传统的教材通常是首先介绍不定积分，在介绍了各种积分技巧后才来介绍定积分及微积分学基本定理，这样的安排有两个明显的缺陷：1、与积分理论的发展历史不相符。历史上实际上是先有了面积概念（定积分），原函数概念是后来产生的，面积问题一直可以上溯到欧几里德时代。按照教材中的顺序难以尽述积分理论的来龙去脉。 2、不定积分与定积分内容部分重复。学过微积分的人都知道，学习不定积分时需要熟悉若干积分方法（分部积分、换元法等），学习定积分时还得再来一遍（当然，此时的侧重点在于积分上下限的确定问题），显得不那么干净利索。其实我们完全可以将不定积分、定积分合二而一。

    如果我们从距离（或面积）问题出发首先引入定积分思想（分割求和），通过各种实例说明实际计算的难度，然后再引入原函数概念，寻找分割求和与原函数之间的内在关系，马上可以得到微积分学基本公式。实际可以这样进行：

    直边图形的面积，如矩形的面积、三角形的面积、多边形的面积已经熟悉了。 然而，求一般图形的面积并不是一件容易的事。 回忆在处理一般函数时，常用函数曲线上一点的切线段代替曲线段。这一思想可以帮助我们处理一般的面积问题。具体地说，我们可以局部地利用矩形来代替一般区域，可以通过几个具体的例子阐述这一思想。

    通过距离与面积问题的探讨可以发现处理这类问题的共同点，以距离为例，设物体t时刻走过的路程为S（t），那么物体从t₀时刻到t₁时刻走过的路程为S（t₁）-S（t₀）（引入原函数概念）。又假定物体t时刻的速度为v（t），按定积分定义，物体从时刻t₀到时刻t₁所走过的路程为速度函数v(t) 在 [t₀,t₁] 上的定积分，因此应该有

这就是说，函数v(t) 的定积分与其原函数之间有某种内存关系，这种关系是偶然的巧合还是具有普遍性呢？换言之，如果函数f（x）在[a，b]上可积，它是否必有原函数？如果F（x）是f（x）的原函数，是否必有

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