本文部分内容取材于过去的博文，一些概念的定义非我发明，而是来自度娘，但我表示赞同，如果是我自己定义则仅代表一己之见。当然这些概念的定义也未必代表了所有人的观点。

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1.    纯粹与应用之间的平衡

徐利治先生在一次访谈中说道：“数学教育不必强调应用，可以完全从数学的角度进行数学教育”。原文无从可查，大意如此。徐先生的意思是过分强调了应用往往冲淡了数学自身的味道，从这个意义上说，徐先生的话有一定道理。

      数学教育是否需要结合应用？这个问题恐怕不能一概而论，有些数学理论的产生原本与其它学科没有多大关系，完全出于数学内部发展的需要，这时非要与应用扯上关系就有点牵强附会了。例如，集合论的产生源于微积分留下的问题，它与生活及自然科学并无直接关系，你如何强化应用？但有些数学理论的产生源于现实与自然科学，对于这样的数学理论是否可以离开促使它产生的背景就值得商榷了。例如，微积分与物理、天文有着深刻的渊源，微积分教育能离开这个背景吗？如果离开了这个背景，不仅会让原本生动的理论显得枯燥乏味，而且会使人产生空中楼阁的误解。

数学教育到底该强调什么？数学理论本身还是数学应用？也许有人认为对于数学专业的大学生应该强调数学理论，而对于中学生与非数学专业的大学生则应该强调应用。在我看来，两者都有失偏颇。

从根本上看，数学教育不在于是否强调应用，而在于是否抓住了构建数学理论体系的真正问题。这些问题的出现也许源于数学内部的矛盾冲突，也许源于现实或自然科学的需要。为数学化而数学化或者为实用化而实用化都是不可取的，因此，真正的数学教育是围绕着促使概念、定理产生的问题展开，这种问题也许不是数学家当初建立某个概念、发现某个定理的原始问题，但它应该是教师（或教参编写者）通过合情推理而设计的真正有价值的问题。

2.数学与自然科学

     当然，现代数学与自然科学犹如两股道上跑的车，相距越来越远。法国布尔巴基学派的代表人物丢东涅就曾对现代数学提出过批评：“许多数学家在数学王国的一角占据了一席之地，并且不愿意离开。他们不仅差不多完全忽略了与他们的专业领域无关的东西，而且不能理解他们的同事在远离他们的另一个角落使用的语言和术语。即使是受过最广博的训练的人在浩瀚的数学王国的某些领域中也感到迷茫，像庞加莱和希尔伯特这样的人，几乎在每个领域都留下他们天才的印迹，甚至在最伟大的成功者中也是少而又少的极其伟大的例外”。由此看来，数学与自然科学似乎有点南辕北辙了。不过无需为此担忧，空中楼阁是不存在的，也许有一天，当你面对自然科学中的问题绞尽脑汁依然束手无策时，忽然发现这个问题早有解决的利器摆在那里，只是你没有发现，这就是数学，历史上这样的例子并不罕见。之所以出现这种奇特的现象，皆因数学与自然科学在方法论上有着共性。历史是个最好的筛子，它成功地担负着去粗取精的重任，把真正闪光的东西留了下来，若干年后，人们或许会发现，数学与自然科学原来殊途同归，从这个角度看，徐利治先生的话是对的。

      有人把数学看成自然科学的工具，这只能说明他对数学缺少真正的了解，数学固然是工具，但他更是思考问题的普适方法，它是一种思想，过去西方将数学归类为哲学范畴是有一定道理的。如果你不会用数学的思维方式去思考问题、用数学的眼光去认识世界，而只是把数学当成一种工具机械地使用，就不能说你真正懂数学。

      数学与自然科学的不同是显而易见的。从方法上论，数学大多靠逻辑演绎，特别是现代数学均建立在公理基础之上，根据这些公理与逻辑推演出一套理论，你可以承认或不承认这套公理体系，而自然科学通常需要做实证检验。从理论上看，数学无所谓真伪，重在自洽，在一系列假定之下推导出来的理论没有矛盾就成。例如，你可以假定鬼是存在的，在此假定之下，你可以演绎出一整套鬼的故事，只要你的推导在逻辑上没有问题，结论就是正确的（注意是在你假设的前提下正确），但自然科学是需要证真或证伪的，一个结论是否为真，需要做重复检验，只有在重复检验下被证明是正确的才能说它是真的。

对数学的认识迄今依然有着两种截然不同的观点，有人认为数学是真理，甚至有人认为它是绝对真理，也有人认为数学不是真理。数学到底是不是真理？为什么有两种不同的看法？这个问题从古到今一直争论不休。法国数学家E·波莱尔(Borel，Emile，1871.1.7-1956.2.3)说:“ 数学是我们确切知道我们在说什么,并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学”。诺贝尔文学奖获得者，英国逻辑学家B·罗素(1872年5月18日-1970年2月2日)则认为：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类 ，而最前面的命题p是否对，却无法判断。因此数学是我们永远不知道我们在说什么,也不知道我们说的是否正确的一门科学。”他们两位生于同一个时代，却有着针锋相对截然不同的两种数学观。两位大师讲的都对，只不过前者强调的是逻辑演绎的结果，后者强调的是逻辑演绎的过程。他们的观点恰恰反映了数学的“两重性“：“真理”与“非真理”共生。这也正是出现数学是不是真理争论的原因。所以面对一个数学结果，我们一般不说它是不是真理，而是说“它是否正确”？正确与真理是两个不同的概念。真理（truth）是人们对于客观事物及其规律的正确反映。正确（right 或correct）的内涵非常宽泛，它与"真理"的区别在于，真理一般只用于与事实和规律相符的结论，至于道理和某种公认的标准，则不适合使用"真理"一词。真理偏重于客观存在的事实，正确偏重于目的与实践。数学是否是真理的争论与我们的数学教育密切相关！具体地说，就是现在争论的数学教育该“数学化”还是“生活化”？

