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说课(3)(超穷归纳法)—实变函数 精选

已有 10092 次阅读 2011-3-19 22:46 |个人分类:教育点滴|系统分类:教学心得|关键词:office,归纳法,style,空间| office, style, 空间, 归纳法

    在介绍了集合的势之后,一般是讲授欧氏空间中的点集,这部分有很多闪光的数学思想,讲授者需要把它们挖掘出来。

    欧氏空间中点集的内点、聚点等概念是定义开集、闭集、自密集、完备集、孤立点集、离散点集的基础,可以根据这些点与集合的关系给出各种点集的定义,学生理解不会有任何困难。

    在我看来,这里有几个重要的数学方法应该重点介绍:

1、超穷归纳法;

2、聚点原理;

3、有限覆盖原理;

4Cantor三分集。

聚点原理与有限覆盖原理是等价的,已经在过去的博文中有所介绍,这里不再赘述了,Cantor三分集作为最早的分形集也在介绍测度论的博文中介绍了。老师在课堂上应重点阐述这些原理的来龙去脉,以及它们在数学上的重要性,事实上,有限覆盖原理与聚点原理及其思想在现代数学的几乎每一个分支中都可以找到其影子。这里只简单说说超穷归纳法的教学。

    学生对数学归纳法耳熟能详,大多知道怎么使用,但对超穷归纳法一无所知,甚至有些老师也感到陌生,但超穷归纳法的作用一点也不逊色于数学归纳法,而且就像数学归纳法一样成了现代数学中最常用的证明手段之一,所以超穷归纳法是每个数学专业的学生应该了解的。

    数学归纳法的原理很直观,著名的多米诺骨牌可以形象地展示数学归纳法。

    超穷归纳法就不像数学归纳法那么容易理解了,有人认为超穷归纳法是相对于良序集而言的,其实不然,它相对于偏序集同样适用。什么叫良序集呢?说起来并不复杂,如果在一个集合中规定了一种“顺序”关系(这种序关系满足一些基本的法则,如反身性、对称性、传递性等),且这个集合中的每两个元素间都有序关系,则称该集合为一个全序集,如果全序集的任意非空子集都有最小元(相信大家不难理解最小元的概念),则称该序为良序集,而这种序关系称为良序关系。良序集的最简单例子是自然数集,全序集但非良序集的最简单例子是实数集(因为实数集合的子集未必有最小元)。偏序集相对复杂一点,但也并非晦涩难懂,如果一个集合中定义了一个序关系,但该集合中并非任意两个元素之间都有序关系,则称该集合为偏序集,最典型的例子是复数集,按照通常的大小关系,虚数之间是不可以比较大小的,即没有序关系,只有其实数子集中的元素才有序关系,当然如果你在复数集中重新定义序关系,也可以使得复数集成为一个全序集(如按字典顺序),换句话说,一个集是偏序集还是全序集是相对于特定的序关系而言的。

    定义  S是一个偏序集,AS的子集,bS的元素,如果对A中任意的元素x,都有x<=bx>=b),则称bA的一个上界(下界)。如果存在S中的元素a,使得S中不存在x,使得a<=xa>=x),且a不等于x,则称 aS的一个极大元(极小元)。

        Zorn引理(超穷归纳法): 如果偏序集 S中的任何全序子集在S中都有上界(下界),则S中一定存在极大元(极小元)。

    咋看起来,Zorn引理与数学归纳法相距十万八千里,两者的模样没有丝毫相似之处,但你只要回归到良序集,就不难看出它们其实说的是同一类事(试试?)。我们知道,数学归纳法是针对与自然数有关的命题的重要论证方法,自然数集是“可数”集,是无穷集中“势”最小者,而超穷归纳法则是处理与具有任意“势”集合有关的命题的论证方法,由此不难看到它的重要性。一般的实分析教材中只是简单介绍这个结论,学生很难体会到这一方法的强大威力。所以老师在介绍这个方法时最好举一两个学生比较容易接受的例子,这样可以帮助学生更深刻地体会这一重要方法。最简单的例子是考虑某个集合的子集簇,以集合的包含关系作为序关系,则在此关系下,该子集簇构成一个偏序集,我们可以利用Zorn引理证明这样一件事:假设B是集合A的所有子集构成的集合,则B有唯一的极大元A。试试看,你能证明这件事吗?

    我们还可以用超穷归纳法来说明数学归纳法的正确性:

假设Sn是与自然数n有关的命题,满足这样的条件:1、存在n0使得Sn0成立,2、若Snn=k>n0成立,则对n=k+1也成立,我们证明Sn对一切不小于n0的自然数成立。记N0={n|n为不小于n0的自然数}F={A|AN0的子集,且对A中任意的nSn成立},显然F按集合的包含关系构成一个偏序集,假设F1={Ab|bB}F的全序子集,则A=bBAbF1的上界,由Zorn引理,F有极大元。假设CF的极大元,可以证明C=Nn0(不小于n0的自然数集)。事实上,若C不等于Nn0,任取n1Nn0-C,则C{n1}是包含CF中元素,这与C为极大元相矛盾,所以必有C=Nn0,换句话说Sn对一切不小于n0的自然数成立。

    也许有人纳闷,证明中哪里用到了1与2?1说明F是非空的,2保证C{n1}在F中,你能说明为什么吗?

 



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