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抽象的数学思想与方法也可以直观表达 精选

已有 12796 次阅读 2009-3-31 16:58 |个人分类:数学常识|系统分类:科研笔记

近代数学是比较抽象的,抽象得哪怕是数学专业的学生也常常对其望而生畏,其实,一些重要的数学思想与方法也可以用直观的语言来表达,从而降低理解的难度。

    

以有限覆盖定理为例,有限覆盖定理对于任何一个数学专业的学生或老师而言都不陌生,因为从《微积分》、《实变函数》到《微分几何》、《拓扑》、《泛函分析》,有限覆盖定理都是一个基本的工具。然而,有多少学生真正理解了这个定理的科学意义?又有多少学生真正理解了这个定理的证明?恐怕要打个大大的问号!先来看看这个定理是怎么说的。

  

Borel有限覆盖定理:FR^n中的有界闭集,G=Gλ|λ∈Λ}是一簇开集,λ∈ΛGλ包含F,则一定存在G中有限个开集Gλii=1,…,n,使得∪Gλi包含了F

   

如果大家对“有界闭集”这个词不感冒,不妨把它当作闭区间[ab],一簇开集可以当作一簇开区间Gλ=aλbλ),这样总理解了吧?用区间的语言重新叙述,上述定理是说,如果一簇开区间把闭区间[ab]盖住了,那么从这些开区间中可以选出有限个就能把[ab]盖住。

    

鬼王肚子又要发胀了,你用有限个开区间盖住闭区间干什么?闲了没事干做游戏么?呵呵,这个游戏可不得了,贯穿了数学的众多领域,微分方程、微分几何、实分析、泛函分析、拓扑等现代数学分支中经常看到它的身影,它几乎成了一个放之四海而皆好使的基本方法,如果将它与单位分解结合起来那就更是如虎添翼无敌于天下了。

    

一个貌似平常的定理怎会如此了得?欲知详情还得从微积分说起。微积分的一个基本思想是“局部地以简单代替复杂”,这是微积分的灵魂或精髓。例如,微分近似公式是说局部地用切线代替曲线,积分的分割求和是说局部地用矩形代替曲边梯形。也就是说,在某个点的充分小的范围内可以用“熟悉”的东东代替“不熟悉”的东东。举例来说,对于定义在某个区间I(可以是开区间也可以是闭区间或半开半闭的区间)上的连续函数f,我们可以在区间I中的任一点x处根据需要作一个小邻域(x-δx+δ),如果δ足够小,fx-δx+δ)上可近似看作常数或其他接近f的函数,于是在(x-δx+δ)上相应的问题就好解了。或许有人会说何必这么麻烦,直接将区间等分不就行了?的确,对于区间而言是可以那么做的,但如果是一般的有界闭集就行不通了。换句话说,我们在区间的每一点附近可以求近似解,问题是最终要求整体解,如何把这些局部解粘到一起?由于我们是对每个点x都作了个小邻域(x-δx+δ),而且对不同的xδ可能是不一样的,这些小区间有无穷多个,你很难找一个合适的方法把局部解粘成一个整体解,但如果只有有限个小邻域就好办多了(数学上有所谓的单位分解就是对付这类问题的,这里且不作详细介绍)。问题在于,能否找到有限个小邻域把给定的区间I盖住?这与I是什么样的区间有关系,为什么闭区间上的连续函数有着其它区间上的连续函数所没有的性质(如最大最小值原理、介值定理等)?根本的原因正在于此。看到有限覆盖的威力了吧?你若理解了不是因为你聪明,实在是因为曹大侠的“解说能力奇高”,如果还不理解,不是因为我嘴笨,而是你“理解能力奇低”,哈哈,别急,笑一个,且放松一下。

    

既然有限覆盖如此的重要,有限覆盖定理的重要性自然就不用怀疑了,问题是为什么“有界闭集”有这种性质而开集未必有?鬼王说:“我也能找到一个开区间的开覆盖从中可以找到有限的子覆盖”,废话,连什么叫“性质”都没搞清楚,所谓性质就是无一例外的一种普适的特征,例如(-1+1/n,1-1/n(n=1,2,)肯定盖住了(-1,1),但你能找出有限个(-1+1/n1-1/n)把(-11)盖住吗?你若找得到,我奖励你100万人民币,有反例就说明它不是普适的特征。为什么闭集就有这种特征?这要从区间的端点说起。我们先感觉一下(再次考考你的数学直觉),由于开集簇把闭集盖住了(为简单起见,仍然假定闭集为闭区间[ab],开集簇为开区间(aibi),i=12)端点ab分别在某两个开区间(a1b1)与(a2b2)中,将这两个区间挖掉后留下了[b1a2](运气好的话,这两个就将[ab]盖住了),再次找两个开区间分别含b1a2,依此下去能不能经过有限次将闭区间挖完呢?这取决于找的这些区间的长度是否趋于零,如果不趋于零,有限次肯定可以做到,否则大为不妙。想象往一个圆桶中放“乒乓球”,如果“乒乓球”的半径是一定的,那么不管圆桶有多大,最多只能装有限个球,如果“乒乓球”的半径可以无限小,那么完全可以装无限个球。我们终于找到了证明这个定理的“瓶颈”了,接下来的关键是证明:“一定可以找到一个正数δ,使得对任意x[ab],(x-δx+δ)包含在某个开区间(aibi)中”。有胆量试着证明这个事实吗?

   

最后还是让我来安慰一下吧,你证不出来一点都不要沮伤,因为数学专业的学生听起来都比较费劲,尽管这只是大学数学专业低年级的基础性知识!有人觉得科学网该多谈科学,嘿嘿,谈吧,大家都当天书来读。



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