      当然数学与自然科学也有相似之处，如果做类比的话，数学好比是印象派艺术，印象派艺术家关注的焦点是纯粹的视觉感受，内容和主题并不十分重要。数学家只关心纯粹的量与量的变化及其相互间的关系，不关心这些量的具体内容是什么，也可以说数学是用一种抽象的方式反映了自然界的规律。自然科学则好比写实派艺术，现实主义艺术家往往关注人生、关注生活、关注现实，他们赞美自然，歌颂劳动，深刻地展现现实生活。自然科学家关注具体的事物以及这些事物的变化规律。因此可以说，数学是印象派艺术，自然科学则是现实主义艺术。无论是印象派艺术还是现实主义艺术，他们都有一个共同特点，那就是“美”，没有美就没有了艺术。同样，我们也可以说，没有美，就没有了数学，也没有了自然科学。

无论你的问题是来自数学，还是来自自然科学，或者来自现实生活，它都不应该是令人费解的无效问题甚至伪问题，遗憾的是，伪问题在我们的课堂乃至教材中绝非鲜见甚至司空见惯

3.纯粹数学、应用数学与数学应用

在进一步谈论之前，有三个概念需要澄清：纯粹数学、应用数学与数学应用。“纯粹数学也叫基础数学，是一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。”关于应用数学的定义我不敢苟同，根据百度搜索，是这样定义应用数学的：“应用数学(Applied Mathematics)是应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学知识到其它范畴(尤其是科学)的数学分枝”。这个定义前半句正确后半句错误，后半句误把数学应用当成了应用数学。所谓应用数学是面向应用的数学，侧重点在数学，换言之，应用数学研究的是数学而不是应用。最典型的应用数学是偏微分方程，很多自然科学中出现的微分方程需要数学家来研究，包括解的存在性、唯一性、稳定性等，但是这不是简单的运用数学知识到其他科学中，实际上自然科学中的问题一旦转化成数学问题，其研究就很难分清是纯数学还是应用数学了。那种将现成的数学知识运用到其它学科中不属于应用数学，而属于数学应用。人们以为纯粹数学与应用数学泾渭分明，恰恰相反，两者水乳交融密不可分，倒是人们常常混为一谈的应用数学与数学应用完全是性质不同的两回事。应用数学是数学家的研究领域，数学应用可做的人就多了，文理工医农林牧副渔无所不可，运用数学到什么程度就因人而异各显神通了。

这些问题与数学教育有关系吗？当然有关系，它关系到数学教育的目标，是培养学生的数学素养还是培养学生的数学技能？我赞成弗赖登塔尔的观点：“数学教育是数学的再创造”，但课堂涉及教师与学生两个方面，教与学之间存在某种平衡，所以我提出了“数学教育是数学的有限再创造”的观点。也就是说，学生是在教师引导之下进行数学的再创造，而不是独立自主的再创造。因为无论是学生的认知能力还是知识面都还远没有达到独立自主再创造的程度。

基础教育无疑是大众化教育，我比较认同美国的做法，给喜欢数学的孩子提供最优质的数学教育，对于那些不喜欢学习的孩子只提供必要的普及教育就可以了。但这注定是个理想，因为国情决定了家家户户望子成龙。不过这与应该如何进行基础教育并不矛盾，我们的数学教育该“数学化”还是该“生活化”取决于我们的目标是培养学生的数学素养还是教给学生一点数学技能？

如果我们的目标是教给学生一定的数学技能，问题就简单了，不需要系统的数学知识体系，像职业中学那样做就可以了。有人也许会质疑：“数学素养与数学技能有什么不同吗？”两者有本质的不同：“数学技能是顺利完成某种数学任务的动作或心智活动方式。它通常表现为完成某一数学任务时所必需的一系列动作的协调和活动方式的自动化。技能是对动作和动作方式的概括，它反映的是动作本身和活动方式的熟练程度“。

如果我们的目标是培养学生的数学素养，那就要清楚什么叫数学素养？如何具备数学素养？数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有一定的哲学高度和认识特征。具体说，一个具有"数学素养"的人在他分析问题与解决问题的过程中，常常表现出三个特点：

1、 思考问题时懂得首先要界定概念和问题存在的条件；

2、 观察问题时善于抓住不同量之间的本质关系，从局部逐步过渡到全局；

3、 解决问题时善于将数学概念具体化，用于认识现实中的问题。

从上述三点可以看出，数学的“数学化”与“生活化”是解决问题的两个不同方面，两者缺一不可，偏面强调哪一个方面都是不完整的教育。为了“数学化”而“数学化”或者为了“生活化”而“生活化”是不可取的。如前所述，既然数学教育是数学的再创造，只需尊重数学发展的本来面目就可以，该“数学化”则“数学化”，该“生活化”则“生活化”。对有些数学概念与定理而言，其教学过程可能既要体现“数学化”过程也要体现“生活化”过程，也就是从实际问题抽象出数学概念或定理，这是个“数学化”过程，将数学概念与定理运用于实际问题，这又是个“生活化”过程，这并非什么新鲜事物，不知缘何突然开始热火朝天的强调起来？甚至把它提升到改革的高度！

遗憾的是，我们常常犯两个错误：1、走极端，偏面强调某一个方面，这不是一线教师的问题，而是指导者的问题。2、不伦不类的“生活化”、“探究式”，我已经在若干文章中谈到这个问题，此处不再赘述。