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从“复数”说起 精选

已有 12488 次阅读 2011-3-31 12:10 |个人分类:教育点滴|系统分类:科普集锦|关键词:office| office

数学教师该知道什么?这个问题很重要,也很严肃。

我们的数学教育从小学到大学都处在一种混沌状态,很多人包括改革者似乎并不知道数学教育到底该怎么进行,我们该教给学生什么,什么是真正的素质教育,我们改来改去始终没有跳出材料的重新组合与增减的怪圈。

    昨天给数学教育硕士做了个讲座,讲座纯属即兴的,事先没有做准备,只想了想讲什么主题,记得曾经听过中学教师关于“复数”的教学,就从“复数”开始。我首先介绍了那个老师是如何讲复数的,然后阐述了我的观点,我说道:“我们的中学教育一直陷在应试教育的泥潭中无法自拔,任何个人进行哪怕是一点点改革也要围绕着应试教育、如何提高学生成绩上做文章,否则你做再多的改革,如果升学率上不去,你就什么也不是。可是,如果中小学教育真的来个大的变革,你能不能适应?你知不知道真正的数学教育是什么?如果我们不做好准备,也许历史终将把我们淘汰。因此,作为即将走上中小学数学教育岗位的教师,应该认真思考一个问题:‘如何在应试教育与数学教育间寻找一种平衡?’目前,在中学,通常是一二年级把三年的课程全部讲完,三年级全力以赴复习迎考,这个现实是我们改变不了的,但我们可以在一二年级的教学上大做文章。就以复数为例,至少我们应该向学生讲清楚复数的产生以及它对自然科学与数学所带来的深刻影响,这样不仅提高了学生的学习兴趣,也潜移默化地教育学生如何发现问题、分析问题、解决问题,问题是我们对这些了解多少?我们能教给学生多少?从这个意义上说,数学教师的数学眼界与数学修养与数学研究工作者的眼界与修养同样重要。”接着,我介绍了复数的产生及后续的历史以及给数学、自然科学带来的重大影响。

复数最早出现在16世纪关于三次方程的研究(也有人认为更早),历史上人们普遍认为数学产生了三次危机:无理数的出现、无穷小概念的模糊不清以及集合论中产生的悖论。其实复数的出现也曾经引起数学界极大的争议,很多数学家不承认它的存在,莱布尼茨这样评论虚数:“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。欧拉则说;“一切形如i的数学式子都是不可能有的想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。”把复数与几何(向量)对应起来从而赋予复数几何上的解释应该归功于高斯,不仅如此,高斯还给复数定义了加法与乘法运算,从而使得复数可以像实数一样代数化。欧拉在十八世纪中叶提出了著名的欧拉公式:

cosx+isinx=e^{ix}

经过数学家们200多年不懈的努力并建立起完备的复数理论,才给复数这一数学上的幽灵揭去了神秘的面纱,使得它成为数系大家庭中的一员。

老师在引入虚数概念时完全可以将这些历史渊源向学生介绍,既可以让你的课堂趣味盎然,又增强学生学习的信心,知道历史上一个概念的产生是多么的不容易。更重要的是,通过对历史的回顾,让我们了解了复数在几何直观上表示什么?就以虚数单位i来说,它远不是代表纵轴上的点那么简单,因为我们还赋予了复数运算,如果结合i^{2}=-1来看,几何上i实际代表了旋转,实轴上的点a乘上i等于将该点旋转到了纵轴上,再乘一次i又转到了实轴上,相当于把点a旋转了180度,由此可见,i代表了逆时针方向90度的旋转。复数的运算也可以找到它的几何意义,特别是加法运算可以对应力的合成,这样学生就没有突兀之感了。

也许我们不必向学生过多地介绍复数给数学及自然科学带来的重大影响,但作为教师应该了解他们,在实际的教学过程中视情况决定讲到什么程度。接着我介绍了复数给数学带来的深刻影响,其中也包括傅里叶分析。很难想像,如果没有复数,函数论会有今天的辉煌,如果没有复数,函数论会与几何结合得如此紧密。如果没有复数,飞机或许不会那么早上天,水坝、水电站等技术问题的解决说不定会再晚若干年。

这里顺便再说说卷积,卷积作为一个数学概念,可以描述自然界很多常见的现象包括音乐。就以弹钢琴为例,且不说弹钢琴需要十指联动,就说这琴键敲击钢琴所产生的延时现象就是个卷积问题。钢琴的底部有三个踏板,如果你踩住其中一个,那么当你弹完一个音符再弹下一个音符时,前一个音符不会有延时现象,换句话说,你听到的是纯粹的第二个音符的声音,这就好比你敲锣时突然用手捂住铜锣,铜锣一下就哑巴了。仔细比较可以发现,如果没有前面音符的延时,你一定会感觉弹出的音乐有点呆板,缺少韵味,这种现象就可以用卷积来描述,这与系统的冲击响应是类似的。

卷积对数学带来的影响是深刻而巨大的,它不仅促使积分方程理论的产生,也给代数带来了重要影响。我们知道两个L^1函数的通常乘积不再是L^1函数,但两个L^1函数的卷积仍然是个L^1函数,于是卷积使L^1成了代数。在很多情况下,代数的单位元发挥了至关重要的作用,例如元素的可逆性就离不开单位元。然而,很多代数并没有单位元,如何解决这个问题?一个办法是扩张原来的代数,使其具有单位元,另一个办法是寻找单位元的替代物,这就是所谓的渐近单位。以博文《大话卷积》中讨论的傅里叶级数的收敛性为例,我们把级数的收敛性转换成了函数fDirichlet核函数D_{m}卷积的收敛性问题,即判断f*D_{m}是否收敛到f,这里D_{m}就是所谓的渐近单位,渐近单位在赋范代数(算子代数)的研究中是个常见的概念。

从函数论或积分方程的角度看,卷积的本质是什么?我以为,卷积的本质在于用“好”的函数近似“坏”的函数,卷积是个特殊的带核的积分,一般情况下,核函数是个比较好的函数(光滑,有些可能带奇异点),核函数与一个可积函数(例如上面的D_{m}f)乘积后作积分得到一个新的函数,这就是所谓的积分算子(映射),这些算子具有什么样的性质?这是积分算子理论的基本问题。与卷积相比,积分算子要复杂得多,其涵盖的数学问题也多得多,如Cauchy问题、Dirichlet问题等都可以归于带核的积分问题,这是个庞大的数学分支,绝不是一两篇博文能说清楚的。

回到数学教育,撇开应试教育不谈,我认为,数学教育改革的根本不在于教材怎么写,也不在于课堂教学内容如何更新,而在于如何提高数学教师的数学素养。



大话卷积
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