与教育方法。
尽管数学有其抽象的特点，并且很多数学已经远离了自然与社会。但数学始终就像植根于土壤的参天大树，树梢虽远离土地，但始终从土壤中吸取养份，并反过来滋润土壤，为大地提供植被。认为数学特别是现代数学没有用的人恐怕有失主观臆断。柯朗与希尔伯特的书便是明证。泛函分析在量子力学中的应用也是有力的证据。最近，拓扑学家从数学的角度证明了生命科学家的一个重要猜测再次显示了现代数学的威力。
人们对于数学的认识与理解参差不齐，其原因是多方面的：
1．数学的抽象性与超现实性阻碍了人们对数学的理解。
人们对客观事物的了解开始于感性认识，能否将这种感性认识上升到理性，既取决于对客观事物的敏感性与洞察力，也取决于对客观现象的归纳与抽象能力。数学是培养这种洞察力、归纳及抽象能力的最好的载体。然而，由于数学是按照自身特有的逻辑体系及抽象方式发展的，她虽源于现实，但却超越了现实。对大多数数学而言，我们很难从教科书中找到某个定理或某个概念到自然科学或社会科学的直接应用。此外，数学的抽象性使得许多从事其它领域研究的科学工作者及普通老百姓对其望而却步，由于不了解，于是乎有些人便武断地认为，数学对于他们是没有用的。数学的这种抽象性与超现实性在阻碍人们了解数学的同时，也阻碍了数学在自然科学与社会科学中发挥更大的作用。
对于普通人来说，对数学的理解往往局限于实用性。对科学工作者来说，对数学的理解是一个相对复杂的问题。即使是一个数学工作者，也未必真正理解数学的本质。数学的本质涉及到诸多方面，既有数学哲学方面的，也有数学社会学方面的，还有数学文化学方面的。有人认为数学的本质是结构，也有人认为，数学的本质是演算，我不想在此问题上纠缠，她与我在这里想说的主题关系不大。我关心的是，能否在抽象性、超现实性与直观性、实用性之间寻找到一种平衡，使更多的人能更好地、更深刻地认识数学、理解数学？我以为，数学文化素质课的开设或许是达到该平衡的一个好方法。
2．缺少数学的审美观导致对数学理解的肤浅。
任何学科都有其独特的审美视角，数学的审美视角与文学、艺术大不相同，简单点说，文学与艺术的审美视角是形象化的、感性的，数学的审美视角是抽象化的、理性的。一个完全不懂艺术的人也知道一首歌好不好听，一张画好不好看（当然，抽象派艺术除外）。而一个没有数学修养的人无论如何也不可能读懂数学的美。数学的简单性、对称性、和谐性、统一性、抽象性等都是美的体现。数学的审美能力需要在不断的学习过程中培养起来。所以，将数学美学教育溶于数学课程教学过程中，对于提高学生的数学审美情趣，从而增强学习数学的热情与积极性不无帮助。
3．传统的数学观决定了数学教育观，从而决定了我们的数学教育方式。
自古以来，国人便将数学看作一门技艺，当成解决问题的一种技巧，于是，人们便认为，数学教育就是传授各种数学技巧与知识。多少年的数学教育一直围绕着如何让学生掌握各种解题技巧、熟悉各种数学知识进行。许多老师能够将一门数学课程的各种概念、定理及证明阐述得条理分明，却不向学生解释为什么要引入这些概念，它们是必需的吗？这些定理是如何发现的？它带给我们何种启示？如何从个别现象或特殊事件中发现一般规律？久而久之，人们对数学的理解便定格在“技艺”层面上。因此可以说，数学教育改革的根本任务并不在于课程内容的更新与改革，而在于数学教育理念的改变与数学课程内容的教育过程、教育方式的改革。
古往今来，数学一直在自然科学与社会科学研究中发挥着举足轻重的作用，如果我们细心地去翻阅名人传记或自然科学与社会科学史，你会发现，那些在各自的领域取得令人瞩目成就，在历史上留下足迹的科学家们大多具有非凡的数学修养。然而，数学在发挥她无可替代的作用的同时，却被一些人认为是人们在无所事事时玩的智力游戏，这对数学实在是不公。我不敢说对数学已有了深刻的理解，更没有以此文教育世人之野心，事实上要真正回答“数学是什么？”的问题决非本人力所能及，我不知道这个世界上有没有人能回答这个问题。只望本文能为一些人特别是我们的同学重新认识数学提供一点帮助。所幸的是，已经有越来越多的人认识到数学的重要性。但愿那些想了解数学的人多读一点数学史和自然科学史，相信对个人数学修养的提高不无帮助。
普罗克洛斯(Proclus)对数学有过一个很精彩的阐述，这是一段关于“数学是什么”的富有诗意的回答:
所以说
数学就是这样一种东西:
她提醒你有无形的灵魂；
她赋予她所发现的真理以生命；
她唤起心神,澄净智慧；
她给我们的内心思想添辉；
她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。
数学就是这样一种东西:
她提醒你有无形的灵魂；
她赋予她所发现的真理以生命；
她唤起心神,澄净智慧；
她给我们的内心思想添辉；
她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。
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