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概率将不概率

已有 6896 次阅读 2018-10-1 19:27 |个人分类:数学常识|系统分类:观点评述

 

        2018年的高考已时过境迁, 尘已归尘,土已归土,谅再无引起不稳定因素之虞。

       为了让不学数学的人也能理解大概的意思,首先从几个简单的概率模型说起,其中最简单也是最古老的一个古典概型就是掷骰子试验:

       模型 1.一枚骰子质地均匀,出现每个数字都是等可能的,随投 掷这枚骰子,出现六个数字中的每一个数字的概率都是 1/6。 

      相信没有人会怀疑这个结论,从赌徒到数学家都不会怀疑。只要懂一点概率的人都知道,在这个随机试验中,样本空间是{1,2,3,4,5,6}。出现所有数字中任何一个数字的可能性是相同的,而且所有可能的结果(样本点)都是清楚的。现在换一种 方式:

       模型 2.将这枚骰子的六个面换成文字,其中一个面写上“不合格”,另外五个面写上“合格”,忽略字的质量,假定不影响骰子质 地的均匀性,很容易算出,随机掷这枚骰子,出现不合格的概率是 1/6。 

       现在的问题来了,我们能不能说:“在这个掷骰子的随机试验中,‘每一面’出现不合格的概率都为 1/6?” 

再换一个模型: 

       模型 3六个产品中有 个不合格,个合格,随机抽取一件, 出现不合格品的概率是多少? 

       与前面的模型一样,由于抽到每个产品的可能性都是相同的,所以抽到不合格产品的概率是1/6。那么,可不可以说:“这批产品中每件产品不合格的概率都为1/6”?如果可以这么说,则在模型 中也可以说:“骰子的每个面出现 的概率都为 1/6”,在模型 中可以说:“骰子的每个面出现不合格的概率都是 1/6”。 

       这里涉及两个基本概念:“抽到哪个产品”与“每个产品是否合格”可否等同?“抽到哪个产品”是不确定的,这是个 随机事件,但“每个产品是否合格”却是确定性事件(样本空间中的样本点),因为它或者合格或者不合格,结果是明确的。用稍微“概率”一点的话表述就是:“在掷骰子或产品抽样试验中,出现哪一面或是否出现不合格品是不确定的,但所有可能的结果是清楚的,即一面(个)不合格,五面(个)合格。样本空间含六个样本点,每个样本点都是随机试验的结果,只要取定其中的任一结果,合格或不合格就是确定的。所谓随机事件的概率并不是说每个结果的概率, 而是随机试验中“出现”每个结果的概率,有“出现”与没有“出现”是完全不同的。例如,我们可以说:“随机掷一枚骰子(随机抽查 件产品),出现6(不合格品)的概率是1/6”,但不能说:“随机掷一枚骰子(随机抽查 件产品),每个面是6(每件产品是不合格品)的概率都为 1/6。”这两句话之间的本质不同是不言而喻的, 因为只有一个面是6,这个 就相当于第二个模型中说的不合格, 不可能每个面为的概率都是 1/6,逻辑上说不通。 

      言归正传,现在来看看2018 年高考全国数学卷 的第 20 道题: 

      某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品。 检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是 否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立。 

(1). 记 20 件产品中恰有 件不合格品的概率为 f(p),求 f(p)的最大 值点 p0.


(2). 现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 件不合格品,以(1) 中确定的 p作为 的值。已知每件产品的检验费为 元,若有不合 格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费 用。(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿 费用的和记为 X,求 EX

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱 余下的所有产品作检验? 

       这里“设每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1)”是什么意思?与前面模型 中说的“每个面为 的概率都为 1/6”或模型 中所说“每个面为‘不合格’的概率都为 1/6”或者模型 中所言 “每件产品不合格的概率都为 1/6”有什么不同吗?或许有人会说:“这只是个习惯说法,并未影响学生解题。”的确有老师这么说:“这样表述有助于学生理解。”如果这样的表述也可以成为一种习惯,数学概念的科学性与严谨性也就荡然无存了。教材、教师不必管问题的内涵到底是什么,想怎么表述就怎么表述,知识点讲到了,学生会用这些知识点像模像样地解题便可。

       在已经公布的数学卷答案中,第一问的标准解答将其当成一个伯努利试验,20件产品中刚好出现两件不合格品的概率为 

         在进一步剖析之前,不妨回顾一下抽检产品的各种可能方法。 

理论上产品的抽检可以有三种方法:


1、有放回式从 200 件产品中随机抽取 20 次,这是典型的伯努利试验,20 次随机抽检中刚好出现两件不合格品的概率恰好为上面 所说的 f(p) 

        2、从 200 件产品中任意抽取 20 件产品,这 20 件产品中可能 恰好都是不合格产品,也可能全是合格品,这显然不是伯努利试验,而是超几何分布,从200 件产品中随机抽取 20 件的方法有种,这 20 件产品中恰好抽到了两件不合格品的方法有多少种?就要看这 200 件产品中有多少件不合格品,我们姑且将题目中 “每件产品不合格的概率都为 p”理解为这箱产品的不合格率为 p, 那么这箱产品中应该有 200p 件不合格品,因此 20 件中抽到两件不合格品的方法有 种,所以 20 件产品中刚好有 件不合格品的概率为 

 。 

       3、无放回式检验,也就是说,每次抽取一件产品检验,依次连续抽取 20 次,每次抽取出来后不再放回。这种情况下相当于按顺序 抽取了 20 件产品。 

      问题是哪个才是正确的答案?不妨回头看题目的说明:“检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。”这句话清清楚楚说明,从 200 件产品中任意抽取 20 件,而不是有放回式进行 20 次独立重复检验。因为已经将 20 件产品取出来了,还怎么做有放回式独立重复检验?显然这不是伯努利试验。

       现在来考察一下标准答案中该题的全部解答:

(1).20 件产品中恰有 件不合格品的概率为。 因此, 


令 得 p=0.1。当 p∈(0,0.1)时,当 p∈(0.1,1)时, 所以 f(p)的最大值为 p0=0.1 

(2).由(1)知,p=0.1。 

(i).令 表示余下的 180 件产品中的不合格件数,依题意知 YB(180,0.1)X=202+25Y。 

所以 EX=E(40+25Y)=40+25EY=490。 

(ii).如果对余下的 180 件产品作检验,则这一箱产品需要的检验费为 400 元。由于 EX>400,故应该对余下的产品作检验。 

      这样的解答让人有一种“为赋新词强说愁”的感慨,既然计算出p=0.1 作为这箱产品的不合格率,而已经检验的 20 件产品中恰有 件不合格品,所以余下的 180 件产品的不合格率自然也是 0.1,因此 Y=18202+1825=490,这个数大于 400,结论与标准解答是类似 的。 

       这道题为了考察二项分布,强行要求学生按照伯努利试验来理解题意并解题,实在有些不可思议。实际的产品抽检过程中,有哪个质检部门会采用有放回式抽样?何况题目清楚表明随机抽取 20 件产品 并非按照放回式抽取的方式,而是检验完这20 件产品后再考虑是否对余下的产品做检验。 

       可否将题目换一种方式来理解呢?将 20 件产品抽取出来后 进行 20 次有放回式重复检验,这样不就说得通吗?问题是,这与现实相符吗?现实中有哪个质监部门会从一批产品中抽取部分样品做有放回式检验?有放回式检验通常仅适用于对同一个产品的耐受性 检验,它的本质无非是重复检验。例如,对一个产品做抗摔检测,可以对其进行多次摔打,看能承受多少次摔打而不损坏,对一批产品中的部分产品进行有放回式检验实属罕见,所以将题意改成对20 件产品作有放回式检验是不切实际的。然而,只要是无放回式检验,除非这批产品全部合格或全部不合格,否则每次检验对后一次检验出现不合格品的概率必定是有影响的。由此可见,上述题目从题干的阐述到解答都是欠妥的。只有当样本总量很大,而抽取的样本量相对于样本总量很小,这时可以将超几何分布近似看成二项分布。然而,教材中似乎并未介绍此类方法。

        教材中类似上述考题的表述并不罕见,教师们也就见怪不怪了。可这样的概率还是我们熟悉的概率吗?学生学了这样的概率后真的会用吗?

 




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